Teil V: Formale Sprachen
|
|
- Hajo Dressler
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Formle Sprchen
2 Teil V: Formle Sprchen 1. Sprchen und Grmmtiken 2. Endliche Automten Frnz-Josef Rdermcher & Uwe Schöning, Fkultät für Ingeneurwissenschften und Informtik, Universität Ulm, 2008/09 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 2 (von 74)
3 1. Sprchen und Grmmtiken Formle Sprchen Formle Sprchen vs. gesprochene Sprchen Grmmtiken Die Sequenz Typen-Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky Chomsky-Hierrchie und Progrmmiersprchen Chomsky-Normlform (CNF) für Typ 2 Sprchen Reguläre Ausdrücke Alterntive Drstellung: BNF/EBNF Syntxdigrmme Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 3 (von 74)
4 Formle Sprchen Ziele: Formulierung von Algorithmen in eindeutiger und für Computer verständlicher Weise. Mittel: Formlismen, die gewisse Ähnlichkeiten mit gesprochenen Sprchen hen, sich er in Bezug uf Zweckmässigkeit und Eindeutigkeit von gesprochenen Sprchen grenzen Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 4 (von 74)
5 Formle Sprchen (1) Gesprochene Sprche ht u.. Formlen Aufu Bedeutung uch ei formlen Sprchen (Grmmtik, d.h. Regeln) (Semntik) kleine grmmtisch korrekte Unterschiede können zu großen Bedeutungsunterschieden führen; uch jenseits von Gegenteiligkeit Bsp.: Der Weg ist ds Ziel. Weg ist ds Ziel. uch in formlen Sprchen möglich Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 5 (von 74)
6 Formle Sprchen (2) Dssele Wort, d. h. diesele Buchstenfolge knn in verschiedenen gesprochenen Sprchen vorkommen und dnn verschiedene Bedeutungen hen m i n d e r deutsch englisch weniger Aufpsser Auch in verschiedenen formlen Sprchen zulässig. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 6 (von 74)
7 Formle Sprchen vs. gesprochene Sprchen Zeichen us Alphet Wörter Ausdrücke, Anweisungen, Wörter, (Sätze) Buchsten us Alphet Wörter Sätze Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 7 (von 74)
8 Grmmtiken Um mit Sprchen, die im Allgemeinen unendliche Ojekte sind, lgorithmisch umgehen zu können, enötigen wir endliche Beschreiungsmöglichkeiten für Sprchen. Dzu dienen sowohl Grmmtiken ls uch Automten Grmmtik Syntx Synthetische Sicht Anlytische Sicht Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 8 (von 74)
9 Grmmtiken (1) NP = Nominlphrse VP = Verlphrse N = Nomen A = Artikel PP = Präpositionlphrse V = Ver P = Präposition Stz NP VP NP NP PP NP N NP A N VP V VP V NP VP VP PP PP P NP P P P N N N N mit in uf Hns Fru Ferngls Prk V V A A A A sieht geht der die ds einem Syntxum zu Hns sieht die Fru mit einem Ferngls 1) Stz 2) Stz Mehrdeutige Grmmtik VP VP NP PP NP VP PP NP NP NP NP NP N V A N P A N N V A N P A N (Hns) (sieht) (die Fru) (mit einem Ferngls) (Hns) (sieht die Fru) (mit einem Ferngls) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 9 (von 74)
10 Grmmtiken (2) Eine Grmmtik wird spezifiziert durch 4 Angen: G = (V, Σ, P, S) V = Σ = S V = P = endliche Menge der Vrilen endliche Menge der Terminlzeichen die Strtvrile endliche Menge der Regeln (oder Produktionen) uch ülich: (V, A, P, S), (N, T, P, S), (S N, S T, P, w S ) Es gilt: V Σ= Regeln Produktionsregeln hen die Form: linke Seite rechte Seite linke und rechte Seite können us Vrilen (= Nichtterminlzeichen) und Terminlzeichen zusmmengesetzt sein Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 10 (von 74)
11 Grmmtiken (3) Beispiel: V = { S } Σ = {, } lies: S erzeugt S oder us S folgt S Regeln 1) S S 2) S S S S = ²² S S S = ³³ d. h. Bei dieser Grmmtik sind leitr lle Wörter der Form n n, n 1 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 11 (von 74)
12 Grmmtiken (4) Definition: Eine endliche, nicht-leere Menge von Terminlzeichen nennt mn uch Alphet. Die Elemente eines Alphets heißen Symole. Flls Σ ein Alphet ist, so ezeichnet Σ* die Menge ller Worte estehend us Buchsten Σ. leeres Wort z. B.: Σ * = { ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001,... } Σ + = Σ * \ { ε } (Buchsten, Zeichen, Token) ( endliche Folgen) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 12 (von 74)
13 Grmmtiken (5) Beispiel: A = {,,, z }; B = { 0, 1 } C = { for, end, egin, if, then, else, } (endliche Folgen) Durch Hintereinnderschlten entstehen Wörter cd A*; B*; egin if end C*; Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 13 (von 74)
14 Grmmtiken (6) Die Länge eines Wortes ist die Anzhl seiner Buchsten. cd Σ*, mit cd = 6 ε = 0 Für w Σ* ezeichnet w die Länge von w. Es gilt: w1 w2 = w1 + w2 Sei w Σ* ein Wort, n N Dnn ist w n = ww w ein Wort der Länge w n = n w n-ml Sei Σ ein Alphet, dnn heißt L Σ* eine (formle) Sprche Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 14 (von 74)
15 Grmmtiken (7) Prolem: Sprchen enthlten i.. unendlich viele Wörter Ziel: Endlichen Formlismus ngeen, der in der Lge ist, unendlich viele Sprchen zu ezeichnen. Beispiel: Grmmtik us vorngegngenem Beispiel wr kontextfrei, d. h. uf der linken Seite der Regeln steht nur eine Vrile. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 15 (von 74)
16 Grmmtiken (8) kontextsensitive Beispiel für eine nicht-kontextfreie Grmmtik V = { S, B } Σ = {,, c } S: Strtvrile Regeln: 1) S SBc 2) S c 3) cb Bc 4) B Eine mögliche Aleitung eines Wortes Σ* S SBc cbc Bcc cc = ²²c² 1) 2) 3) 4) Bei dieser Grmmtik sind leitr: lle Wörter der Form n n c n, n 1 Σ* Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 16 (von 74)
17 Grmmtiken (9) Beispiel Für n = 3 S S B c S B c B c c B c B c B cc B c B c B cc B B ccc B ccc ccc Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 17 (von 74)
18 Grmmtiken (10) Definition: Die von einer Grmmtik G = (V, Σ, P, S) erzeugte (definierte) Sprche ist L(G) := { w Σ* S. w } w 1 w 2 edeutet eine Aleitung: vgl. Bsp. von oen: L(G) = { n n c n n 1 } Ds Wort w 1 enthält die linke Seite einer Grmmtik-Regel. Diese linke Seite wurde in w 2 durch die rechte Seite ersetzt. Eine Aleitung endet, wenn w nur noch Terminlsymole enthält. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 18 (von 74)
19 Die Sequenz S w edeutet, dss es eine Aleitung, d. h. eine endliche Folge von Regelnwendungen git, die von S uf w führt. Diese Folge ist nicht zwingend und es knn pssieren, dss estimmte ( schlechte) Folgen zu gr keiner Sequenz us Σ* führen. Beispiel: V = { S, B }, Σ = {,, c } S SBc S c cb Bc B S B d. i. keine Sequenz nur us Terminlsymolen S SBc BBc [stop] Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 19 (von 74)
