Pythagoras. Suche ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. ... c Roolfs

Transkript

1 Pythgors Suhe ein rehtwinkliges Dreiek mit gnzzhligen Seitenlängen

2 Pythgors Für ein Dreiek mit den Seitenlängen = 3 und = 4 (in m) gilt vermutlih = 5. Weise diese Vermutung nh. Tipp: Bestimme den Fläheninhlt des Qudrts mit der Seitenlänge.

3 Pythgors 1. Wiederhole die Üerlegungen der vorigen Seite mit (1) = 6 und = 8 () = 5 und = 1 und verllgemeinere sie.. Begründe: Ein Dreiek mit den Seitenlängen = 6, = 8 und = 10 ist rehtwinklig. 3

4 Pythgors (+) = + ++ = + + = Jeweils Dreieke ergeen ein Rehtek. 4

5 Pythgors = + direkt einsehr 5

6 Pythgors = + direkt einsehr 6

7 Im Kopf Ermittle die Länge der fehlenden Seite. ) ) 4 3 ) d) e) 3 f)

8 Im Kopf Ermittle die Länge der fehlenden Seite. ) ) 0 = ) d) 5 4 = e) 3 f)

9 Pythgors Aufgen h 1. Ein Prllelogrmm ht die Seitenlängen = m, = 6m und die Höhe h = 5m. Wie lng ist die längere Digonle?. Aus einem Bumstmm (Durhmesser d = 0m) soll ein Blken mit möglihst großem qudrtishen Quershnitt hergestellt werden. Ermittle die Kntenlänge des Qudrts. 45m 60m 3. Berehne den Fläheninhlt des Dreieks. } {{ } 48m 9

10 Pythgors Aufgen e h 1. Ein Prllelogrmm ht die Seitenlängen = m, = 6m und die Höhe h = 5m. Wie lng ist die längere Digonle? e = (+ 11) +h = 7,30(m) }{{} h = 11 d. Aus einem Bumstmm (Durhmesser d = 0m) soll ein Blken mit möglihst großem qudrtishen Quershnitt hergestellt werden. Ermittle die Kntenlänge des Qudrts. = d, = 7,07(m) 45m h 60m 3. Berehne den Fläheninhlt des Dreieks. h = = 36(m) A = 1350(m ) }{{} 7m } {{ } 48m 10

11 Ih stehe uf einem 30m hohen Turm und shue ufs Meer. Wie weit, frge ih mih, knn ih wohl sehen? Glükliherweise he ih einen GTR dei und weiß, dss der Erdrdius 6370 km eträgt. 11

12 Ih stehe uf einem 30m hohen Turm und shue ufs Meer. Wie weit, frge ih mih, knn ih wohl sehen? Glükliherweise he ih einen GTR dei und weiß, dss der Erdrdius 6370 km eträgt. h L r r L = (r +h) r = rh+h L rh = Höhe (in m) r 1000 = 3,6 Höhe (in m) Fustregel L 0km Für eine Turmhöhe von h = 35m eträgt die Weitsiht L 1km, für h = 100m sind es L 36km. 1

13 Wie hoh drf ein 60m tiefer Shrnk höhstens sein, dmit mn ihn ei einer Dekenhöhe von,40 m ufstellen knn? 13

14 Wie hoh drf ein 60m tiefer Shrnk höhstens sein, dmit mn ihn ei einer Dekenhöhe von,40 m ufstellen knn? mx. Shrnkhöhe =,4 0,6,3(m) 14

15 Ein Fußweg wird durh Qudrte egrenzt, deren Seitenlängen = 1m und = 17m etrgen. Berehne die Länge der Streke PQ. Q P 15

16 Ein Fußweg wird durh Qudrte egrenzt, deren Seitenlängen = 1m und = 17m etrgen. Berehne die Länge der Streke PQ. Q P PQ = 5 16

17 Gegeen ist ein Würfel mit der Kntenlänge. Q hliert die Würfelknte. Berehne die Länge der Streke PQ. Q P 17

18 Gegeen ist ein Würfel mit der Kntenlänge. Q hliert die Würfelknte. Berehne die Länge der Streke PQ. Q P PQ = 3 18

19 Gegeen ist ein Würfel mit Kntenlänge. Berehne die Länge der Streke PQ. P hliert die Würfelknte. P Q 19

20 Gegeen ist ein Würfel mit Kntenlänge. Berehne die Länge der Streke PQ. P hliert die Würfelknte. P Q PQ = ( ) +( ) =... = 3 4 = 3 0

