6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.

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1 Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 2015 Prof. S. Lnge 6. Üungsltt 1. Aufge Es sei die folgende Grmmtik G = [Σ, V, S, R] gegeen. Dei seien Σ = {, } und V = {S, B}, woei S ds Strtsymol ist. Ferner enthlte R die folgenden Regeln: S BBS B B B Bentworten Sie die folgenden Frgen: (i) Von welchem Typ ist die Grmmtik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz. (ii) Zeigen Sie, dss ds Wort w = zur Sprche L(G) gehört. 2. Aufge Gegeen seien die Sprchen: L 1 = {1 k 01 m 01 n k, m, n 0, m = k + n} L 2 = {1 k 01 m k, m 0, k > m} L 3 = {1 k 0 m k, m 0} Bentworten Sie folgende Frgen mit J oder Nein und egründen Sie Ihre Antworten: (i) Ist L 1 kontextfrei? (ii) Ist L 1 kontextsensitiv? (iii) Ist L 2 kontexfrei? (iv) Ist L 2 regulär? (v) Ist L 3 regulär? 1

2 3. Aufge Es sei der folgende endliche deterministische Automt A = [Z, Σ, z 0, F, δ] gegeen. Dei seien Z = {z 0, z 1, z 2, z 3, z 4 }, Σ = {, }, z 0 der Strtzustnd und F = {z 1, z 2 }. Die Zustndsüerführungsfunktion δ sei wie folgt eschrieen: strt z 0 z 1 z 3, z 2 z 4, Teilufge () Zeigen oder widerlegen Sie, dss die Sprche L(A) unendliche viele Wörter enthält. Teilufge () Bestimmen Sie mit Hilfe des Minimierungslgorithmus einen minimlen Automten A mit L(A ) = L(A), geen Sie lle relevnten Klsseneinteilungen der Zustndsmenge Z n und zeichnen Sie den Automten A. Teilufge (c) Geen Sie eine reguläre Grmmtik G mit L(G) = L(A) n. Teilufge (d) Geen Sie zwei Wörter u 1, u 2 Σ n, für die u 1 R L u 2 gilt. Geen Sie zwei Wörter u 3, u 4 Σ, für die nicht u 3 R L u 4 gilt. Hinweis: R L ezeichnet die durch die Sprche L = L(A) definierte Nerode-Reltion. 4. Aufge Es sei Σ = {0, 1 } ds zugrunde liegende Alphet. Für jedes Wort w Σ ezeichne nt(w) die ntürliche Zhl, deren Binärdrstellung is uf führende Nullen mit w üereinstimmt. Teilufge () Es seien L 1 die Sprche, die lle Zeichenketten w Σ enthält, für die nt(w) eine durch 3 teilre Zhl ist, und L 2 die Sprche, die lle Zeichenketten w Σ enthält, für die nt(w) eine durch 2 teilre Zhl ist Geen Sie endliche Automten A 1 und A 2 mit L(A 1 ) = L 1 zw. L(A 2 ) = L 2 n. Teilufge () Es sei L die Sprche, die lle Zeichenketten w Σ enthält, für die nt(w) keine durch 6 teilre Zhl ist. Benutzen Sie die endlichen Automten A 1 und A 2 us Teilufge (), um einen endlichen Automten A mit L(A) = L zu konstruieren. 2

3 5. Aufge Es seien eine reguläre Grmmtik G und endlicher Automt A gegeen. Beschreien Sie gnz gro einen Algorithmus, mit dem mn entscheiden knn, o L(G) = L(A) gilt. 6. Aufge Es seien Σ = {,, c} und L = { i j i c k i, j 0, k 1}. Teilufge () Geen Sie ein Wort s L n, ds 4-ufpumpr ist Geen Sie ein Wort s L, ds 5-ufpumr ist. Begründen Sie, dss die von Ihnen gewählten Wörter die gewünschte Eigenschft hen. Teilufge () Geen Sie ein Wort s L n, dss nicht 3-ufpumpr ist. Begründen Sie Ihre Whl usführlich. Teilufge (c) Zeigen Sie, ds die Sprche L keine reguläre Sprche ist, in dem Sie zu jedem n 1 ein Wort s n L ngeen, dss nicht n-ufpumpr ist. Teilufge (d) Zeigen Sie, dss die Sprche L eine kontextfreie Sprche ist. 7. Aufge Es sei Σ = {, }. Git es Sprchen L 1, L 2 Σ, die die folgenden Eigenschften hen? Flls J, geen Sie entsprechende Sprchen n. Flls Nein, egründen Sie, weshl es solche Sprchen nicht geen knn. (i) L 1 ist regulär, L 2 ist nicht regulär und L 1 L 2 ist nicht regulär. (ii) L 1 ist regulär, L 2 ist nicht regulär und L 1 L 2 ist regulär. (iii) L 1 ist regulär, L 2 ist regulär und L 1 \ L 2 ist nicht regulär. (iii) L 1 ist endlich, L 2 ist endlich und L 1 L 2 ist nicht regulär. 8. Aufge Es sei Σ = {, } und L eine endliche Sprche. Zeigen Sie, dss die Sprche L = Σ \ L eine reguläre Sprche ist. 3

4 9. Aufge Es seien Σ = {,, c} und L 1, L 2 Σ die wie folgt definierten Sprchen: L 1 = { j 2j c k m+1 j, k, m 0}. L 2 = { 2j j c k m+1 j, k, m 0}. Beweisen Sie die folgenden Aussgen: (i) Die Sprche L 1 ist kontextfrei. (ii) Die Sprche L = L 1 L 2 ist regulär. 10. Aufge Es sei die folgende kontextfreie Grmmtik G = [Σ, V, S, R] gegeen. Dei seien Σ = {, }, V = {S, H, K} sowie S ds Strtsymol. Ferner enthlte R die folgenden sechs Regeln: S S H H K K H H Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G in Chomsky-Normlform mit L(G ) = L(G) n. 11. Aufge Es sei die folgende kontextfreie Grmmtik G = [Σ, V, S, R] gegeen. Dei seien Σ = {, }, V = {S, H, A, B, C} sowie S ds Strtsymol. Ferner enthlte R die folgenden sieen Regeln: S CA HB H HB A B C AS (i) Zeigen Sie mit Hilfe des Cocke-Younger-Ksmi-Algorithmus, dss ds Wort zur Sprche L(G) gehört. (ii) Geen Sie lle Teilzeichenketten von n, die nicht zur Sprche L(G) gehören. Hinweis: Eine Zeichenkette u ist Teilzeichenkette einer gegeenen Zeichenkette w, flls es Zeichenketten x und y git, so dss w = x u y gilt. 12. Aufge Es sei L Σ eine reguläre Sprche und A ein endlicher deterministischer Automt mit 10 Zuständen, der die Sprche L kzeptiert. Wie viele Äquivlenzklssen ht die Klsseneinteilung, die die durch L definierte Nerode-Reltion R L uf der Menge Σ induziert? 4

5 () mximl 10 Äquivlenzklssen, () genu 10 Äquivlenzklssen, () mindestens 11 Äquivlenzklssen. Begründen Sie Ihre Antwort kurz. 5