20 Typen Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky Typ 0: keine Einschränkungen Typ 1: (oder kontextsensitiv) Für lle Regeln w 1 w 2 der Grmmtik muss gelten: w 1 w 2 Typ 2: (oder kontextfrei) für lle Regeln w 1 w 2 der Grmmtik gilt: w 1 V Typ 3: (oder regulär) wie Typ 2, zusätzlich muss w 2 eine der eiden Burten hen w 2 Σoder w 2 esteht us Terminl gefolgt von Vriler Menge ller Sprchen Typ 0 entscheidr Typ 1 Typ 2 Typ 3 Hinweis: Eine Sprche L Σ* ist Typ i { 0, 1, 2, 3 }, flls es Grmmtik G vom Typ i git mit L = L(G) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 20 (von 74)
21 Typen Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky (1) Eine Sprche L ist vom Typ 0, 1, 2, oder 3, wenn es eine Grmmtik G von entsprechendem Typ git, die die Sprche festlegt, lso L = L(G). Also: Sprchtypen sind gleich Grmmtiktypen. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 21 (von 74)
22 Typen Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky (2) Beispiel für reguläre Sprche (Typ 3) V = { S, A, B } Σ = {, } P = { 1. S S, 2. S A, 3. A S, 4. A B, 5. A, 6. B B, 7. B B, 8. B, 9. B } Diese Grmmtik ist vom Typ 3, denn 1. uf der linken Seite steht ei jeder Regel nur eine Vrile. 2. uf der rechten Seite steht nur ein einziges Terminlsymol (Regeln 5, 8, 9) oder ein Terminlsymol gefolgt von einer Vrilen (Regeln 1, 2, 3, 4, 6, 7). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 22 (von 74)
23 Typen Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky (3) Welche Sprche wird von vorngegngener Grmmtik erzeugt? z. B.: S A B S S S A L = { x {, }* in x kommt vor }. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 23 (von 74)
24 Typen Einteilung für Grmmtiken nch N-Chomsky (4) Chomsky Hierrchie ist strikt Typ 1 L = { x n n c n, n 1 } Beispiel jeweils nicht in speziellerer Klsse Typ 2 L = { x n n, n 1 } Typ 3 L = { x x enthält } Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 24 (von 74)
25 Sprch erkennung Es git effiziente Algorithmen, die ei einem vorgelegten Wort w und einer Typ 2 Grmmtik G feststellen, o dieses Wort us G leitr ist, d. h. zur Sprche L(G) gehört. Für Typ 1 Grmmtiken git es solche effiziente Algorithmen nicht! Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 25 (von 74)
26 Chomsky Hierrchie und Progrmmiersprchen Heutige Progrmmiersprchen liegen zwischen Typ 2 (kontextfrei) und Typ 1 (kontextsensitiv). D. h. die meisten Anweisungen sind formle Wörter einer kontextfreien Sprche, er einige Anweisungen sind formle Wörter einer drüer hinus gehenden Sprche. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 26 (von 74)
27 Chomsky Hierrchie und Progrmmiersprchen (1) Die Bedeutung von Typ 2 Grmmtiken (kontextfrei) motiviert die Anlyse ihrer Regeln: Während die linke Seite einfch ist (nur eine Vrile), drf die rechte Seite elieig kompliziert sein. Dies knn jedoch eingeschränkt werden. Die Chomsky-Normlform CNF erlut nur die folgenden Typen: w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 3 V w 1 x x Σ Jede Typ 2 Grmmtik knn (mittels Einführung neuer Vrilen) in CNF geschrieen werden. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 27 (von 74)
28 Chomsky Hierrchie und Progrmmiersprchen (2) Mittels CNF sind Typ 2 Grmmtiken nur wenig komplizierter ls Typ 3 Grmmtiken. Typ 2 Typ 3 w 1 w 2 w 3 w 1, w 2, w 3 V w 1 y w 3 w 1, w 3 V, y Σ w 1 x x Σ w 1 x x Σ Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 28 (von 74)
29 Chomsky-Normlform (CNF) (für Typ 2 Grmmtiken) Grmmtik Regeln dürfen nur diese zwei Formen hen: Vrile Vrile Vrile Vrile Terminlzeichen Beispiel: A B D c (nicht CNF) Jede Typ 2 Grmmtik lässt sich so äquivlent umformen, dss eine CNF entsteht 1. Schritt: A X B Y D Z X Y in CNF Z c 2. Schritt: A UV V DZ U XW W BY neue Vrilen X, Y, Z einführen neue Vrilen U, V, W einführen Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 29 (von 74)
30 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 30 (von 74) Chomsky-Normlform (CNF) (für Typ 2 Grmmtiken) (1) Umformung in CNF ist nicht eindeutig! V U A V W X A Z D Y B X c D B A 1. Schritt: Anheen 2. Schritt: Bildung von Pren is nur zwei Vrilen ürig leien Z T R A S R A Z D Y B X c D B A RT A SZ T YD S XB R c Z Y X
31 Chomsky-Normlform (CNF) (für Typ 2 Grmmtiken) (2) Beispiel: L = { x {, }* x = n n, n 1 } von Typ 2 mit Umformung in CNF: S S V = { S } S Σ = {, } S AB V = { S, A, B, X } S AX Σ = {, } X SB A B Beispielsweise lässt sich 3 3 erzeugen durch: S AX ASB AAXB AASBB AAABBB. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 31 (von 74)
32 Reguläre Ausdrücke Reguläre Sprchen (Typ 3) lssen sich durch reguläre Ausdrücke eschreien. Der reguläre Ausdruck (0 1)*00(0 1)* erzeugt z. B. die Wörter 00, 100, : oder * : keine oder eine oder elieig viele Wiederholungen Hilfszeichen zusätzlich zu ( und ). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 32 (von 74)
33 Reguläre Ausdrücke (1) * (***)* eschreit Wörter mit durch 3 teilrer Anzhl von s, z. B.,,, ( )* eschreit die ntürlichen Zhlen einschließlich 0, 00, 000, 0 1 (0 1)* (+ ) 0 1 (0 1)* eschreit Addition oder Sustrktion oder Multipliktion von Binärzhlen. 0 1 (0 1)* / 1 (0 1)* eschreit Division von Binärzhlen. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 33 (von 74)
34 Reguläre Ausdrücke (2) (A T C G) (A T C G) (A T C G) eschreit die 4 3 = 64 möglichen Triplets üer dem Alphet { A, T, C, G }: Wörter des genetischen Codes. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 34 (von 74)
35 Reguläre Ausdrücke (3) weitere Beispiele: Σ = { 0, 1 } (1) (0 1)* eschreit { 0, 1 }* (2) (0 1)* 0 (0 1)* (3) 1* 0 (0 1)* (4) (0 1)* 0 1* Menge ller Wörter die mindestens eine 0 enthlten (5) 0* 1 0* 1 (0 1)* Menge ller Wörter die mindestens zwei 1 en enthlten (6) (0* 1 0* 1 0*)* Menge ller Wörter, so dss # der 1 en gerde ist Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 35 (von 74)
36 Reguläre Ausdrücke (4) Verschiedene reguläre Ausdrücke können diesele Typ 3 Sprche eschreien: (0 1)* (0 1)* äquivlent zu (0 1)* äquivlent zu (0* 1*)* Sprche = { ε, 0, 1, 00, 01, } (elieig viele 0, 1 in elieiger Reihenfolge) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 36 (von 74)
37 Reguläre Ausdrücke (5) Einige Umformungsregeln: α (β γ) = (α β α γ) (α*)* = α* (α β)* = (α* β*)* Es git keine Normlform (Minimlform) für reguläre Ausdrücke. Stz: Die Menge der Sprchen, die mittels regulärer Ausdrücke eschrieen werden können, sind genu die Typ3-Sprchen. Bemerkung: Ds Äquivlenzprolem für reguläre Ausdrücke ist (zwr) entscheidr, er nur mittels ineffizienter (= exponentieller) Algorithmen. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 37 (von 74)
