Wintersemester 2016/2017 Scheinklausur Formale Sprachen und Automatentheorie

Transkript

1 Wintersemester 2016/2017 Scheinklusur Formle Sprchen und Automtentheorie Üungsgruppe, Tutor: Anzhl Zustzlätter: Zugelssene Hilfsmittel: Keine. Bereitungszeit: 60 Minuten Hinweise: Lesen Sie zunächst lle Hinweise uf dieser Seite ufmerksm durch. Hlten Sie die Klusur geschlossen und mit diesem Hinweisltt nch oen is die Aufsicht den Beginn nzeigt. Beschriften Sie lle zugeenden Blätter mit Ihrem Nmen und Ihrer Mtrikelnummer. Bei fest zusmmengehefteten Blättern genügt es, ds oerste Bltt zu eschriften. Lesen Sie die Aufgen sorgfältig durch und ereiten Sie so viele wie möglich. Es können insgesmt 30 Punkte erreicht werden. Trgen Sie die Antworten direkt uf dem Aufgenltt ein. Sollten Sie zusätzliche Blätter enötigen, verweisen Sie ei der entsprechenden Aufge uf ds Zustzltt. Vermerken Sie die Gesmtzhl der gegeenen Zustzlätter im dfür vorgesehenen Feld dieses Deckltts. Fehlt diese Ange oder ist diese flsch, so werden sämtliche Lösungen uf Zustzlättern nicht ewertet! Betrugsversuche hen sofortigen Ausschluss von der Klusur und Nichtestehen zur Folge. Nur vom Korrektor uszufüllen: Aufge Summe Punkte Bemerkungen:

2 Aufge 1 (4 Punkte) q 1, q 0 q 4 q 6 q 5 q 2, q 3 Gegeen sei der oige deterministische Automt. Minimieren Sie diesen mit Hilfe des Algorithmus us der Vorlesung. Ansttt ei nicht äquivlenten Zuständen ein Kreuz einzutrgen, soll jedoch ein Zeuge eingetrgen werden, der die Inäquivlenz der Zustände elegt. Forml ist ein Wort w Σ ein Zeuge für ds Feld {p, q}, flls ˆδ(p, w) F ˆδ(q, w) F. Trgen Sie in jedes Feld einen Zeugen ein oder streichen Sie ds Feld durch, wenn die Zustände äquivlent sind. Beispiel: Für die Zustände {q 5, q 6 } ist w = ε ein Zeuge, d ˆδ(q 5, ε) = q 5 F er ˆδ(q 6, ε) = q 6 F. q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 ε q 5 q 4 q 3 q 2 q 1

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4 Aufge 2 (6 Punkte) Gegeen sei die Sprche L = {w {, } w > w }. ) Zeigen Sie, dss 2 und 4 2 nicht in Myhill-Nerode-Reltion ezüglich L stehen, d.h. 2 RL 4 2 gilt nicht. ) Zeigen Sie llgemein: i R L j genu dnn wenn i = j. c) Folgern Sie: L ist nicht regulär.

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6 Aufge 3 Seien L, K Σ Sprchen. Beweisen oder widerlegen Sie: ) Es gilt (LK) = L K. ) Ist L = L 2, so gilt uch L = L. (6 Punkte)

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8 Aufge 4 (6 Punkte) q 0 q 1 q 2 Gegeen sei der oige deterministische endliche Automt. Geen Sie die erknnte Sprche ls regulären Ausdruck n. Führen Sie dzu einen der gelernten Algorithmen (us der Vorlesung oder der Üung) us und protokollieren Sie lle Schritte.

9 Erinnerung: Im Algorithmus us der Üung wurden neue Strt- und End-Zustände eingefügt und Knoten wie folgt entfernt: β α q 1 α i q 2 n q j (γ α 1 (β) α 2 ) wird zu q i q j γ

10 Aufge 5 Sei M der folgende nichtdeterministische endliche Automt üer dem Alphet Σ = {, }: (4 Punkte) q 0 q 2 q 4 q 6, q 1 q 3 q 5 q 7, M ezeichne den deterministischen endlichen Automten, der us M mittels Potenzmengenkonstruktion hervorgeht. Ferner ezeichne δ die Üerführungsfunktion von M. ) Geen Sie den Strtzustnd von M n. Ist dieser ein Endzustnd von M? ) Berechnen Sie δ({q 0, q 1 }, ). Ist ds Ergenis ein Endzustnd von M? c) Berechnen Sie ˆδ({q 0, q 1, q 2 }, ). Ist ds Ergenis ein Endzustnd von M? d) Berechnen Sie ˆδ({q 3, q 4, q 5 }, ). Ist ds Ergenis ein Endzustnd von M? Begründen Sie Ihre Antworten kurz.

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12 Aufge 6 (4 Punkte) Kreuzen Sie jeweils n, o die Aussge whr oder flsch ist. Jede korrekte Antwort git einen Punkt. Für unereitete, flsche oder nicht klr gekennzeichnete Zeilen git es keinen Punkt. Alle endlichen Sprchen sind regulär. whr flsch Sei C eine Klsse von Sprchen, die geschlossen ist unter Vereinigung, Produkt und Kleene-Stern. Dnn ist C gleich der Klsse der regulären Sprchen. whr flsch Es git Typ-2-Sprchen, die nicht kontextsensitiv sind. whr flsch Seien L, K reguläre Sprchen und J eine Sprche mit L = K J. Dnn ist J regulär. whr flsch