Kapitel 1. Anschauliche Vektorrechnung

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1 Kpitel 1 nschuliche Vektorrechnung 1

2 2 Kpitel I: nschuliche Vektorrechnung Montg, 13. Oktoer 03 Einordnung Dieses erste Kpitel ht motivierenden Chrkter. Es führt n die geometrische nschuung nknüpfend die zentrlen Begriffe der Lineren lger unmittelr und ohne pedntische Vorreden ein, ws uns erlut, ohne Umwege mit diesen Konzepten zu reiten. Ein gewisser Nchteil dieses Vorgehens ist die nch heutigem Stndrd mngelnde egriffliche Präzision. Es sei dher dieses erste Kpitel etreffend n Sie ppelliert, sich durch diese Unschärfe nicht irritieren zu lssen und den vorgestellten Betrchtungen mit Begeisterung zu folgen. Eine suere egriffliche Fundierung, die heute in den meisten Drstellungen der Lineren lger m nfng steht, fußt uf einer xiomtischen Einführung des Vektorrumegriffs. Trotz der egrifflichen Schärfe, die mit diesem Vorgehen verunden ist, hen nfänger/innen edingt durch den hohen strktionsgrd erfhrungsgemäß Schwierigkeiten, sich ei einer solchen rt des Vorgehens ein inhltliches Verständnis zu erweren. Ein weiteres Prolem liegt drin, dss ei einem xiomtischen Vorgehen der Zusmmenhng zur ürigen mthemtischen Erfhrung nur schwer herzustellen ist und dher die Vorge eines solchen xiomensystems (zunächst jedenflls) recht künstlich erscheint. Es ist dher eine ufge dieses Vorspnns, für genügend nschuungsmteril zu sorgen und die für die Linere lger grundlegenden Begriffsildungen des Vektorrums und der lineren ildung herzuleiten. Die zunächst vorhndene egriffliche Unschärfe nehmen wir dei in Kuf; sie wird durch die m Wege mitgenommenen Einsichten mehr ls kompensiert.

3 Vektoren und ihre Länge Vektoren und ihre Länge Wir reiten im 3-dimensionlen nschuungsrum, den wir nicht weiter erklären wollen (und können). Die erwähnte egriffliche Unschärfe ht ihre Wurzel im hier notwendigen Rückgriff uf die nschuung. Ein geordnetes Punktepr (, E) definiert einen Vektor E E Vektor, drgestellt ls gerichtete Strecke nennen wir den nfngspunkt, B den Endpunkt der gerichteten Strecke von nch B. Hinsichtlich der Gleichheit von Vektoren treffen wir die Vereinrung, dss zwei Vektoren und üereinstimmen, wenn sie durch eine Prllelverschieung useinnder hervorgehen 1. Ist somit C D B Gleichheit von Vektoren ein Prllelogrmm, so ist C = BD und ntürlich uch B = CD. Es ist ülich, Vektoren mit kleinen deutschen Buchsten zu ezeichnen = B = CD = C = BD. Wir können wie in der Physik ülich uch die Schreiweise = B, = C usf. verwenden. Fssen wir zusmmen: Ein Vektor ist die Gesmtheit (Menge) ller Strecken von gleicher Richtung und gleicher Länge. 1 Diese Vereinrung zieht nch sich, dss wir streng genommen nicht mehr vom nfngspunkt zw. Endpunkt eines Vektors sprechen können. Gleichwohl werden wir diese Redeweise im folgenden verwenden. Die Rede ist dnn vom nfngs- und Endpunkt einer gerichteten Strecke, die wir zur Repräsenttion des Vektors gewählt hen.

4 4 Kpitel I: nschuliche Vektorrechnung Die Länge eines Vektors = B, d.h. den stnd der eiden Punkte, B ezeichnen wir mit und nennen diese Zhl 0 den Betrg von. Flls = B nennen wir B den Nullvektor. Schreiweise o =. Ntürlich ist = o genu dnn, wenn = 0. Wir kürzen diesen Schverhlt wie folgt : = o = 0. Wir echten, dss hier zwischen der Zhl 0 und dem Vektor o deutlich zu unterscheiden 2 ist. 2 Mit fortgeschreitendem Stdium des Verständnisses werden wir diese ezeichnungsmäßige Unterscheidung zwischen Nullvektor o und Zhl 0 ls zu pedntisch ufgeen, er ntürlich n der egrifflichen Verschiedenheit festhlten.