38 Reguläre Ausdrücke (6) Die von regulären Ausdrücken erzeugten Sprchen sind Typ 3 Sprchen Zur Vernschulichung dieses Zusmmenhngs wird die Sprche des regulären Ausdrucks (0 1)* üer eine reguläre Grmmtik erzeugt: S ε V = { S } S 0 Σ = { 0, 1 } S 1 S 0S S 1S Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 38 (von 74)
39 Verkürzte Schreiweise (1) Die Nottion regulärer Ausdrücke knn uf die Produktionsregeln üertrgen werden: S ε S 0 S 1 S 0S S 1S wird äquivlent geschrieen ls S ε 0 1 0S 1S (Typ 3) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 39 (von 74)
40 Verkürzte Schreiweise (2) Diese Nottion wird uf die Regeln einer Typ 2 Sprche üertrgen z.b. S A S A S A wird äquivlent geschrieen ls S A A A Die Regeln ruchen nicht in CNF vorliegen. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 40 (von 74)
41 Alterntive Drstellungen für kontextfreie Grmmtiken BNF (Bckus-Nur-Form) verkürzte Drstellung für kontextfreie Grmmtiken (Typ 2). Für mehrere Regeln, die lle diesele linke Seite hen A β 1 A β 2 A β n knn verkürzend eine einzige Metregel ngegeen werden (unter Verwendung des Metsymols ): A β 1 β 2 β n (Alterntive) (Bckus und Nur verwendeten sttt llerdings ::= ). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 41 (von 74)
42 Alterntive Drstellungen für kontextfreie Grmmtiken (1) EBNF (erweiterte Bckus-Nur-Form) Weitere Akürzungen werden eingeführt: A αγ A αβγ wird zu A α[β]γ Bedeutung: Der Ausdruck β knn muss er nicht zwischen α und γ eingefügt werden. (einml oder keinml) A αγ A αbγ B β B βb wird zu A α{β}γ Bedeutung: Der Ausdruck β knn zwischen α und γ elieig oft (uch null-ml) wiederholt werden. (keinml, einml oder n-ml) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 42 (von 74)
43 Beispiel: G = (V, Σ, P, S) G = ( { S, A }, { 0, 1 }, { S 0A11, A ε, A 0A, A 1A }, S ) Aus den Produktionen: S 0A11, A ε, A 0A, A 1A wird in EBNF: S 0A11, A { 0 1 } EBNF genuso mächtig, er kürzer Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 43 (von 74)
44 Beispiel: Syntx für gnze Dezimlzhlen Herkömmliche Nottion: GnzeZhl Zhl GnzeZhl Vorzeichen Zhl Ziffer Zhl Ziffer Zhl Vorzeichen + Vorzeichen Ziffer 0 Ziffer 1 Ziffer 2 Ziffer 3 Ziffer 4 Ziffer 5 Ziffer 6 Ziffer 7 Ziffer 8 Ziffer 9 Zhl BNF: GnzeZhl Zhl Vorzeichen EBNF: Ziffer GnzeZhl Ziffer Bechte: + 0 Zhl Ziffer 1 Vorzeichen Ziffer Zhl Zhl [ + ] Ziffer { Ziffer } In diesem Beispiel sind Nichtterminlsymole mittels < > geklmmert drgestellt, Terminlsymole nicht geklmmert. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 44 (von 74)
45 Syntxäume (Aleitungsäume) G = (V, Σ, P, S) G = ( { S }, { (, ) }, { S (), S (S), S SS }, S ) Frge : Gehört ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) zur Sprche? Mehrere Aleitungen für ds sele Wort, die sich nur in der Reihenfolge der Anwendungen der Produktionen unterscheiden, lssen sich in einem Syntxum drstellen. (Es knn uch mehrere Syntxäume für eine Aleitung geen) S S S ( S ) ( S ) ( ) S S ( ) ( ) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 45 (von 74)
46 Syntxdigrmme Grphische Drstellung für kontextfreie Grmmtiken (Typ 2) Grundusteine der Digrmme: nichtterminle Symole (Vrilen) A ( Pltzhlter für ein weiteres Digrmm) A Terminlsymole ( Symole der formlen Sprche) Konktentionen (Wortkonstruktionen) ( Üergng von einem Knoten ( ) zum Folgenden) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 46 (von 74)
47 Syntxdigrmme (1) Regeln im Umgng mit Syntxdigrmmen: Jedes Digrmm esitzt einen Nmen, genu einen eingehenden Pfeil und genu einen usgehenden Pfeil. Jeder Knoten ht genu einen eingehenden Pfeil und genu einen usgehenden Pfeil. Jedes Rechteck (Vrile, Nichtterminlsymol) verweist uf ein weiteres Syntxdigrmm, welches n der Rechteck-Stelle hinein kopiert zu denken ist. Um ein syntktisch korrektes Wort zu erhlten, durchläuft mn ds Syntxdigrmm eim Eingngspfeil eginnend uf einem der möglichen Wege is zum Ausgngspfeil. Dei notiert mn der Reihe nch die Terminlsymole (in den Ovlen), n denen mn vorei kommt. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 47 (von 74)
48 Syntxdigrmme (2) Beispiel: Grmmtik von Folie 43 S A 0 A A in S hineinkopiert: S A Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 48 (von 74)
49 Syntxdigrmme (3) Beispiel: Ausgeglichene Klmmern von Folie 45 Rekursion: Syntxdigrmm knn in sich selst eingesetzt/kopiert werden. S ( ( S ) S ) S Ws wird hier kopiert/eingesetzt? Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 49 (von 74)
50 Allgemeiner Zusmmenhng: EBNF Syntxdigrmm 1. Alterntive 2. Verkettung A B. A A B. A B B 3. Wiederholungen kein- oder einml α kein-, ein- oder n-mlα A A [ α]. { α}. A A α α Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 50 (von 74)
51 Umsetzung: Produktionen Syntxdigrmm Beispiel: Ausgeglichene Klmmern 1. Produktionen und EBNF P 2. Digrmme { S (), S ( S S SS} P : S ([ S] ) SS = ), S ( ( S ) ) S S S S ( S ) S Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 51 (von 74)
52 2. Endliche Automten Endliche Automten Konstruktionen mit endlichen Automten Ageschlossenheit Minimlutomt Äquivlenzprolem für Endliche Automten Leerheitsprolem und Wortprolem Kellerutomten Turingmschine Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 52 (von 74)
53 Endliche Automten Bestndteile: Zustände: Z Eine ndere Methode, um Typ 3 Sprchen zu definieren Zustndsüergänge: Beispiel: Strt S A B Strtzustnd Endzustnd (gerichtete Knten, eschriftet mit Σ, Σ Alphet) Die vom Automten M kzeptierte Sprche T(M) ist die Menge ller Wörter w Σ*, die vom Strtzustnd zu einem Endzustnd führen T(M) T(M) T(M) T(M) T(M) usw. {, -5, -2, 1, 4, 7, } Es gilt: T(M) = { w {, }* ((# s in w) (# s in w)) 1(mod 3) } Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 53 (von 74)
54 Endliche Automten (1) M 1 : Strt S A B Endzustände dürfen zwischendurch verlssen werden! Endzustnd = Strtzustnd erlut! T(M) = { w # s in w # s in w = 1 mod 3 } (eim Teilen durch 3 entsteht eín Rest von 1), 2, 1, 4, 7, 11, M 2 : Strt 3 1 S 2 A B 4 (geht in eiden Endlichen Automten) (geht nur im unteren Endl. Autom.) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 54 (von 74)
55 Endliche Automten (2) Vom Automten zur Typ 3-Grmmtik: M 1 : S A B A B S B S A kompktere Schreiweise für: S A S B S Beispiel einer Aleitung: S A B Für jeden Automten M git es eine Typ 3-Grmmtik mit L(G) = T(M) Es git uch die Umkehrung: Zu jeder Typ 3-Grmmtik G git es einen Automten M mit T(M) = L(G) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 55 (von 74)
