1 Planarbeit Planarbeit

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1 Erreiten Sie sih shrittweise ie folgenen Themen. Notieren Sie gegeenenflls zu jeem Them Frgen. Lösen Sie jeweils ie zugehörige Kontrollufge. Kontrollieren Sie Ihre Lösung mit er Musterlösung. Lösen Sie ie ergänzenen ufgen. Them Frgen Kontrollufge rihtig flsh () Popultionsentwiklung m Beispiel er Mikäfer () Beshreiung er Popultionsentwiklung mit Mtrizen () Käuferverhlten un stohstishe Mtrizen () Berehnung es Stilitätsvektors ufge ufgen Frgen rihtig flsh ufge ufge _Kl.o Dr. L. Mingirulli

2 Popultionsentwiklung Unter einer Popultion versteht mn in er Ökologie eine Gruppe von Iniviuen erselen rt, ie ein Geiet esieeln. Der Bestn einer Popultion knn urh Fortpflnzung whsen, er uh urh negtive Umwelteinflüsse oer urh ie nwesenheit von Räuern im selen Geiet nehmen. Bei einigen Tierrten knn mn zyklishe Veränerungen es Bestnes eohten,.h. in estimmten Zeitstänen nimmt er Bestn zw. zu. Die zyklishen Veränerungen können mit Hilfe von zyklishen Mtrizen moelliert weren. () Beispiel: Mikäferpopultion In unseren klimtishen Verhältnissen enötigt er Mikäfer Jhre (-5 Jhre) zu seiner Entwiklung. Seine Lrve ist er Engerling. [ ] Zur Eilge reitet sih s Weihen etw 5 m tief in en Boen, wo es is hellgele Eier von er Größe eines Hirsekorns legt. Nh etw 6 Wohen shlüpft ie Lrve (Engerling). Währen im ersten Jhr er Frßshen er Engerlinge noh niht sehr strk in Ersheinung tritt, können im zweiten, ritten oer vierten Entwiklungsjhr gnze Kulturen ihrem Frße zum Opfer fllen. Im letzten Sommer er Entwiklung erfolgt vom Juni is Juli ie Verpuppung für eine Duer von is 8 Wohen. Der von ugust is Septemer shlüpfene Käfer verleit im Boen un üerwintert hier ls fertiges Insekt. Er verlässt en Boen erst im Mi un ernährt sih nun von en Blättern er Lugehölze. Sein Frß knn in Ostkulturen un Forstestänen zur völligen Entluung er Bäume führen. Wir stellen ie Entwiklungsstien er Mikäferpopultion in einem Digrmm r. Ein Mikäferweihen legt Eier. Eier 5% % 5% Lrven Puppen Mikäfer Dem Digrmm liegen folgene nnhmen zu Grune: Von en Eiern üerleen 5% un es shlüpfen Lrven. Von en Lrven üerleen wieerum % un entwikeln sih zu Puppen. 5% er Puppen entwikeln sih zu Mikäfern, iese üerwintern im Boen un verlssen en Boen im Mi es kommenen Jhres. Die Entwiklung er Mikäfer knn ls Telle rgestellt weren: Eier Lrven Puppen Mikäfer Eier Lrven,5 Puppen, Mikäfer,5 Die Telle liest mn wie folgt: - Die Whrsheinlihkeit, ss us einem Ei eine Lrve shlüpft ist,5. - Eine Lrve entwikelt sih mit einer Whrsheinlihkeit von, zu einer Puppe. - Eine Puppe entwikelt sih mit einer Whrsheinlihkeit von 5 % zum Mikäfer. - In er letzten Splte steht shließlih ie nzhl er von einem Mikäferweihen gelegten Eier. Zugriff: 5.. _Kl.o Dr. L. Mingirulli

3 Zu einem estimmten Zeitpunkt efinen sih eispielsweise Iniviuen ller vier Stien im Boen einer Wiese. Nehmen wir n, es sin 8 Eier, Lrven, Puppen un 8 Mikäferweihen. Wie ist ie Verteilung ein Jhr später, wenn ein Mikäferweihen Eier legt? Neue Eier: e 8 6; Neue Lrven: l 8,5 ; Neue Puppen: p, 6; Neue Mikäfer: m,5 5. Bereiten Sie ie Kontrollufge. () Beshreiung er Popultionsentwiklung mit Mtrizen Zur Beshreiung er Entwiklung er Mikäferpopultion un er nzhl er Iniviuen in en einzelnen Stien eignen sih Mtrizen. Die oige Telle eshreit en Üergng von einem Jhr zum nähsten, ie zugehörige Mtrix ezeihnen wir ls Üergngsmtrix.,5 M,,5 Die nzhlen er Iniviuen er vier Stien zu einem estimmten Zeitpunkt (Strtpopultion) fssen wir zu einem Vektor zusmmen, em Verteilungsvektor. 8 p 8 Der Verteilungsvektor p es folgenen Jhres wir ls Multipliktion er Üergngsmtrix mit em Verteilungsvektor p erehnet. 8 6,5 p M p, 6,5 8 5 Die Verteilungen weiterer Jhre weren genuso erehnet: p Mp, p Mp usw., ie weitere Gültigkeit er Üergngsmtrix M vorusgesetzt. Bereiten Sie ie Kontrollufge. _Kl.o Dr. L. Mingirulli

