a q 0 q 1 a M q 1 q 3 q 2

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1 Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem gleichen Tutorium ereitet werden Die Lösungen der Husufgen müssen is Mi, im Tutorium gegeen werden Alterntiv ist es is 17 Uhr möglich, diese in den Ksten im Flur des LuFG I2 einzuwerfen (Ahornstr 55, E1, 2 Etge) Nmen und Mtrikelnummern der Studierenden sowie die Nummer der Üungsgruppe sind uf jedes Bltt der Age zu schreien Heften zw tckern Sie die Blätter! Die Tutorufgen werden in den jeweiligen Tutorien gemeinsm esprochen und ereitet Tutorufge 1 (Homomorphismen uf DFAs): Betrchten Sie die eiden folgenden DFAs M und M q 0 q 1 M q 0 q 1 q 3 M q 2 ) Git es einen Homomorphismus von M nch M? Begründen Sie Ihre Antwort ) Git es einen Homomorphismus von M nch M? Begründen Sie Ihre Antwort ) Nein Der Zustnd q 0 knn nicht gleichzeitig uf die Zustände q 0 und q 2 geildet werden Eenso knn q 1 nicht gleichzeitig uf q 1 und q 3 geildet werden Letzteres ist llein schon nötig, um die erste Bedingung für einen Homomorphismus zu erfüllen, während die dritte Bedingung für einen Homomorphismus eide Aildungen enötigen würde Denn mit dem Wort erreicht mn von q 0 den Zustnd q 2 und umgekehrt, während mn von q 0 us wieder q 0 erreicht Genuso verhält es sich ei den Zuständen q 1, q 3 und q 1 ) J Die Funktion h mit h(q 0 ) = h(q 2 ) = q 0 und h(q 1 ) = h(q 3 ) = q 1 ist ein solcher Homomorphismus 1

2 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 Husufge 2 (Homomorphismen uf DFAs): (4 + 3 = 7 Punkte) Sei Σ ein Alphet ) Beweisen Sie die folgende Aussge: Seien M = (Q, Σ, δ, q 0, F ), M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) zwei elieige DFAs und sei h : Q Q ein Homomorphismus von M nch M Dnn gilt L(M) = L(M ) Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dss für lle w Σ gilt: h(ˆδ(q 0, w)) = ˆδ (h(q 0 ), w) Verwenden Sie hierzu Induktion üer die Länge des Wortes w ) Geen Sie zwei DFAs M und M üer dem Alphet Σ = {, } n, die lle folgenden Eigenschften erfüllen: L(M) = L(M ) Es existiert kein Homomorphismus h von M nch M Es existiert kein Homomorphismus h von M nch M M und M hen jeweils mximl 4 Zustände ) D h ein Homomorphismus ist, gilt: (1) h(q) F q F (2) h(q 0 ) = q 0 (3) h(δ(q, )) = δ (h(q), ) Wir zeigen zunächst, dss ( ) h(ˆδ(q 0, w)) = ˆδ (h(q 0 ), w) per Induktion üer w Im Induktionsnfng ist w = ɛ und h(ˆδ(q 0, ɛ)) = h(q 0 ) (2) = q 0 = ˆδ (q 0 (2), ɛ) = ˆδ (h(q 0 ), ɛ) Als Induktionshypothese nehmen wir n, dss ( ) für w Σ gilt Im Induktionsschritt ist nun w = w mit Σ Es gilt h(ˆδ(q 0, w)) = h(ˆδ(q 0, w )) = h(δ(ˆδ(q 0, w ), )) (3) = δ (h(ˆδ(q 0, w )), ) IH = δ (ˆδ (h(q 0 ), w ), ) = ˆδ (h(q 0 ), w ) = ˆδ (h(q 0 ), w) Dmit gilt: L(M) = L(M ) w Σ : w L(M) w L(M ) w Σ : ˆδ(q 0, w) F ˆδ (q 0, w) F (2) w Σ : ˆδ(q 0, w) F ˆδ (h(q 0 ), w) F ( ) w Σ : ˆδ(q 0, w) F h(ˆδ(q 0, w)) F w Σ : ˆδ(q 0, w) F h(ˆδ(q 0, w)) F gilt wegen (1) 2