56 Endliche Automten (3) Bemerkung: Ein endlicher Automt muss folgende Bedingungen erfüllen: Jeder Zustnd esitzt genu viele hinusgehende Knten, die mit eschriftet sind. c Σ = {,, c } Unzulässig: sog. nichtdeterministischer Automt Vervollständigung Unvollständiger Automt: (Knten fehlen), c c, c,, c c Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 56 (von 74)
57 Konstruktionen mit endlichen Automten Komplement Gegeen sei ein vollständiger Automt M mit L = T(M) Beispiel: T(M) = { w {, }* # der s in w ist durch 3 teilr } Gesucht ist ein M, so dss T(M ) = L := Σ*\L M : Mn vertuscht Endzustände mit Nicht-Endzuständen Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 57 (von 74)
58 Konstruktionen mit endlichen Automten (1) Die Typ 3-Sprchen sind unter Komplementildung geschlossen. Flls L vom Typ 3, lso L = T(M) für einen Automten M, so ist uch L vom Typ 3, weil für M gilt L = T(M ). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 58 (von 74)
59 Konstruktionen mit endlichen Automten (2) Knn mn 2 Automten M 1, M 2 so vereinigen zu einem Automten M, so dß dieser den Aluf von M 1, M 2 simultn nchvollziehen knn? J Kreuzproduktutomt M 1 : Σ = {, } A C T(M 1 ) = { w {, }* # der s in w ist durch 3 teilr } B M 2 : Σ = {, } 1 2 T(M 2 ) = { w {, }* w endet mit } Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 59 (von 74)
60 Konstruktionen mit endlichen Automten (3) # Zustände von M = (# Zustände von M 1 ) (# Zustände von M 2 ) M: A1 B1 C1 A2 B2 C2 Für T(M 1 ) T(M 2 ) = { w # der s ist durch 3 teilr und w endet mit } wähle ls Endzustndsmenge E = {A2} llgemein: E = { XM X E 1 und M E 2 } Für T(M 1 ) T(M 2 ) = { w # der s ist durch 3 teilr oder w endet mit } wähle ls Endzustndsmenge E = { A1, A2, B2, C2 } Methode: Flls und X M Y N in M 1 in M 2 in M: XM YM llgemein: E = { XM X E 1 oder M E 2 } Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 60 (von 74)
61 Ageschlossenheit Die Typ 3-Sprchen sind uch unter Vereinigung und Schnitt geschlossen Typ 3 Typ 2 Typ 1 Typ 0 Beispiel: L 1 = { n n c m m, n 1 } Typ 2 L 2 = { n m c m m, n 1 } Typ 2 L 1 L 2 = { n n c n n 1 } Typ 1, nicht Typ 2 Komplement j nein j nein Vereinigung j j j j Schnitt j nein j j wurde 1985 ewiesen L 1 L 2 = L 1 L 2 ( L 1 L 2 = L 1 L 2 L 1 L 2 = L 1 L 2 (de Morgn)) Flls Aschluss vorliegt unter Komplement und Schnitt / Vereinigung, dnn uch Aschluss unter Vereinigung / Schnitt Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 61 (von 74)
62 Minimlutomt Gegeen sei ein Automt M (evtl. mit unnötig vielen Zuständen) Gesucht: Anzhl M 0 mit minimler Anzhl Zuständen, so dss gilt T(M 0 ) = T(M) A B C 1 Beispiel: D E F Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 62 (von 74)
63 Minimlutomt (1) 1. Hypothese: Es geht mit 2 Zuständen (1 Endzustnd, 1 Nicht-Endzustnd) 2. Hypothese: 3 Zustände A,D,E 1 A,D,E 1 kein Konflikt Minimlutomt Es gilt: T(M 0 ) = { w { 0,1 }* w endet mit 0 oder mit 01 } Konflikt 0 0 B,C,F B,C 1 0 F 1 0 Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 63 (von 74)
64 Minimlutomt (2) Bemerkung: Zu jeder Typ 3-Sprche L ist der zugehörige Minimlutomt M 0 mit L = T(M 0 ) eindeutig (is uf Bezeichnung der Zustände). Effizienter Äquivlenztest für Typ 3-Sprchen (Automten): Gegeen M 1, M 2, stelle fest, o T(M 1 ) = T(M 2 ). 1. Konstruiere zu M 1 den Minimlutomt. M Konstruiere zu M 2 den Minimlutomt. M Vergleiche M 01 und M 02 untereinnder. Flls M 01 identisch mit M 02, so T(M 1 ) = T(M 2 ). Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 64 (von 74)
65 Äquivlenzprolem für Endliche Automten Ds Äquivlenzprolem für endliche Automten ist (effizient) entscheidr. Methode: Gegeen sind die Automten M 1, M 2 : Konstruiere Minimlutomt zu M 1 M 1, und zu M 2 M 2 Es gilt T(M 1 ) = T(M 2 ) genu dnn, wenn M 1 ist isomorph zu M 2. d. h. M 1 und M 2 sind is uf die Benennung der Zustände identisch. Bemerkung: A Typ 2 (kontextfrei) ist ds Äquivlenzprolem unlösr (d. h. es git keinen immer stoppenden Algorithmus) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 65 (von 74)
66 Leerheitsprolem und Wortprolem Äquivlenzprolem Typ 3 E Typ 2 U Typ 1 U Typ 0 U E = entscheidr U = unentscheidr Leerheitsprolem E E U U Wortprolem E E E U Äquivlenzprolem gegeen: M 1, M 2, stelle fest, o T(M 1 ) = T(M 2 ) zw. G 1, G 2, stelle fest, o L(G 1 ) = L(G 2 ) Leerheitsprolem gegeen: G, stelle fest, o L(G) = Ø zw. M,stelle fest, o T(M) = Ø Wortprolem gegeen: G und x, stelle fest, o x L(G) zw. M und x, stelle fest, o x T(M) Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 66 (von 74)
67 Kellerutomten Typ2 wird durch Kellerutomten eschrieen Skizze: lso: L ist vom Typ2 L = T(M) für einen Kellerutomten M A 1 A 2 A 3 A n endlicher Automt B 1 B 2 B 3 Kellerspeicher Stck, LIFO (Lst in, first out) push, pop-opertion Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 67 (von 74)
68 Turing-Mschine Typ0 wird durch die Turing-Mschine eschrieen (Aln Turing, ) Skizze: Areitsnd n endlicher Automt Mögliche Aktionen: - Lesen des ktuellen Zeichens - Üerschreien des Zeichens mit einem nderen Zeichen - Kopfewegung nch links und rechts - Üergng in einen neuen Zustnd Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 68 (von 74)
69 Berechenrkeit L ist vom Typ0 L = T(M) für eine Turingmschine M T(M) = { 1,, n M, ei Einge 1,, n stoppt nch endlich vielen Schritten im Endzustnd } (Die Automten heißen uch LBAs) Typ1 wird eschrieen durch liner eschränkte Turingmschinen. d. h. M drf die Felder links und rechts der Einge nicht esuchten / verändern. Die Eingefelder dürfen elieig verändert werden. Turing wollte mit seiner Mschine ds Konzept der Berechenrkeit forml eschreien. Church`sche These : Jede Art von Berechung / Algorithmus / Progrmm knn uch mit Hilfe einer Turingmschine formuliert werden. Also edeutet f ist erechenr (mittels elieiger Art von Berechnungsformlismus) dssele wie f ist mittels Turingmschine erechenr Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 69 (von 74)
70 Entscheidrkeit / Semi-Entscheidrkeit Definition: Eine Sprche L Σ* heißt entscheidr (oder uch rekursiv), flls es einen Algorithmus (z.b. Turingmschine) git mit: 1) x L Algorithmus ei Einge x, stoppt in endliche vielen Schritten und git 1 us. 2) x L Algorithmus ei Einge x, stoppt in endliche vielen Schritten und git 0 us. L heißt semi-entscheidr, flls nur (1) gilt: Im Fll von x L knn M evtl. so viele Schritte mchen. ndere Bezeichnung: rekursiv ufzählr Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 70 (von 74)