21 Pythgors lterntiver Einstieg d 1. Ein Qudrt ht die Seitenlänge = m. Wie lng ist die Digonle d des Qudrts? d. Ein Rehtek ht die Seitenlängen = 5 m und = 4 m. Wie lng ist die Digonle d? Der Fläheninhlt des Qudrts üer der Digonlen eträgt: A = +( ) = + + = + d = + d 3. Ein Rehtek ht die Seitenlängen = 7m und = 3m. Wie lng ist die Digonle? 4. Ein Würfel ht die Kntenlänge = m. Wie lng ist die Rumdigonle? 5. Ein Quder ht die Kntenlängen = 5m, = 4m und = 3m. Wie lng ist eine Rumdigonle? 1

22 Pyrmide, Pyrmiden- und Kegelstumpf Üungsufgen 1. Von einer senkrehten Pyrmide mit rehtekiger Grundflähe sind gegeen (in m): = 4, = und s = 3. Gesuht sind die Pyrmidenhöhe h und der Inhlt der Pyrmidenseitenflähen. h s Ansätze zuerst stets mit Buhsten! h s h r s r 1. Von einem qudrtishen Pyrmidenstumpf sind gegeen (in m): = 4, =, h = 1, gesuht sind: ) Inhlt der Trpezseitenflähe ) Länge der Seitenknte s 3. Vrition der. Aufge Gegeen sind: = 6, = 4, h =. 4. Von einem Kegelstumpf sind gegeen (in m): r 1 = 10, r = 6, h = 5, gesuht ist die Länge der Mntellinie s. 5. Von einem rehtwinkligen Dreiek sind die Kthetenlängen gegeen, erehne die Länge der Hypotenuse. ), ), 6 ), 4 d), e) 3, f),35; 4,67

23 Pyrmide, Pyrmiden- und Kegelstumpf Lösungen 1. Höhe der Pyrmide: h = Höhen der Seitenflähen: h = 5, h =, Inhlte der Seitenflähen: A = 5, A =. ) A Trpez = 3 ) s = 3 3. ) A Trpez = 5 5 ) s = 6 4. s = ) 5 ) 10 ) 16+ d) 5 e) 5 f) 5,3 3

24 Vieleke 1. Ds Vielek ist durh die Ekpunkte gegeen. Berehne den Fläheninhlt und den Umfng. ) A(1 1), B(3 1), C(5 4), D(3 4) ) A(0 0), B(3 1), C(4 4), D(1 3) ) A(0 1), B(4 1), C(4 3), D( 5) 4

25 Vieleke Lösungen 1. Ds Vielek ist durh die Ekpunkte gegeen. Berehne den Fläheninhlt und den Umfng. ) A(1 1), B(3 1), C(5 4), D(3 4) y A = 6m U = 11,11m x ) A(0 0), B(3 1), C(4 4), D(1 3) y A = 8m U = 1,649m x ) A(0 1), B(4 1), C(4 3), D( 5) y A = 10m U = 13,301m x 5

26 Berührender Kreis Die Seitenlänge des Qudrts eträgt 10 m. Wie groß ist der Rdius des kleinen Kreises? 6

27 Berührender Kreis Die Seitenlänge des Qudrts eträgt 10 m. Wie groß ist der Rdius des kleinen Kreises? = r+r r = 10( 1) +1 =

28 Auf einen Blik = 4 = 3 Begründe, ohne zu rehnen: = 5 8

29 Auf einen Blik C C A A M M B B = 4 = 3 Begründe, ohne zu rehnen: = 5 z.b.: Wir zeihnen zuerst den Punkt B. M ist die Mitte von AB. Nhzuweisen ist, dss ds Dreiek ABC gleihshenklig ist, AC = BC, MC lso senkreht uf AB steht. Hierzu etrhte mn die gruen Rehteke und eine Drehung um 90. Es könnten uh die Steigungen m AM = 1 und m MC = 4 = ermittelt werden. Behte dnn: Zwei Gerden verlufen genu dnn senkreht zueinnder, wenn für die Steigungen gilt: m 1 m = 1. 9

30 Auf einen Blik = 8 = 6 Begründe, ohne zu rehnen: = 10 30

31 Auf einen Blik = 8 = 6 Begründe, ohne zu rehnen: = 10 Vergleihe mit dem vorigen Dreiek. Weiteres: = 1 = 5 Begründe, ohne zu rehnen: = 13 31

32 Pythgors Begründe: = + 3

33 Pythgors Beweis G.Roolfs August 013 }{{} Begründe: = + Idee: Verlängere die Seite um zu einem gleihshenkligen Dreiek, siehe Grfik. Behte: Zwei Gerden verlufen genu dnn senkreht zueinnder, wenn für die Steigungen gilt: m 1 m = 1. + = 1 + = 1 = + Alterntiv knn wegen der Ähnlihkeit zweier Dreieke (Shenkel stehen prweise senkreht ufeinnder) die Gleihung = + gewonnen werden. 33

34 Pythgors }{{} Die hellgruen Dreieke sind ähnlih. Leiht vriiert: + = = (+)( ) = = = + 34