VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN. Dienstag

Transkript

1 Lösungen Dienstg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN Dienstg Blok y 6 3-6y 3-3 y y 4 - y 9 - y -93. y 0,,y Sämtlihe Lösungsmethoden liefern hier whre Aussgen. Z. Bsp. «0 0». Bedeutung?! : Die zweite Gleihung ist ds.-fhe der ersten Gleihung und liefert somit «keine neue Informtion». D.h.: Sämtlihe Lösungspre y, die die erste Gleihung erfüllen, erfüllen uh die zweite Gleihung: ;0 0;4-0;... für elieig: 0-. Mit der Additionsmethode sind die Lösungen shnell gefunden. Um etw y heruszufinden, rehnet mn und isoliert dnn y. An erehnet mn. 3. Siehe Lösungen im Theorieskript! Hier sei nur ds Beispiel Nr. 4 vorgerehnet: Sustitution: u und v. Führt zu: 3y u 0 v u 0 v u v u v u v einsetzen in v u, Somit und y 4.

2 Lösungen Dienstg d Beim ersten Shritt: Bsiswehsel! Zweite Lösungsvrinte: d

3 Lösungen Dienstg -3- Blok ; Eponentenvergleih: ; { } ; Eponentenvergleih: 4; {.} ; Eponentenvergleih: 3 ; { } 9 d ; Eponentenvergleih: 3; {/3} 3 Def ; 0.36 mit Lösungsformel für qudr.gl. gelöst rithmieren usklmmern : rithmieren Mn ehte: usklmmern : Tipp: Beim Eintippen in den TR genügend viele Klmmern verwenden! 0.8 / 0.8

4 Lösungen Dienstg usklmmern 3 3 Sustitution: ;. 464 Ausmultiplizieren und umformen... 0 Qudrtishe Gleihung für lösen Sustitution rükgängig mhen niht def. d Sustitution!: , oder : {} ; e 99 Tipp: Ausklmmern 4 99 : 4 3 rithmieren und nh uflösen Hier ist nh dem Modell des eponentiellen Whstums zu rehnen: Endzustnd Anfngszustnd Duer Dei ist der sog. Whstumsfktor flls >, respektive der sog. Anhmefktor flls < ist.

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6 Lösungen Dienstg -6-. Begründung: Wir etrhten ds Dreiek innerhl des Kreissektors mit den Eken 0/0, /0 und P Diese Dreieksflähe eträgt: sin α Grundlinie ml Höhe durh Wir etrhten den Kreissektor egrenzt durh die Rdien der Länge und dem Bogen der Länge α. α Diese Kreissektorflähe eträgt: Bogenlänge ml Rdius durh Wir etrheten ds etws grössere Dreiek egrenzt durh die eiden Ktheten der Länge tnα und. tn α Diese Dreieksflähe eträgt: Kthete ml Kthete durh Nun vergleihen wir diese drei Flähen! Aus der oigen Zeihnung ist klr ersihtlih, dss die folgende Grössenreltion gilt: tn α α sin α > > tn α > α > sin α.

7 Lösungen Dienstg -7- Blok 3. Anstz: y m q, m- hen wir shon! Wir müssen noh q erehnen, dnn sind wir fertig: C/-3 liegt uf der Gerden. Es gilt deshl: -3 m q. Wir setzen m - ein: q. Jetzt kommt lso nur noh q vor. Nh q ufgelöst ergit ds q. Lösung: y - Die gesuhte Gerde y m q soll prllel zu y - 3 sein. Dies edeutet shon ml: m! Die Aufge lutet lso neu: Gesuht ist die Gerde y q durh R-/: Sie ist lso wie die Aufge zu lösen: Wir setzen den Punkt R in die Gerdengleihung und lösen dnn nh q uf: - q. Nh q ufgelöst ergit sih der Wert q. Die Gesuhte Gerde ht somit die Gleihung: y.. Idee ufwendig!: Mit der Steigungsformel zuerst m erehnen, dnn durh Einsetzen eines Punktes wie ei die Gerdengleihung estimmen, und shliesslih kontrollieren wir durh Einsetzen der Punkte.... Idee: Effizienter und elegnter!: Angenommen die 3 Punkte P, Q und R liegen uf einer Gerden, dnn wären die Steigungen von PQ und PR gleih! Flls dieser Gednke noh niht klr ist, sollte mn es mit einer Skizze versuhen! 6 Also: Steigung von PQ: m Steigung von PR: m 3 Gleihe Steigungen! Deshl gilt: P, Q und R liegen ttsählih uf einer Gerden! d e Die gesuhte Gerde y m q soll norml zu y - 3 sein. Dies edeutet shon ml: m -/! Die Aufge lutet lso neu: Gesuht ist die Gerde y -/ q durh R-/: Wir setzen den Punkt R in die Gerdengleihung und lösen dnn nh q uf: -/ - q. Nh q ufgelöst ergit sih der Wert q0. Die Gesuhte Gerde ht somit die Gleihung: y -/.

8 Lösungen Dienstg ;. ; ; d 3 3; {0; 6} Zum rehnerishen Teil: und werden n gelöst! d Hier sind mehrere Flluntersheidungen ineinnder vershhtelt:

9 Lösungen Dienstg D die Prel den Sheitel im Ursprung 0/0 ht, ergit sih der Anstz: y. 3 Wir setzen den Punkt /3 ein, um zu estimmen: 3. 4 Wir erhlten somit: 3 y 4. Die Prel y verläuft zwishen den Preln y. und y.4, wenn.4 < <. gilt. Dies trifft zu ei den Preln: y 0. ; y 8 ; y Lösung: Zünde ds erste Seil n eiden Enden und ds zweite n einem Ende n. Wenn ds erste gernnt ist, ist eine hle Stunde vorei, in diesem Zeitpunkt zünde ds zweite Seil uh noh m nderen Ende n.

10 Lösungen Dienstg -0- Blok 4.

11 . Lösungen Dienstg --

12 Lösungen Dienstg -- 3.

13 Lösungen Dienstg > 0. Aus der Fktorzerlegung 0. 4 erhält mn die Nullstellen 8; 0 ls Lösungen der Gleihung Wegen 0. > 0 ergit sih die folgende Skizze des Grphen: Mn erkennt: Alle Zhlen grösser ls 0, sowie lle Zhlen kleiner ls - 8 ergeen einen Funktionswert f 0. 4 der grösser ist ls Null. An den Stellen 0 und -8 erhlten wir den Wert Null. Diese Zwei Werte sind lso uszushliessen. Die Ungleihung 0. 4 > 0 ht demnh die Lösungsmenge: ]- ; - 8[ ] 0 ; [ Diese Menge knn mn uh umshreien ls: \ [- 8; 0] Wir estimmen die Nullstellen: D 44;, 3 ± f ist somit eine nh oen geöffnete Prel, welhe die -Ahse n den Stellen 3 und -. shneidet. An diesen Stellen ist f 0; zwishen diesen Stellen ist f < 0. Die Lösungsmenge der Ungleihung ist somit [-.; 3]. Die Grenzen gehören dzu, d " " verlngt wird! Zur Vernshulihung sei hier die Skizze des Grphen gegeen: 3 7 < 0. Die Berehnung der Diskriminnte ergit: D < 0. Die Prel f 3 7 ist nh unten geöffnet und shneidet die -Ahse wegen D < 0 niht d keine Nullstellen eistieren. Sie verläuft gnz unterhl der -Ahse; n llen Stellen ist f < 0. Anders formuliert: Jede Zhl erfüllt die Ungleihung 3 7 < 0. Die Lösungsmenge der Ungleihung ist somit

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