71 Semi-Entscheidrkeit Beispiel: L 1 = { 1 2 n {0, 1,,9}* 1 2 n ist Anfngsschnitt der Dezimlentwicklung von π } 31 L 1, 3141 L 1 56 L 1, 315 L 1, L 1 ist entscheidr: Strte Approximtionsverfhren für π, is genügend korrekte Ziffern feststehen, vergleiche diese mit 1 2 n L 2 = { 1 2 n 1 2 n kommt irgendwo in der Dezimlentwicklung von π vor } 141 L 2, 4159 L L 2 L 2 ist semi-entscheidr: Approximtionsverfhren liefert immer mehr exkte Ziffern von π, vergleiche diese mit 1 n. Flls 2 n vorkommt: stopp und gi 1 us. Möglicherweise ist L 2 nicht entscheidr. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 71 (von 74)
72 Hlteprolem Es gilt: L ist Typ0 L ist semi-entscheidr * Typ 0 entscheidr Typ 1 * Typ 2 * Typ 3 * * * es git entsprechende Beispielsprchen Hlteprolem (Selstnwendrkeitsprolem): Bemerkung: Progrmme (Turingmschinen) sind Wörter üer einem Alphet Σ Die Einge 1 n ist eenflls Wort üer Alphet. H = { x Σ* x ist Text eines Progrmms welches gestrtet mit x ls Einge nch endlich vielen Schritten stoppt } Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 72 (von 74)
73 Hlteprolem (1) Stz H ist nicht entscheidr Beweis: (indirekt) Angenommen, H wäre entscheidr, d.h. es git Algorithmus, der H entscheidet x 1, flls x H 0, flls x H Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 73 (von 74)
74 Hlteprolem (2) Konstruiere weiteres Progrmm: x 1 0 unendliche Schleife stoppt Dieses Progrmm sei z є A* Entweder: z stoppt, gestrtet mit z ls Einge fiktives Progrmm für H git 0 us, ei Einge z z H z, gestrtet mit z, ls Einge, stoppt nicht. oder: z, gestrtet mit z ls Einge, stoppt nicht z ei Einge z, gerät in Schleife fiktives Progrmm für H git ei Einge z, 1 us z H z, ei Einge z, stoppt. Formle Methoden der Informtik WiSe 2010/2011 teil 5, folie 74 (von 74)
Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)
Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein
MehrHausaufgabe 2 (Induktionsbeweis):
Prof. Dr. J. Giesl Formle Sprhen, Automten, Prozesse SS 2010 Üung 3 (Age is 12.05.2010) M. Brokshmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden
MehrFormale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 2 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder
Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 2 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem
MehrUmwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke
Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.
MehrVorkurs Theoretische Informatik
Vorkurs Theoretische Informtik Einführung in reguläre Sprchen Areitskreis Theoretische Informtik Freitg, 05.10.2018 Fchgruppe Informtik Üersicht 1. Chomsky-Hierchie 2. Automten NEA DEA 3. Grmmtik und Automten
MehrDomäne und Bereich. Relationen zwischen Mengen/auf einer Menge. Anmerkungen zur Terminologie. r Relationen auf/in einer Menge.
Reltionen zwischen Mengen/uf einer Menge! Eine Reltion R A B (mit A B) ist eine Reltion zwischen der Menge A und der Menge B, oder uch: von A nch B. Drstellung: c A! Wenn A = B, d.h. R A A, heißt R eine
MehrIdentifizierbarkeit von Sprachen
FRIEDRICH SCHILLER UNIVERSITÄT JENA Fkultät für Mthemtik und Informtik INSTITUT für INFORMATIK VORLESUNG IM WINTERSEMESTER STOCHASTISCHE GRAMMATIKMODELLE Ernst Günter Schukt-Tlmzzini 06. Quelle: /home/schukt/ltex/folien/sprchmodelle-00/ssm-06.tex
MehrÜbungen zur Wiederholung quer durch den Stoff Vollständigkeit wird nicht garantiert, und einige sind umfangreicher als klausurtypisch.
Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 2017 Dr. B. Bumgrten Üungen zur Wiederholung quer durch den Stoff Vollständigkeit wird nicht grntiert, und einige sind umfngreicher ls klusurtypisch. 1.
MehrTeil V: Formale Sprachen 1. Sprachen und Grammatiken 2. Endliche Automaten
Formale Sprachen Teil V: Formale Sprachen 1. Sprachen und Grammatiken 2. Endliche Automaten Formale Methoden der Informatik WiSe 2013/2014 teil 5, folie 2 (von 50) 1. Sprachen und Grammatiken Formale Sprachen
MehrInhalt. Endliche Automaten. Automaten und Formale Sprachen. Franz Binder. Endliche Automaten. Deterministische Automaten
Formle Inhlt Reguläre Reguläre Formle Zustndsdigrmm Reguläre δ: Σ (Q Q Ω) Beispiel δ 0 δ 0 1 2 1 2 0 1 2 δ Formle Automt Reguläre Definition Ein nicht-deterministischer, endlicher Automt esteht us einer
MehrDie Regelungen zu den Einsendeaufgaben (Einsendeschluss, Klausurzulassung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformationen Heft Nr. 1.
Modul : Grundlgen der Wirtschftsmthemtik und Sttistik Kurs 46, Einheit, Einsendeufge Die Regelungen zu den Einsendeufgen (Einsendeschluss, Klusurzulssung) finden Sie in den Studien- und Prüfungsinformtionen
MehrVorlesung. Einführung in die mathematische Sprache und naive Mengenlehre
Vorlesung Einführung in die mthemtische Sprche und nive Mengenlehre 1 Allgemeines RUD26 Erwin-Schrödinger-Zentrum (ESZ) RUD25 Johnn-von-Neumnn-Hus Fchschft Menge ller Studenten eines Institutes Fchschftsrt
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
3 Endliche Automten Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Üerführungsfunction eines DFA (Folie 92) Wie sieht die Üerführungfunktion us? δ : Z Σ Z Ds heißt: Ein Pr us Zustnd und Alphetsymol
MehrFranz Binder. Vorlesung im 2006W
Formle Reguläre und Formle Institut für Alger Johnnes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2006W http://www.lger.uni-linz.c.t/students/win/ml Formle Inhlt Reguläre Reguläre Formle Zustndsdigrmm δ: Σ (Q
Mehr1) Gegeben sei ein endlicher, erkennender Automat, definiert durch: f z, definiert durch das Zustandsdiagramm: a,b. z 3
(Prüfungs-)Aufgen ur Automtentheorie (enthält uch Aufgen u formlen Sprchen) ) Gegeen sei ein endlicher, erkennender Automt, definiert durch: Eingelphet X = {, } Zustndsmenge Z = {,, 2, 3 } Anfngsustnd
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
3 Endliche Automten Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Üerführungsfunktion eines NFA (Folien 107 und 108) Wie sieht die Üerführungsfunktion us? δ : Z Σ P(Z) Ds heißt, jedem Pr us Zustnd
MehrMinimalautomat. Wir stellen uns die Frage nach dem. kleinsten DFA für eine reguläre Sprache L, d.h. nach einem DFA mit möglichst wenigen Zuständen.
Rechtslinere Sprchen Minimlutomt Es git lso sehr verschiedene endliche Beschreiungen einer regulären Sprche (DFA, NFA, rechtslinere Grmmtiken, reguläre Ausdrücke). Diese können ineinnder üersetzt werden.
MehrTheoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung
Theoretische Informtik und Logik Üungsltt 2 (2013S) en Aufge 2.1 Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welche die folgenden Sprchen erzeugt, sowie einen Aleitungsum für ein von Ihnen gewähltes
MehrLösung zur Klausur. Grundlagen der Theoretischen Informatik. 1. Zeigen Sie, dass die folgende Sprache regulär ist: w {a, b} w a w b 0 (mod 3) }.
Lösung zur Klusur Grundlgen der Theoretischen Informtik 1. Zeigen Sie, dss die folgende Sprche regulär ist: { w {, } w w 0 (mod 3) }. Lösung: Wir nennen die Sprche L. Eine Sprche ist genu dnn regulär,
MehrKlausur Formale Sprachen und Automaten Grundlagen des Compilerbaus
Klusur Formle Sprchen und Automten Grundlgen des Compilerus 25. Novemer 2014 Nme: Unterschrift: Mtrikelnummer: Kurs: Note: Aufge erreichre erreichte Nr. Punkte Punkte 1 10 2 10 3 12 4 11 5 9 6 6 7 11 8
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 144) Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
3 Endliche Automten Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien DFA Reguläre Grmmtik (Folie 89) Stz. Jede von einem endlichen Automten kzeptierte Sprche ist regulär. Beweis. Nch Definition, ist eine
MehrFunktionen und Mächtigkeiten
Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit
MehrEndliche Automaten. S. Kuske: Endliche Automaten; 6.Novenber 2006
1 Endliche Automten Einfches Modellierungswekzeug (z.b. UML-Sttechrts) Verrbeiten Wörter/Ereignisfolgen Erkennen Sprchen Erluben schnelle Sprcherkennung Anwendungsbereiche: Objektorientierte Modellierung,
MehrLösungen zum Ergänzungsblatt 4
en zum Ergänzungsltt 4 Letzte Änderung: 23. Novemer 2018 Theoretische Informtik I WS 2018 Crlos Cmino Vorereitungsufgen Vorereitungsufge 1 Sei M = ({p, q, r}, {, }, δ, p, {q, r}) ein DEA mit folgender
MehrAutomaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2011
Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 011 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 1 Reguläre Sprchen Wir eschäftigen uns
MehrEndliche Automaten können wahlweise graphisch oder tabellarisch angegeben werden.
Aufgensmmlung GTI Hinweise. Dies ist eine Aufgensmmlung zum Lernen für die Klusur, keine Proeklusur. Die Zeitduer, die für die Lösung vorgesehen ist, ist lso nicht uf drei Stunden normiert. Für die Klusur
MehrAutomaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester Kurzer Einschub: das Schubfachprinzip.
Reguläre Sprchen Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 0 Ds Pumping-Lemm Wir hen is jetzt vier Formlismen kennengelernt, mit denen wir eine reguläre Sprche ngeen können:
MehrProf. Dr. Ulrich Furbach Dr. Manfred Jackel Dr. Björn Pelzer Christian Schwarz. Nachklausur
Grundlgen der Theoretischen Infomtik SS 213 Institut für Informtik Prof. Dr. Ulrich Furch Dr. Mnfred Jckel Dr. Björn Pelzer Christin Schwrz Nchklusur Modul Grundlgen der Theoretischen Informtik 4IN118/INLP1
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Technische Universität München Fkultät für Informtik Prof. Tois Nipkow, Ph.D. Ssch Böhme, Lrs Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsltt 4 20. Juni 2011 Einführung in die Theoretische Informtik Hinweis:
MehrProgrammiersprachen und Übersetzer
Programmiersprachen und Übersetzer Sommersemester 2010 19. April 2010 Theoretische Grundlagen Problem Wie kann man eine unendliche Menge von (syntaktisch) korrekten Programmen definieren? Lösung Wie auch
Mehr6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.
Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 2015 Prof. S. Lnge 6. Üungsltt 1. Aufge Es sei die folgende Grmmtik G = [Σ, V, S, R] gegeen. Dei seien Σ = {, } und V = {S, B}, woei S ds Strtsymol ist.
MehrKlausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen
Klusur zur Vorlesung Grundegriffe der Informtik 10. März 2009 mit Lösungsvorschlägen Klusurnummer Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Aufge 1 2 3 4 5 6 7 mx. Punkte 4 2 7 8 8 8 9 tts. Punkte Gesmtpunktzhl: Note: Aufge
MehrVorlesung Theoretische Informatik Sommersemester 2018 Dr. B. Baumgarten
Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 28 Dr. B. Bumgrten Üungen zur Wiederholung quer durch den Stoff Mit Lösungseispielen Vollständigkeit wird nicht grntiert, und einige sind klusuruntypisch
MehrProgrammieren in C/C++ und Matlab
Progrmmieren in C/C und Mtl Sine Schmidt & Sestin Buer Institut für Geowissenschften Christin-Alrechts-Universität zu Kiel Progrmmieren in C/C und Mtl CAU, SS 08 for- / while-schleifen: - numerische Integrlerechnung
Mehra q 0 q 1 a M q 1 q 3 q 2
Prof Dr J Giesl Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Üung 4 M Brockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T Ströder Hinweise: Die Husufgen sollen in Gruppen von je 2 Studierenden us dem
MehrMitschrift Repetitorium Theoretische Informatik und Logik
Mitschrift Repetitorium Theoretische Informtik und Logik Teil 1: Formle Sprchen, 15.01.2010, 1. Edit Allgemeine Hinweise für die Prüfung Ds Pumping-Lemm für kontextfreie Sprchen kommt nicht (sehr wohl
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlgen der Theoretischen Informtik 3. Endliche Automten 6.05.2015 Vioric Sofronie-Stokkermns e-mil: sofronie@uni-kolenz.de 1 Üersicht 1. Motivtion 2. Terminologie 3. Endliche Automten und reguläre Sprchen
MehrReguläre Ausdrücke, In12 G8
Reguläre Ausdrücke, In2 G8 Beweise, dss A* unendlich viele Elemente esitzt. Hinweis: Indirekter Beweis R A = {0,} Bilde A 3, A 4 A = {,, c} Bilde A 2, A 3 A = {,, c} Gi die Menge ller Wörter der Länge
Mehr2.6 Reduktion endlicher Automaten
Endliche Automten Jörg Roth 153 2.6 Reduktion endlicher Automten Motivtion: Wir sind n Automten interessiert, die mit möglichst wenigen Zuständen uskommen. Automten, die eine Sprche mit einem Minimum n
MehrS 1. Definition: Ein endlicher Automat ist ein 5-Tupel. Das endliche Eingabealphabet
Der endliche Automt Modell: Eingend rechtsseitig unegrenzt F F F F F F F F F F F F F F Lesekopf S 1 Definition: Ein endlicher Automt ist ein 5-Tupel A = ( Σ;S;F;s 0 ; ϕ ) Dei ist Σ= {e 1;e 2...e n} Ds
MehrName... Matrikel Nr... Studiengang...
Proeklusur zur Vorlesung Berechenrkeitstheorie WS 201/1 1. Jnur 201 Prof. Dr. André Schulz Bereitungszeit: 120 Minuten [So oder so ähnlich wird ds Deckltt der Klusur ussehen.] Nme... Mtrikel Nr.... Studiengng...
