Hauptklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2011/2012

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1 Institut für Theoretische Informtik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wgner Huptklusur zur Vorlesung Theoretische Grundlgen der Informtik Wintersemester 2011/2012 Hier Aufkleber mit Nme und Mtrikelnr. nbringen Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Bechten Sie: Bringen Sie den Aufkleber mit Ihrem Nmen und Ihrer Mtrikelnummer uf diesem Deckbltt n und beschriften Sie jedes Aufgbenbltt mit Ihrem Nmen und Ihrer Mtrikelnummer. Schreiben Sie die Lösungen uf die Aufgbenblätter und Rückseiten. Zusätzliches Ppier erhlten Sie bei Bedrf von der Aufsicht. Zum Bestehen der Klusur sind 20 der möglichen 60 Punkte hinreichend. Es sind keine Hilfsmittel zugelssen. Aufgbe Mögliche Punkte Erreichte Punkte b c d Σ b c d Σ x1 10 Σ 60

2 Nme: Mtrikelnr.: Seite 2 Aufgbe 1: Gegeben sei der folgende endliche Automt A über dem Alphbet Σ = {, b, c}. s q 1 c ɛ ɛ f 1 b c (1 + 4 Punkte) q 2 f 2 () Geben Sie die von A kzeptierte Sprche L(A) ls regulären Ausdruck n. Es ist nicht verlngt, dss Sie hierzu ds Verfhren us der Vorlesung benutzen. (( + c b )) + (b) Konstruieren Sie mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion einen deterministischen endlichen Automten A, der dieselbe Sprche kzeptiert wie A. Geben Sie ds Ergebnis ls Zustndsübergngsdigrmm n und bezeichnen Sie die Zustände mit den Teilmengen der Zustände in A, die sie repräsentieren. b c {s} {f 1, s, q 1, q 2 } {f 1, s, q 1, q 2 } {f 1, s, q 1, q 2, f 2 } {q 2 } {f 1, s, f 2 } {f 1, s, q 1, q 2, f 2 } {f 1, s, q 1, q 2, f 2 } {q 2 } {f 1, s, f 2 } {q 2 } {f 2, s} {q 2 } {f 1, s, f 2 } {f 1, s, q 1, q 2 } {f 1, s, f 2 } {f 2, s} {f 1, s, q 1, q 2 } c {s} {f 1, s, q 1, q 2 } {f 1, s, f 2 } c c {f 2, s} b {q 2 } b b {f 1, s, q 1, q 2, f 2 }

3 Nme: Mtrikelnr.: Seite 3 Aufgbe 2: (1+3 Punkte) Gegeben sei die Grmmtik G = (Σ, V, S, R) mit Terminlen Σ = {, b, c, d}, Nichtterminlen V = {S, A, B, C, D}, Strtsymbol S und Produktionen R = {S CB A CD B b C DA ADC c D C d ɛ}. () Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussge: Die Grmmtik G ist eindeutig. Die Grmmtik G ist nicht eindeutig, denn für cb gibt es verschiedene Syntxbäume: S S C B C B c b D A b ε C D c ε (b) Geben Sie eine Grmmtik G in Chomsky-Normlform n, die dieselbe Sprche wie G erzeugt. Gehen Sie dbei systemtisch vor, und geben Sie die einzelnen Umformungsschritte in nchvollziehbrer Form n. (I) Terminle rechts nur einzeln R = {S CB A CD B b C DA AY DC c D C d ɛ Y }.

4 Nme: Mtrikelnr.: Seite 4 (II) Rechte Seite ht Länge 2 R = {S CB A CD B b C DA AX 1 c D C d ɛ Y X 1 Y X 2 X 2 DC}. (III) ε entfernen R = {S CB A CD C B b C DA A AX 1 c D C d Y X 1 Y X 2 X 2 DC C}. (IV) Kettenregeln entfernen. Einziger Kreis ist A C A R = {S AB A AD DA AX 1 c B b D A d Y X 1 Y X 2 X 2 DA A}. Topologische Sortierung: D, X 2, A, rückwärts einsetzen R = {S AB A AD DA AX 1 c B b D AD DA AX 1 c d Y X 1 Y X 2 X 2 DA AD DA AX 1 c}.