4 () Mtrixpotenzen un Zyklishe Mtrix In er Kontrollufge hen Sie gezeigt, ss p p gilt. D.h. nh einem Zyklus von vier Jhren stellt sih ie nfngsverteilung wieer ein. Wir formen en Vektor p um, es ist p M p M ( M p) M ( M ( M p )) M ( M ( M ( M p))) M p lso gilt: M p p M E In Worten: Die vierte Potenz er Üergngsmtrix ist ie Einheitsmtrix Definition Eine Mtrix heißt zyklish, wenn es eine ntürlihe Zhl k git mit k E. Bemerkung Ist ie Üergngsmtrix eine zyklishe Mtrix, nn wieerholt sih er Verteilungsvektor zyklish. Für s Mikäfereispiel eeutet ies, ss lle vier Jhre iesele nzhl von Mikäfern en Boen verlässt. Die nzhl er Mikäfer leit, is uf ie zyklishen Shwnkungen, konstnt. Senkrehte hse: nzhl er Mikäferweihen, wgrehte hse: Jhre Bereiten Sie ie Kontrollufge _Kl.o Dr. L. Mingirulli

5 5 () Beingungen für s Whstum er Popultion Bei günstigen Verhältnissen können Mikäferweihen mehr Eier legen. Nehmen wir n, es sin Eier, ie neren Prmeter lssen wir gleih. Eier 5% % 5% Lrven Puppen Mikäfer Die ursprünglihe Telle veränert sih nur n einer Stelle. Eier Lrven Puppen Mikäfer Eier Lrven,5 Puppen, Mikäfer,5 Wir erehnen ie vierte Potenz er Üergngsmtrix: M,5,5,5,5, 5 E,,5,5,5 (Bitte nhrehnen. Tipp: M = M M. ) Dmit gilt für en Verteilungsvektor p : p p M p,5 E p, 5 Bei einem Verteilungsvektor ( p ) T (8 8) ergit sih nh einem Zyklus Für weitere Zyklen folgt: p,5 8 p 8 9, 5 8 p,5 p p,5 p n,, llgemein: pn, 5 p Die Mikäferpopultion wähst lso zyklish um en Fktor,5. _Kl.o Dr. L. Mingirulli

6 6 Senkrehte hse: nzhl er Mikäferweihen, wgrehte hse: Jhre Bereiten Sie ie Kontrollufge. Bei ungünstigen Verhältnissen legen Mikäferweihen weniger Eier. Nehmen wir n, es sin Eier, ie neren Prmeter lssen wir gleih. Eier 5% % 5% Lrven Puppen Mikäfer Die ursprünglihe Telle veränert sih nur n einer Stelle. Eier Lrven Puppen Mikäfer Eier Lrven,5 Puppen, Mikäfer,5 Wir erehnen ie vierte Potenz er Üergngsmtrix: M,6,5,6,6, 6 E,,6,5,6 Dmit gilt für en Verteilungsvektor p : p M p,6 E p, 6 p (nhrehnen!) _Kl.o Dr. L. Mingirulli

7 7 Bei einem Verteilungsvektor ( p ) T (8 8) ergit sih nh einem Zyklus Für weitere Zyklen folgt: p,6 8 p 88, 7 88 p,6 p p,6 p n,, llgemein: pn, 6 p. 7,8 Die Mikäferpopultion nimmt lso zyklish um en Fktor,6. Senkrehte hse: nzhl er Mikäferweihen, wgrehte hse: Jhre Bereiten Sie ie Kontrollufge 5. _Kl.o Dr. L. Mingirulli

8 _Kl.o Dr. L. Mingirulli 8 Verllgemeinerung Wir etrhten eine llgemeine Üergngsmtrix un erehnen sukzessive ie Mtrixpotenzen. Es gilt lso E so wie E 8 ) (, E ) (,, E n n ) ( Merke Veränert sih eine Popultion gemäß er Üergngsmtrix, nn gelten ie folgenen Beingungen: - Für wähst ie Popultion zyklish. - Für wieerholt sih er Popultionsestn zyklish. - Für nimmt ie Popultion zyklish.