MehrLehrgang: Digitaltechnik 1 ( Grundlagen ) - Im Lehrgang verwendete Gatter ( Übersicht ) Seite 3
Lehrgng: Digitltechnik ( Grundlgen ) Dtum: Nme: Seite: Inhltsverzeichnis: Im Lehrgng verwendete Gtter ( Üersicht ) Seite 3 Aufu von Zhlensystemen deziml, dul ( Infoseite ) Seite 4 ( Areitsltt ) Seite 5
Mehr4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen
4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch
MehrMinimierung von DFAs. Minimierung 21 / 98
Minimierung von DFAs Minimierung 21 / 98 Ein Beispiel: Die reguläre Sprche L({, } ) Wie stellt mn fest, o ein Wort ds Suffix esitzt? Ein erster Anstz: Speichere im ktuellen Zustnd die eiden zuletzt gelesenen
MehrProf. Dr. Javier Esparza Garching b. München, den Klausur Einführung in die theoretische Informatik Sommer-Semester 2017
Prof. Dr. Jvier Esprz Grching. München, den 10.08.17 Klusur Einführung in die theoretische Informtik Sommer-Semester 2017 Bechten Sie: Soweit nicht nders ngegeen, ist stets eine Begründung zw. der Rechenweg
MehrGrundlagen der Informatik
Grundlgen der Informtik Vorlesungsprüfung vom 02.03.2007 Gruppe B Lösung Nme: Mtrikelnummer: Zuerst itte Nme und Mtrikelnummer uf ds Titelltt schreien. Es sind keine Unterlgen und keine Temreit erlut.
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR
Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine
MehrErgänzungsblatt 6. Letzte Änderung: 24. November 2018
Ergänzungsltt 6 Letzte Änderung: 24. Novemer 2018 Theoretische Informtik I WS 2018 Crlos Cmino Erinnerung: Die Besprechungstermine für die Ergänzungen 7 is 10 fllen is uf Weiteres us. Aufgen, Lösungen
MehrScheinklausur: Theoretische Informatik I
+//+ Scheinklusur: Theoretische Informtik I WS / Hinweise: Hlten Sie die Klusur geschlossen, is der Beginn durch die Aufsichtspersonen ngezeigt wird Betrugsversuche oder Stören hen sofortigen Ausschluss
MehrDefinition Suffixbaum
Suffix-Bäume Definition Suche nch einer Menge von Mustern Längste gemeinsme Zeichenkette Pltzreduktion Suffixbäume für Muster Alle Pre Suffix-Präfix Übereinstimmung Sich wiederholende Strukturen Definition
MehrAufge 4 Die Grmmtik G 2 CFG(f; g) in Chomsky-Normlform sei gegeen wie folgt: S! AB j A! AS j B! SB j ) Stellen Sie mit Hilfe des Cocke-Younger-Ksmi-Al
RHEINISCH- WESTFÄLISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE AACHEN LEHRSTUHL FÜR INFORMATIK II RWTH Achen D-52056 Achen GERMANY http://www-i2.informtik.rwth-chen.de 2i Klusur für den Leistungsnchweis zur Vorlesung Automtentheorie
MehrFORMALE SYSTEME. Kleene s Theorem. Wiederholung: Reguläre Ausdrücke. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2.
FORMALE SYSTEME 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch Rndll Munroe, https://xkcd.com/851_mke_it_etter/, CC-BY-NC 2.5 TU Dresden, 2. Novemer 2017 Mrkus Krötzsch, 2. Novemer 2017 Formle Systeme
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informtik Johnnes Köler Institut für Informtik Humoldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Minimierung von DFAs Frge Wie können wir feststellen, o ein DFA M = (Z, Σ, δ, q 0,
MehrÜbungsblatt 1 zum Propädeutikum
Üungsltt zum Propädeutium. Gegeen seien die Mengen A = {,,,}, B = {,,} und C = {,,,}. Bilden Sie die Mengen A B, A C, (A B) C, (A C) B und geen Sie diese in ufzählender Form n.. Geen Sie lle Teilmengen
MehrVorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A.
Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur 09082011 Prof Dr Dr hc W Thoms Dniel Neider, Crsten Otto Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen): Informtik Bchelor Informtik
MehrGliederung. Kapitel 1: Endliche Automaten
Gliederung 0. Motivtion und Einordnung 1. Endliche Automten 2. Formle Sprchen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 1.1. 1.2. Minimierungslgorithmus 1.3. Grenzen endlicher Automten 1/1, S. 1 2017
MehrTechnische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esparza / Dr. M. Luttenberger, S. Sickert. Lösung
Technische Universität München Sommer 2016 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger, S. Sickert Lösung Einführung in die theoretische Informtik Klusur Bechten Sie: Soweit nicht nders ngegeen, ist stets eine
Mehr4. Übungsblatt zu Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 2015/16
Krlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informtik Prof. Dr. Peter Snders L. Hüschle-Schneider, T. Mier 4. Üungsltt zu Theoretische Grundlgen der Informtik im WS 2015/16 http://lgo2.iti.kit.edu/tgi2015.php
MehrGrundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 5
Grundegriffe der Informtik Aufgenltt 5 Mtr.nr.: Nchnme: Vornme: Tutorium: Nr. Nme des Tutors: Ausge: 20. Novemer 2013 Age: 29. Novemer 2013, 12:30 Uhr im GBI-Briefksten im Untergeschoss von Geäude 50.34
MehrGrundbegriffe der Informatik
Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen
MehrMinimalität des Myhill-Nerode Automaten
inimlität des yhill-nerode Automten Wir wollen zeigen, dss der im Beweis zum yhill-nerode Stz konstruierte DEA für die reguläre Sprche L immer der DEA mit den wenigsten Zuständen für L ist. Sei 0 der konstruierte
MehrÜbung Grundbegriffe der Informatik
Üung Grundegriffe der Informtik 11. Üung Krlsruher Institut für Technologie Mtthis Jnke, Geäude 50.34, Rum 249 emil: mtthis.jnke ät kit.edu Mtthis Schulz, Geäude 50.34, Rum 247 emil: schulz ät ir.uk.de
Mehrdem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} +
Lösungen zu Üungsltt 3 Aufge 1. Es gilt L(( ) ) = ({} {}) {} = ({} {}) ({} {} + ). Mit dem Verfhren us dem Beweis zu Stz 2.20 erhlten wir zunächst die folgenden eiden -NDEAs für die Sprchen {} {} und {}
MehrKapitel 2: Formale Sprachen Kontextfreie Sprachen. reguläre Grammatiken/Sprachen. kontextfreie Grammatiken/Sprachen
reguläre Grammatiken/prachen Beschreibung für Bezeichner in Programmiersprachen Beschreibung für wild cards in kriptsprachen (/* reguläre Ausdrücke */)?; [a-z]; * kontextfreie Grammatiken/prachen Beschreibung
MehrDeterministische endliche Automaten
Endliche Automten Idee: endlicher Automt A ht endlich viele innere Zustände liest Einge wєσ* zeichenweise von links nch rechts git zum Schluß eine J/Nein Antwort A Lesekopf w 1 w 2 w n gelesenes Symol
MehrName... Matrikel-Nr... Studiengang...
Proeklusur zum ersten Teil der Vorlesung Berechenrkeitstheorie WS 2015/16 30. Novemer 2015 Dr. Frnzisk Jhnke, Dr. Dniel Plcín Bereitungszeit: 80 Minuten Nme... Mtrikel-Nr.... Studiengng... 1. So oder so
MehrÜbungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8
Üungsltt Gleichungsssteme Klsse 8 Auge : Berechne die Lösungen des Gleichungspres: I II 7 Kontrolliere durch Einseten. Auge : Löse dem Additionsverhren: I 7-6 II 9 Auge : Gegeen ist olgendes linere Gleichungssstem
MehrWas bisher geschah: Formale Sprachen
Was isher geschah: Formale Sprachen Alphaet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen reguläre Ausdrücke: Syntax, Semantik, Äquivalenz Wortersetzungssysteme Wortersetzungsregeln
MehrÜbungsblatt Nr. 1. Lösungsvorschlag
Institut für Kryptogrphie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Qude Nico Döttling Dirk Achench Tois Nilges Vorlesung Theoretische Grundlgen der Informtik Üungsltt Nr. svorschlg Aufge (K) (4 Punkte): Semi-Thue-Systeme
MehrAutomaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Shufhprinzip (Folie 137) Automten und formle Sprhen Notizen zu den Folien Im Blok Ds Shufhprinzip für endlihe Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von
MehrWas nicht bewertet werden soll, streichen Sie bitte durch. Werden Täuschungsversuche beobachtet, so wird die Präsenzübung mit 0 Punkten bewertet.