3 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4, q 2 q 1,, q, 0 q 1, q 0, q 3 ) q 3 Beide DFAs kzeptieren die Sprche L = {w {, } w 2} Der Zustnd q 1 lässt sich nicht gleichzeitig uf q 1 und q 2 ilden, während q 3 nicht gleichzeitig uf q 2 und q 3 geildet werden knn Ersteres ist nötig, d mn von q 0 us mit den Zustnd q 1 erreicht, während mn mit den Zustnd q 2 erreicht Von q 0 us erreicht mn llerdings mit eiden Worten den Zustnd q 1 Letzteres ist nötig, d mn von q 0 us mit den Zustnd q 2 erreicht, während mn mit den Zustnd q 3 erreicht Von q 0 us erreicht mn llerdings mit eiden Worten den Zustnd q 3 q 2 Tutorufge 3 (Myhill-Nerode-Reltion): Bestimmen Sie für die folgenden Sprchen L i üer den Alpheten Σ i die Menge der Äquivlenzklssen Σ / Li Geen Sie für die Sprchen L i, für die diese Menge endlich ist, einen minimlen DFA n, der L i erkennt Geen Sie für die nderen Sprchen für lle Pre [w] Li [w ] Li ein trennendes Wort u n, so dss wu L i und w u L i gilt ) Seien Σ 1 := {, } und L 1 := {w Σ 1 w enthält oder } ) Sei Σ 2 := {0, 1} Wir führen die Gewichtsfunktion weight : {0, 1} N 0 ein, die die Quersumme einer Binärzhl erechnet: weight(ɛ) := 0 weight(w ) := weight(w) + {0, 1}, w {0, 1} L 2 := {w Σ 2 k N 0 : weight(w) = 2 k } c) Seien Σ 3 := {0, 1} und L 3 := {w Σ 3 n N 0 : w = 1 n 01 n } Wir verwenden im folgenden die Schreiweise [w] sttt [w] Li eindeutig festgelegt für ein w Σ i, die Sprche L i ist vom Kontext ) Σ / L1 = {[ɛ], [], []} 3

