Algorithmen und Datenstrukturen 1 Kapitel 4.2
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- Edith Fiedler
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1 Endliche Automten Algorithmen und Dtenstrukturen 1 Kpitel 4.2 Roert Giegerich Technische Fkultät roert@techfk.uni-bielefeld.de Vorlesung, U. Bielefeld, Winter 2005/2006 Roert Giegerich
2 Endliche Automten 4.2 Endliche Automten In diesem Aschnitt geht es um einfchere Rechenutomten ls die zuvor etrchteten Registermschinen. Mn nennt sie Endliche Automten. Roert Giegerich
3 Endliche Automten Endliche Automten verreiten Zeichenreihen. Definition Ein Alphet ist ein endlicher Zeichenvorrt. Eine Zeichenreihe üer Alphet A ist eine Folge n mit i A, n 0. Für die leere Zeichenreihe (n = 0) schreit mn ε. A ist die Menge ller Zeichenreihen üer A. Roert Giegerich
4 Endliche Automten Definition Ein endlicher Automt esteht us einem Alphet A einer endlichen Zustndsmenge S einem Strtzustnd s 0 S einer Zustndsüergngsfunktion δ : S A S einer Menge kzeptierender Zustände F Ülicherweise nimmt mn ls Zustndsmenge S mit S = m die Zhlen [0... m 1], und s 0 = 0. Roert Giegerich
5 Endliche Automten Beispiel EA1 A = {, } S = {0, 1, 2, 3} s 0 = 0 F = {0} A δ(s, ) s S Roert Giegerich
6 Endliche Automten Berechnete Funktion des endlichen Automten Definition Automtenfunktion Die Automtenfunktion des Automten A = (A, S, s 0, δ, F) ist δ A : A S mit δ A (x) = δ (0, x) δ (s, ε) = s δ (s, x) = δ (δ(s, ), x) Die Automtenfunktion rechnet lso genu n + 1 Schritte für eine Zeichenreihe der Länge n. Roert Giegerich
7 Endliche Automten Endliche Automten ls Akzeptoren Definition: Akzeptierte Wortmenge Die von A kzeptierte Wortmenge Akz(A) A ist {w A δ A (w) F} Wörter us A \ Akz(A) nennt mn zurückgewiesene Wörter. Roert Giegerich
8 Endliche Automten Betrchtung zu EA1 Akzeptierte Wörter: ε,,,,,... Zurückgewiesene Wörter:,,,,... Allgemeines Prinzip: Akzeptiert werden elieig viele Auftreten der Zeichenpre oder, einschließlich ε. Roert Giegerich
9 Endliche Automten Üergngsdigrmm zu endlichen Automten Die Funktion δ wird grfisch drgestellt: Beispiel EA , 2 Zustände f F ekommen einen doppelten Kreis. Roert Giegerich
10 Endliche Automten Betrchtung zu EA1 (Fortsetzung) Aus Zustnd 3 führt keine Folge von Üergängen in einen kzeptierenden Zustnd. Solche Zustände nennt mn Fehlerzustände und läßt sie weg: δ(s, ) Ds Digrmm ist dmit kleiner, und die δ-funktion prtiell. Roert Giegerich
11 Endliche Automten Vrinten von EA1 EA Ws sind die fehlenden Üergänge/Fehlerzustände? Ws ist Akz(EA2)? 2 Roert Giegerich
12 Endliche Automten Vrinten von EA1 EA Ws sind die fehlenden Üergänge/Fehlerzustände? Ws ist Akz(EA2)? 2 Akz(EA2) = Akz(EA1) {ε} Roert Giegerich
13 Endliche Automten EA3 1 Ws sind die fehlenden Üergänge/Fehlerzustände? 0 3 Ws ist Akz(EA3)? 2 Roert Giegerich
14 Endliche Automten EA3 1 Ws sind die fehlenden Üergänge/Fehlerzustände? 0 3 Ws ist Akz(EA3)? 2 Akz(EA3) = { n, n 0} { n, n 0} Roert Giegerich
15 Endliche Automten EA , Hier git es keine Fehlerzustände, trotzdem ist Akz(EA4) A 2 Roert Giegerich
16 Endliche Automten EA , Hier git es keine Fehlerzustände, trotzdem ist Akz(EA4) A 2 Akz(EA) = {xy, xy x, y A } In Worten: EA4 kzeptiert lle Zeichenreihen, die irgendwo ein oder enthlten. Roert Giegerich
17 Endliche Automten EA5 1 0 Welche Üergänge fehlen? Ws ist Akz(EA5)? 2 Roert Giegerich
18 Endliche Automten EA5 1 0 Welche Üergänge fehlen? Ws ist Akz(EA5)? 2 Akz(EA5) = { n n 0} { n n 0} Roert Giegerich
19 Endliche Automten Komplement von Wortprolemen Beochtung: Akz(EA5) = A Akz(EA4) Stz Die von endlichen Automten kzeptierten Wortmengen sind geschlossen unter Komplementildung in A. Roert Giegerich
20 Endliche Automten Beweis: Sei A = (A, S, s 0, δ, F). Wir setzen Ā = (A, S, s 0, δ, S \ F). Offensichtlich gilt Akz(Ā) = A Akz(A). Achtung, nhnd der Digrmme ist dies erst offensichtlich, wenn mn lle weggelssenen Zustände und Üergänge wieder ergänzt. Roert Giegerich
21 Endliche Automten Formle Sprchen Definition Eine formle Sprche üer A ist eine elieige Teilmenge L A. Dmit ist für jeden endlichen Automten A Akz(A) eine formle Sprche. Git es umgekehrt für jede formle Sprche L einen endlichen Automten A mit Akz(A) = L? Roert Giegerich
22 Endliche Automten Formle Sprchen, die von keinem endlichen Automten kzeptiert werden: Betrchte L = { m m, m 0} n 1 n 2n 2n+1 n+2 n+1 Dieser Automt kzeptiert { m m m n}, er für lle m 0 räuchte er eine unendliche Zustndsmenge. Roert Giegerich
23 Endliche Automten Bedeutung endlicher Automten Kleinste Klsse der Hierrchie geildet durch Endliche Automten Kellerutomten Liner eschränkte Automten Tuning-Mschinen ( Vorlesung Theoretische Informtik) Gute Effizienz und trivile Terminierung Roert Giegerich
24 Endliche Automten Einfches Progrmmiermodell für einfche Klsse von Wortprolemen. Viele wichtige Anwendungen Codierungsproleme Üersetzung von Progrmmiersprchen Dokument-Verreitung Roert Giegerich
25 Endliche Automten Nützliche Vrinten endlicher Automten Automten mit Ausge Nicht-deterministische endliche Automten Roert Giegerich
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