Automaten, Spiele, und Logik

Transkript

1 Automten, Spiele, und Logik Wohe Mi 2014

2 Inhlt der heutigen Vorlesung Alternierende Automten Definition Verindung zu regulären Sprhen Komplementtion

3 Engel und Teufel Ws ist eine nihtdeterministishe Mshine? während seines Lufes soll der Mshine geholfen werden, Entsheidungen zu treffen der Entsheider ist ein Freund : er hilft ein Wort zu kzeptieren heißt uh der engelsgleihe Nihtdeterminismus. Git es er uh einen teuflishen Nihtdeterminismus?

4 Ein teuflisher Nihtdeterminismus Sei L (A) die teuflihe Sprhe von A, die die Menge von Wörtern w definiert, so dss lle Läufe von w in einem kzeptierenden Zustnd enden. strt

5 Ein teuflisher Nihtdeterminismus Sei L (A) die teuflihe Sprhe von A, die die Menge von Wörtern w definiert, so dss lle Läufe von w in einem kzeptierenden Zustnd enden. strt teuflisher Nihtdeterminismus: L (A) = ɛ + ( + ). engelsgleiher Nihtdeterminismus: L(A) = ( + )

6 Dulität der Nihtdeterminismen Definition Sei A = (Q, Σ, δ, q I, F ). Der dule Automt A zu A ist der Automt A (Q, Σ, δ, q I, Q\F ) Stz w L(A) genu dnn, wenn w L (A)

7 Alternierende Automten der Beweiser oder Pfdfinder trifft Entsheidungen für die engelsgleihen Trnsitionen, der Widerleger für die teuflishen,,, L(A) =. ( ( + ) ( + ) ) +. ( ( + ) ) = + =

8 Üung: L(A)=? strt

9 Üung: L(A)=? strt L(A) = ( + ).

10 Alternierende Automten, jetzt forml Positive Boole she Formeln Definition Sei Q eine Menge. Die Menge B + (Q) der positiv Boole shen Formeln üer Q ist die kleinste Menge für die gilt ein Element q us Q ist eine Formel wenn f, g Formeln sind, dnn uh f g und f g Beispiel: Q = {,, q 3 }, f = ( ) q 3

11 Alternierende Automten, jetzt forml (2) Definition Ein lternierender, endliher Automt (AFA) ist ein Tupel A = (Q, Σ, δ, q I, F ), woei δ : Q Σ B + (Q). Beispiel: q 0 δ q 0 q 0 q q q q q q q q

12 Luf und Akzeptnzedingung eines AFA Definition Modelleziehung zwishen M Q und f B + (Q): M = q q M M = f g M = f oder M = g M = f g M = f und M = g Beispiel: f = ( q 3 ), dnn {, } = f {, q 3 } = f {, q 3 } = f { } = f

13 Luf eines AFA Definition Ein Luf eines AFA A = (Q, Σ, δ, q I, F ) uf einem Wort w = 1... n Σ ist ein Q-eshrifteter Bum r, dessen Pfde lle genu n + 1 viele Knoten estehen, mit folgenden Eigenshften. Die Wurzel v 0 ist mit q I eshriftet: r(v 0 ) = q I. Für lle Knoten v uf der i-ten Eene und lle ihre direkten Nhfolger v 1,... v k gilt {r(v 1 ),..., r(v k )} = δ(r(v), i+1 ) Der Luf r heisst kzeptierend, flls lle seine Blätter mit Endzuständen eshriftet sind. Die durh A erknnte Sprhe L(A) ist die Menge der Wörter w, so dss es einen kzeptieren Luf uf w git.

14 Beispiel eines kzeptierendes Lufes: w = q 0 q 0

15 Beispiel eines kzeptierendes Lufes: w = q 0 δ q 0 q0 q q q q q 0 q q q q { } = q 0

16 Beispiel eines kzeptierendes Lufes: w = q 0 δ q 0 q0 q q q q q 0 q q q q {, } =

17 Beispiel eines kzeptierendes Lufes: w = q 0 δ q 0 q0 q q q q q 0 q q q q {, } =

18 Beispiel eines kzeptierendes Lufes: w = q 0 δ q 0 q0 q q q q q 0 q q q q { } =

19 Beispiel eines kzeptierendes Lufes: w = q 0 δ q 0 q0 q q q q q 0 q q q q {,, } F

20 Üung Geen Sie einen AFA A mit 8 Zustände n, so dss n L(A) genu dnn, wenn n = 0 modulo 12.

21 Üung Geen Sie einen AFA A mit 8 Zustände n, so dss n L(A) genu dnn, wenn n = 0 modulo 12. Hinweis: n=4.3.

22 Üung Geen Sie einen AFA A mit 8 Zustände n, so dss n L(A) genu dnn, wenn n = 0 modulo 12. Hinweis: n=4.3.

23 Bermerkungen wenn L regulär ist, dnn wird sie durh einen AFA erknnt. wenn L 1, L 2 durh ein AFA erknnt werden, dnn uh L 1 L 2 und L 1 L 2 Aer... können AFA nur reguläre Sprhe erkennen? knn mn einen AFA komplementieren?

24 Bermerkungen wenn L regulär ist, dnn wird sie durh einen AFA erknnt. wenn L 1, L 2 durh ein AFA erknnt werden, dnn uh L 1 L 2 und L 1 L 2 Aer... können AFA nur reguläre Sprhe erkennen? knn mn einen AFA komplementieren?

25 Dulität Dule Formeln q q ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 ϕ 2 Dule Automten Sei A = (Q, Σ, δ, q I, F ) ein AFA. Der dule AFA A ist definiert ls: woei δ(q, ) δ(q, ). A (Q, Σ, δ, q I, Q\F )

26 Beispiel q 0 dul q 0 Vorsiht! Sinkzustnd (niht drgestellt) wird kzeptierend.

27 Komplement eines AFA Stz Sei A ein AFA und A der dule Automt dzu, L(A) = Σ \L(A).

28 Beweis der Konstruktion (1) Nützlihe Nottionen Erweiterte Trnsitionsfunktion ˆδ : B + (Q) Σ B + (Q) ist wie folgt rekursiv definiert: ˆδ(q, ε) q ˆδ(q, w) ˆδ(δ(q, ), w) ˆδ(ϕ 1 ϕ 2, w) ˆδ(ϕ 1, w) ˆδ(ϕ 2, w) ˆδ(ϕ 1 ϕ 2, w) ˆδ(ϕ 1, w) ˆδ(ϕ 2, w)

29 Beweis der Konstruktion (2) Nützlihe Lemmt Lemm 1 w L(A) gdw F = ˆδ(q I, w). Lemm 2 M = ϕ gdw Q\M = ϕ. Üung : Beweisen Sie den Stz mithilfe der zwei Lemmt.

30 Verindung zu regulären Sprhen Stz Für jeden AFA A git es einen DFA A mit 2 2 A dss L(A) = L(A ) Zuständen, so

31 Verindung zu regulären Sprhen Stz Für jeden AFA A git es einen DFA A mit 2 2 A dss L(A) = L(A ) Zuständen, so Beweis: Sei ϕ ψ die Äquivlenz zwishen Formeln so definiert: ϕ ψ gdw für lle M, (M = ϕ) (M = ψ). Dnn ht nur 2 2 A Äquivlenzklssen, und A = (B + (Q)/, Σ, ˆδ, q I, {[ϕ] : F = ϕ}) ist unser Automt.

32 Beispiel q 3 q 4 q 0 q 5 q 6

33 Beispiel q 0 (q 3 q 4 ) (q 5 q 6 )