4 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4,, [ɛ] [] [] ) Die Äquivlenzklssen entsprechen jeweils den Mengen ller Wörter, die die gleiche Anzhl von 1en enthlten: c) Σ / L2 = {{w {0, 1} weight(w) = k} k N 0 } Seien nun [w] [w ] Σ / L2 Wir setzen m = weight(w) und m = weight(w ) Nch Vorussetzung wissen wir, dss m m Ohne Beschränkung der Allgemeinheit fordern wir m < m (dies knn durch Vertuschen von w, w erreicht werden) Wir wollen ein trennendes Wort u finden, so dss w u L 2 und w u L 2 gilt Betrchten wir zuerst zwei Spezilfälle: Fll m = 0 und m 2 k 1 für ein k N 0 : Dnn gilt für u = 1, dss w 1 L 2 w [w] und w 1 L 2 w [w ] Fll m = 0 und m = 2 k 1 für ein k N 0 : Dnn gilt für u = 11, dss w 11 L 2 w [w] und w 11 L 2 w [w ] Wir etrchten nun die verlieenen Fälle, dh 1 m < m Seien l = log 2 (m) und l = log 2 (m ), dh die kleinsten ntürlichen Zhlen mit 2 l 1 m < 2 l und 2 l 1 m < 2 l Aus m < m folgt hier insesondere uch l l Mit δ = 2 l m (zw δ = 2 l m ) eschreien wir nun lso die Differenz zwischen m (zw m ) und der nächstgrößeren Zweierpotenz 2 l (zw 2 l ) Im Fll δ δ ist u = 1 δ ein trennendes Wort, d dnn 1 weight( w u) = m + δ = 2 l und weight( w u) = m + δ 2 l für lle w [w], w [w ] ist D ußerdem l l gilt, wissen wir, dss m + δ < 2 l +1 gilt Dmit ist dnn w u L 2 und w u L 2 Im Fll δ = δ folgt direkt l < l Dnn ist u = 1 δ+2l ein trenndes Wort, d dnn weight( w u) = m+δ+2 l = 2 l + 2 l = 2 l+1 und weight( w u) = m + δ + 2 l = 2 l + 2 l < 2 l +1 folgt C n 3 :={1 n } C3 k :={1 n 01 n k n N 0 } Σ / L3 = {C3, i C3 i } {{1n 01 k k > n} {w0w 0w w, w, w Σ }} i N 0 Hierei entsprechen die Elemente von C3 n den Wörtern, in denen ereits n ml die 1 gelesen wurde; die C k 3 sind die Wörter, in denen noch k 1en fehlen und in der letzten Äquivlenzklsse liegen ll die Wörter, die nicht Prefix eines Wortes der Sprche sind Seien nun [w], [w ] zwei Äquivlenzklssen mit [w] [w ] Fll w = C3 t für ein t N 0: Mit u = 01 t gilt w u L, er nicht w u L Ist w von der Form 1 t mit t t, ist dies klr Für lle nderen Fälle enthält w u mehr ls einml die 0 und knn dher nicht in der Sprche liegen Fll w = C t 3 für ein t N 0 : Mit u = 1 t gilt w u = 1 n 01 n t 1 t = 1 n 01 n L Ist w von der Form 1 t, enthält w u keine 0 und ist dher nicht in der Sprche Ist w von der Form 1 l 01 k mit t t = l k, ist w u eenflls nicht in L Ist w eines der ungültigen Prefixe, gilt generell w u L 1 An dieser Stelle sei emerkt, dss weight ein Monoid-Homomorphismus von ({0, 1}, ) nch (N 0, +) ist 4

5 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 Husufge 4 (Myhill-Nerode-Reltion): ( = 7 Punkte) Bestimmen Sie für die folgenden Sprchen L i üer den Alpheten Σ i die Menge der Äquivlenzklssen Σ / Li Geen Sie für die Sprchen L i, für die diese Menge endlich ist, einen minimlen DFA n, der L i erkennt Geen Sie für die nderen Sprchen für lle Pre [w] Li [w ] Li ein trennendes Wort u n, so dss wu L i und w u L i gilt ) Seien Σ 4 := {, } und L 4 := {w Σ 4 w enthält oder } ) Seien Σ 5 := {0, 1,, 9} und L 5 := {w Σ 5 w durch 3 teilre Dezimlzhl } = {0, 3, 6, 9, 12, } Dei sind Dezimlzhlen ll die Ziffernfolgen, die entweder die 0 sind oder nicht mit 0 eginnen Hinweis: Um heruszufinden, o eine Dezimlzhl z durch 3 teilr ist, knn mn die Quersumme q der Zhl ilden und stttdessen üerprüfen, o q durch 3 teilr ist Genu dnn, wenn dies der Fll ist, ist uch z durch 3 teilr c) Sei Σ 6 := {0, 1} Wir erinnern n dup : Σ Σ us Tutorufge 1 von Üungsltt 3: dup(ɛ) := ɛ dup(w ) := dup(w) Σ, w Σ L 6 := {w Σ 6 w {1} : w = w 0 dup(w )} ) Σ / L4 = {[ɛ], [], [], [], []} [] [ɛ] [] [], [] ) Σ / L5 = {[ɛ], [0], [00], [1], [2], [3]} 5