Prof Dr Dr hc W Thoms Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Präsenzüung Dniel Neider, Crsten Otto Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen): Informtik Bchelor Informtik
MehrInstallations und Bedienungsanleitung
Instlltions und Bedienungsnleitung EKRUCBS Instlltions und Bedienungsnleitung Deutsch Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis Für den Benutzer 2 1 Schltflächen 2 2 Sttussymole 2 Für den Instllteur 3 3 Üersicht:
MehrDEA1 Deterministische Version
Endliche Automten 4 Deterministische endliche Automten Zu dem nichtdeterministischen Automten EA git es eine deterministische Version. EA Akzeptor für Wörter üer X = { } mit mindestens einem führenden.
MehrRelationen: Äquivalenzrelationen, Ordnungsrelationen
TH Mittelhessen, Sommersemester 202 Lösungen zu Üungsltt 9 Fchereich MNI, Diskrete Mthemtik 2. Juni 202 Prof. Dr. Hns-Rudolf Metz Reltionen: Äquivlenzreltionen, Ordnungsreltionen Aufge. Welche der folgenden
MehrTheoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2017W) Lösung
Theoretische Informtik und Logik Üungsltt 2 (207W) en Aufge 2. Geen ie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welche die folgenden prchen erzeugt, sowie eine Linksleitung und einen Aleitungsum für ein von
MehrTheoretische Informatik I
Theoretische Informatik I Einheit 2.4 Grammatiken 1. Arbeitsweise 2. Klassifizierung 3. Beziehung zu Automaten Beschreibungsformen für Sprachen Mathematische Mengennotation Prädikate beschreiben Eigenschaften
MehrVorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A.
Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Klusur 23.09.2010 Prof. Dr. J. Giesl M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen):
MehrKontextsensitive Sprachen. Christian Scheideler Universität Paderborn WS 2014
Kontextsensitive Sprchen Christin Scheideler Universität Pderorn WS 2014 Kontextsensitive Sprchen Definition 5.1.4 Eine Grmmtik heißt kontextsensitiv oder vom Typ Chomsky-1 flls für jede Regel u v gilt
MehrMotivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen. Informales Beispiel. Informales Beispiel.
Kontextfreie Kontextfreie Motivation Formale rundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Kontextfreie Sprachen Bisher hatten wir Automaten, die Wörter akzeptieren Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 1 Kapitel 4.2
Endliche Automten Algorithmen und Dtenstrukturen 1 Kpitel 4.2 Roert Giegerich Technische Fkultät roert@techfk.uni-bielefeld.de Vorlesung, U. Bielefeld, Winter 2005/2006 Roert Giegerich Endliche Automten
MehrDef.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:
8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.
MehrTheorie der Informatik
Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrHA-Lösung TA-Lösung Diskrete Strukturen Tutoraufgabenblatt 2. Besprechung in KW44
Technische Universität München Winter 08/9 Prof. J. Esprz / Dr. M. Luttenerger, C. Welzel 08//0 HA- TA- Diskrete Strukturen Tutorufgenltt Besprechung in KW Bechten Sie: Soweit nicht explizit ngegeen, sind
MehrKarlsruher Institut für Technologie
Krlsruher Institut für Technologie Lehrstuhl für Progrmmierprdigmen Sprchtechnologie und Compiler WS 2010/2011 Dozent: Prof. Dr.-Ing. G. Snelting Üungsleiter: Mtthis Brun Lösung zu Üungsltt 1 Ausge: 18.04.2012
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis
MehrKlausur TheGI 2 Automaten und Komplexität (Niedermeier/Hartung/Nichterlein, Sommersemester 2013)
Berlin, 17.07.2013 Nme:... Mtr.-Nr.:... Klusur TheGI 2 Automten und Komplexität (Niedermeier/Hrtung/Nichterlein, Sommersemester 2013) 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ Bereitungszeit: mx. Punktezhl: 60 min. 60 Punkte
Mehrvollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimalautomat: minimaler vollständiger DFA
Ws isher geschh NFA A = (X, Q, δ, I, F ) vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimlutomt: minimler vollständiger DFA Für jede Sprche L X sind die folgenden Aussgen
Mehr7 Modellierung von Abläufen 7.1 Endliche Automaten
7 Modellierung von Aläufen 7. Endliche Automten Mod-7. Endlicher Automt: Formler Klkül zur Spezifiktion von relen oder strkten Mschinen. Sie regieren uf äußere Ereignisse, ändern ihren inneren Zustnd,
Mehr4.9 Deterministische Kellerautomaten Wir haben bereits definiert: Ein PDA heißt deterministisch (DPDA), falls
4.9 Deterministische Kellerautomaten Wir haben bereits definiert: Ein PDA heißt deterministisch (DPDA), falls δ(q, a, Z) + δ(q, ɛ, Z) 1 (q, a, Z) Q Σ. Die von einem DPDA, der mit leerem Keller akzeptiert,
Mehr4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX. Der Unterschied zwischen Objektsprache und Metasprache lässt sich folgendermaßen charakterisieren:
4. AUSSAGENLOGIK: SYNTAX 4.1 Objektsprache und Metasprache 4.2 Gebrauch und Erwähnung 4.3 Metavariablen: Verallgemeinerndes Sprechen über Ausdrücke von AL 4.4 Die Sprache der Aussagenlogik 4.5 Terminologie
MehrMathematik. Name, Vorname:
Kntonsschule Zürich Birch Fchmittelschule Aufnhmeprüfung 2007 Nme, Vornme: Nr.: Zeit: 90 Minuten erlubte Hilfsmittel: Tschenrechner us der Sekundrschule, lso weder progrmmierbr noch grfik- oder lgebrfähig
MehrFrank Heitmann 2/71. 1 Betrachten wir Σ für ein Alphabet Σ, so ist Σ die Menge
Formle Grundlgen der Informtik Kpitel 2 und reguläre Sprchen Frnk Heitmnn heitmnn@informtik.uni-hmurg.de 7. April 24 Frnk Heitmnn heitmnn@informtik.uni-hmurg.de /7 Alphet und Wörter - Zusmmengefsst Die
MehrAutomaten mit dot erstellen
Automten mit dot erstellen 1 Ws ist dot? dot ist ein Progrmm zum Kompilieren von dot-dteien in verschiedene Grfikformte, sowie der Nme einer Sprche, mit der mn Grphen spezifizieren knn. Unter Anderem können
MehrWintersemester 2016/2017 Scheinklausur Formale Sprachen und Automatentheorie
Wintersemester 2016/2017 Scheinklusur Formle Sprchen und Automtentheorie 21.12.2016 Üungsgruppe, Tutor: Anzhl Zustzlätter: Zugelssene Hilfsmittel: Keine. Bereitungszeit: 60 Minuten Hinweise: Lesen Sie
MehrGrundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I
Vorlesung Grundlgen der Theoretischen Informtik / Einführung in die Theoretische Informtik I Bernhrd Beckert Institut für Informtik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlgen d. Theoretischen Informtik:
Mehr2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume
2.11 Kontextfreie Grammatiken und Parsebäume Beispiel: Beispiel (Teil 3): Beweis für L(G) L: Alle Strings aus L der Länge 0 und 2 sind auch in L(G). Als Induktionsannahme gehen wir davon aus, dass alle
Mehr