5 Die ddition von Vektoren Die ddition von Vektoren Der Vektor + wird geildet, indem der nfngspunkt von n den Endpunkt von gefügt wird. C D + B ddition von zwei Vektoren Ist lso = B, = BC, dnn ist + = C. Es ist er uch = D, = DC und folglich + = D + DC = C. Dmit hen wir die Kommuttivität ( 1) + = + für lle, der Vektorddition nchgewiesen. Um die Summe von drei Vektoren,, c zu ilden, etrchten wir die folgende Figur: D + ( + c) ( + ) + c + + c c C B ssozitivität der Vektorddition Hierus erhlten wir sofort die ssozitivität der Vektorddition ( 2) ( + ) + c = + ( + c) für lle,, c.

6 6 Kpitel I: nschuliche Vektorrechnung Ist = B, so ist o = = BB. Es folgt + o = B + BB = B =, entsprechend ( 1) uch o + =. Folglich gilt ( 3) + o = o + = für lle. Donnerstg, 16. Oktoer 03 Erklären wir für = B den Vektor ls B Negtiver Vektor so erhlten wir + ( ) = B + B = = o. Somit unter erneuter Bechtung von ( 1) ls chrkterisierende Eigenschft des dditiven Inversen B ( 4) + ( ) = o = ( ) + für lle. Schließlich erklären wir die Differenz von Vektoren, durch = + ( ). Im Bild: + ( ) Differenz zweier Vektoren Merkregel. ist der Vektor, der vom Endpunkt von zum Endpunkt von weist, flls und so gelegt sind, dss ihre nfngspunkte zusmmenfllen. Es gilt ntürlich ( ) + =. Sie können dies direkt m oigen Bild lesen, er uch us den isher schon gewonnenen Rechenregeln herleiten: ( ) + nch Definition ( 2) nch Definition ( 3) = ( + ( )) + = + (( ) + ) = + o =. Es hndelt sich ei der Sutrktion von Vektoren somit ttsächlich um die Umkehrung der ddition.

7 Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Ist eine reelle Zhl (Sklr) und ist > 0, so verstehen wir unter denjenigen Vektor, der die gleiche Richtung ht wie, er -ml so lng ist: =. Wir setzen 0 = o und erklären für > 0 ( ) ls denjenigen Vektor, der die entgegengesetzte Richtung von, er seine -fche Länge ht: ( ) =. llgemein hen wir dher (3.1) = flls ein Sklr und ein Vektor ist. Hierei ist (3.2) = { flls 0 flls < 0 der stnd der reellen Zhl vom Nullpunkt uf der reellen Zhlengerden, der sog. solutetrg von. Mn verifiziert leicht die folgenden Rechenregeln für die Multipliktion von Vektoren mit Sklren: (M 1) ( + ) = + (M 2) ( + ) = + (M 3) () = () (M 4) 1 =. Verredung: nstelle von 1 (für einen Sklr 0) schreien wir häufig. Insesondere erhlten wir mit =, flls o, mittels (3.1), dss die Länge Eins ht. Für jeden Vektor o ist dher stets ein Einheitsvektor, ein Vektor der Länge Eins, der zudem die sele Richtung ht wie. Den Üergng von o zum Einheitsvektor nennt mn normieren.

8 8 Kpitel I: nschuliche Vektorrechnung 1.4 Beispiele Für die Betrchtungen dieses schnitts erweist es sich ls equem, einen Punkt N des Rumes uszuzeichnen (ls Bezugspunkt, Nullpunkt oder Ursprung des Koordintensystems ). Jeder Punkt P des Rumes ist dnn reltiv zu N durch seinen Ortsvektor = N P eindeutig estimmt. In den folgenden Untersuchungen werden wir ohne weiteren Kommentr die Punkte des Rumes durch ihre Ortsvektoren eschreien Der Mittelpunkt M der Strecke B. M B m N Mittelpunkt einer Strecke Es ist B =, folglich M = 1/2( ), somit NM = ( ) = 1 ( + ). 2 Dmit m = 1 ( + ) Gerde, gegeen durch Punkt und Richtung G x N Gerde, gegeen durch Punkt und Richtung Die Gerde G durch den Punkt mit Richtungsvektor esteht us llen Punkten x, welche die Form x = + t mit einem Sklr t

9 Beispiele 9 hen. In Mengenschreiweise ist G = {x x = + t für ein t R}. Wir werden für diese einführenden Betrchtungen im Interesse einer knppen Redeweise jedoch häufig von der Gerden x = + t reden oder x = + t, t R, ls Prmeterdrstellung der Gerden ezeichnen. Fssen wir zusmmen: Ein Punkt x liegt genu dnn uf der Gerden G durch mit Richtung (lso x G) wenn es ein t R git mit x = + t. Der Richtungsvektor muss ntürlich verschieden von 0 sein, dmit wirklich eine Gerde vorliegt.