6 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 Σ 0, 3, 6, 9 [00] [1] Σ [0] 1, 4, 7 2, 5, 8 1, 4, 7 0 [ɛ] 2, 5, 8 [2] 0, 3, 6, 92, 5, 1, 84, 7 3, 6, 9 2, 5, 8 1, 4, 7 [3] 0, 3, 6, 9 c) Wir können uch eine lterntive Schreiweise für L 6 ngeen: L 6 = {w {1, 0} n N 0 : w = 1 n 01 2n } Dmit können wir nlog zur Tutorufge 3(c) die folgenden Äquivlenzklssen enennen: C n 6 :={1 n } C6 k :={1 n 01 2n k n N 0 } Σ / L6 = {C6, i C6 i } {{1n 01 k k > 2n} {w0w 0w w, w, w Σ }} i N 0 Hierei entsprechen die Elemente von C6 n den Wörtern, in denen ereits n ml die 1 gelesen wurde; die C k 6 sind die Wörter, in denen noch k 1en fehlen und in der letzten Äquivlenzklsse liegen ll die Wörter, die nicht Prefix eines Wortes der Sprche sind Seien nun [w], [w ] zwei Äquivlenzklssen mit [w] [w ] Fll w = C6 t für ein t N 0: Mit u = 01 2t gilt w u L 6, er nicht w u L 6 Ist w von der Form 1 t mit t t, ist dies klr Für lle nderen Fälle enthält w u mehr ls einml die 0 und knn dher nicht in der Sprche liegen Fll w = C t 6 für ein t N 0 : Mit u = 1 t gilt w u = 1 n 01 2n t 1 t = 1 n 01 2n L 6 Ist w von der Form 1 t, enthält w u keine 0 und ist dher nicht in der Sprche Ist w von der Form 1 l 01 k mit t t = 2l k, ist w u eenflls nicht in L 6 Ist w eines der ungültigen Prefixe, gilt generell w u L 6 6

7 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 Tutorufge 5 (Sprch-Index): Knn es einen NFA M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) geen, ei dem Q kleiner ist ls der Index von L(M)? J! Es reicht, einen entsprechenden NFA und den pssenden minimlen DFA nzugeen: NFA M üer Σ = {}: q 0 minimler DFA M mit L(M) = L(M ): q 0 q 1 Husufge 6 (Größenschätzung für Automten): (3 Punkte) Sei M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) ein NFA mit Q = 16 Zuständen Knn ein Automt M = (Q, Σ, δ, q 0, F ) existieren, der ein minimler DFA mit Q = und L(M) = L(M ) ist? Begründen Sie Ihre Antwort Nein Durch die Potenzmengenkonstruktion für M erzeugt mn einen DFA M mit L(M) = L(M ) Die Konstruktion erzeugt dei mximl einen Zustnd pro Menge von Zuständen us Q Es git dher mximl 2 Q = P(Q) = 2 16 = Zustände in M D L(M ) = L(M) = L(M ) gilt und der DFA M weniger Zustände ls M ht, knn M kein minimler DFA für L(M) sein Tutorufge 7 (Vergleich und L ): Der folgende Automt erkennt die Sprche L Geen Sie zwei Wörter u, v {, } n, für die u L v und u v gilt Hierei edeutet u v ˆδ(q 0, u) = ˆδ(q 0, v) Geen Sie usserdem [u], [v], [u] L und [v] L in Form von regulären Ausdrücken n q 1 q 0 q 3, q 2 7

8 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 Wir wählen u = und v = Aus der Definition von ergit sich [w] = { w ˆδ(q 0, w ) = ˆδ(q 0, w) } Es folgt somit [] = ( + )() und [] = ( + )() Die Äquivlenzklssen von L eschreien die Wörter, die durch Anhängen von Suffixen ezüglich der Sprche L nicht unterschieden werden können Es gilt [] L = ( + ) = [] L Husufge 8 (Minimlität): (3 Punkte) Beweisen Sie, dss folgender DFA miniml ist Verwenden Sie hierzu den Stz von Myhill-Nerode q 1 q 0 q 2 D der Automt 3 Zustände esitzt, knn die Nerode-Kongruenz der von ihm erknnten Sprche höchstens 3 Äquivlenzklssen esitzen Wir etrchten die Äquivlenzklssen von, die nch Lemm 262 eine Verfeinerung der Klssen von L drstellen [ɛ] = {w {, } ˆδ(q 0, w) = q 0 } [] = {w {, } ˆδ(q 0, w) = q 1 } [] = {w {, } ˆδ(q 0, w) = q 2 } Es leit zu zeigen, dss diese Klssen keine echte Verfeinerung ezüglich L sind Dfür geen wir für us je zwei Klssen Elemente n, die sich ezüglich L unterscheiden Für [ɛ] und [] : ɛɛ L, er ɛ / L, für [] und [] : / L, er L und für [] und [ɛ] : ɛ / L, er ɛɛ L Somit ht ein minimler Automt, der die Sprche L erkennt mindestens 3 Zustände 8

9 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 Tutorufge 9 (Myhill-Nerode-DFA und Äquivlenzklssen): Sei [ɛ] L L = Zeigen Sie, dss der Strtzustnd im Myhill-Nerode-DFA zu L kein Endzustnd ist (q 0 / F ) Aus der Konstruktion des Myhill-Nerode-DFA folgt, dss [ɛ] L der Strtzustnd des Automten ist Es gilt offensichtlich, dss ɛ [ɛ] L enthlten ist Mit [ɛ] L L = folgt ɛ / L Der im Automten für ɛ erreichte Zustnd ist der Strtzustnd und drf lso kein Endzustnd sein Husufge 10 (Aschätzung von L ): (4 Punkte) Sei L eine reguläre Sprche Für diese Sprche ist [ɛ] L L = eknnt (lso kein Wort us dieser Äquivlenzklsse ist in der Sprche L enthlten) Weiterhin gilt [ɛ] L = [] L Zudem ist [] L L eknnt (lso lle Wörter in dieser Äquivlenzklsse sind uch in der Sprche L enthlten) Welche der folgenden Aussgen sind korrekt? Begründen Sie Ihre Antworten Hinweis: Versuchen Sie, den Myhill-Nerode-DFA für L so weit wie möglich zu konstruieren! 1 L = 2 [] L L = 3 [] L L 4 L 1 Flsch Offensichtlich gilt [] L, lso [] L Allgemein knn keine Äquivlenzklsse [w] L leer sein, d jeweils der Repräsentnt w enthlten ist Mit [] L L folgt L Die erste Aussge ist lso flsch 2 Whr Aus [ɛ] L L = folgt, dss der Strtzustnd des Myhill-Nerode-DFA kein Endzustnd ist Aus ɛ [ɛ] L und ɛ = [] L = [ɛ] L folgt, dss es eine -Schleife für den [ɛ] L -Zustnd (lso dem Strtzustnd) geen muss Bisher ergit sich lso folgender Myhill-Nerode-DFA: [ɛ] L An diesem einen Zustnd knn mn schon lesen, dss die Wörter ɛ,,,,, sowohl in der gleichen Äquivlenzklsse liegen ls uch nicht in der Sprche L enthlten sind Die zweite Aussge ist lso whr 3 Flsch D [] L gilt, ist [] L lso nicht leer Aus der zweiten Aussge folgt dnn, dss die dritte Aussge flsch ist 9

10 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 4 Whr D [ɛ] L = [] L L = und [] L L gelten, folgt [ɛ] L [] L Im Myhill-Nerode-DFA existiert lso ein Zustnd zu [] L, welcher -Nchfolger vom Zustnd für [] L = [ɛ] L ist Dieser Zustnd für [] L muss ein Endzustnd sein, d [] L L gilt [ɛ] L [] L Am isher konstruierten Automten knn mn lesen, dss [] L = [] L gelten muss, lso uch 10