5 Nme: Mtrikelnr.: Seite 5 Aufgbe 3: (3+4 Punkte) () Geben Sie eine kontextfreie Grmmtik n, die die Sprche L := {w {, b} : w 3 w b } erzeugt. Dbei sei w x die Häufigkeit des Zeichens x {, b} im Wort w. S SS ɛ bsss SbSS SSbS SSSb (b) Zeigen Sie, dss die Sprche L us Teilufgbe () mximl vom Chomsky-Typ 2 ist, d.h., dss L nicht regulär ist. Annhme: L ist regulär, d.h., ds Pumpinglemm für reguläre Sprchen gilt für L. Sei lso n die untere Schrnke der Wortlänge us dem Pumpinglemm. Betrchte ds Wort w = b n 3n L mit w n. Dnn gilt für jede Zerlegung w = uvx mit uv n und v ε, dss v = b k, k 1. Dmit ist uv i x = b n k b 2k 3n = b n+k 3n / L für i = 2 (d 3(n + k) = 3n + 3k > 3n), im Widerspruch zum Pumpinglemm.

6 Nme: Mtrikelnr.: Seite 6 Aufgbe 4: (5 Punkte) Ein einfcher Pfd in einem gerichteten, gewichteten Grphen G = (V, E, c) mit einer ntürlichen Kostenfunktion c : E N 0 ist eine Folge P = (v 1,..., v r ) von Knoten, die jeden Knoten höchstens einml enthält und für die (v i, v i+1 ) E für 1 i r 1 gilt. Die Länge l eines Pfdes P = (v 1,..., v r ) ist definiert ls l := r 1 i=1 c((v i, v i+1 )). Problem l-pfd Gegeben: Gerichteter, gewichteter Grph G = (V, E, c) mit c : E N 0, Prmeter l N 0. Frge: Gibt es einen einfchen Pfd der Länge l in G? Zeigen Sie, dss ds Problem l-pfd N P-vollständig ist. Sie dürfen dzu benutzen, dss ds Problem SubsetSum N P-vollständig ist: Problem SubsetSum Gegeben: Endliche Menge M, Gewichtsfunktion w : M N 0, Prmeter k N 0. Frge: Gibt es eine Teilmenge M M mit m M w(m) = k? l-pfd ist in N P d für eine gegebene Knotenfolge (v 1,..., v r ) in polynomieller Zeit geprüft werden knn, ob zwischen jeweils ufeinnderfolgenden Knoten eine Knte existiert (lso ob die Folge einen Pfd bildet). Gleichzeitig können bei dieser Prüfung die existierenden Kntengewichte ufsummiert werden und somit geprüft werden, ob diese Summe l entspricht. Polynomielle Trnsformtion von SubsetSum uf l-pfd: Sei I = (M, {w(m 1 ),..., w(m n )}, k) eine Instnz von SubsetSum mit M = n. Konstruiere in polynomieller Zeit folgende Instnz von l-pfd: w(m 1 ) w(m 2 ) w(m 3 ) w(m n ) 0 Abbildung 1: Grph G mit 3 M + 1 und Kostenfunktion wie n Knten ngegeben, l := k. Ist P ein einfcher Pfd der Länge l = k in G, so induzieren die Knten mit echt positiven Kosten eine Teilmenge M M mit m M w(m) = k. Existiert eine Teilmenge M M mit m M w(m) = k, so induzieren die Gewichte dieser Teilmenge eine Kntenmenge E in G, die durch Knten mit Kosten Null zu einem einfchen Pfd der Länge l = k verbunden werden können.

7 Nme: Mtrikelnr.: Seite 7 Aufgbe 5: Gegeben sei folgende Sprche (4 + 1 Punkte) L := {w {, b} : w = w b und für jede Zerlegung w = uv mit u 1 gilt u u b }. Dbei sei w x die Häufigkeit des Zeichens x {, b} im Wort w. () Zeigen Sie, dss L entscheidbr ist, indem Sie eine deterministische Turingmschine M = (Q, Σ = {, b}, Γ, δ, s, F = {q J }) mit Zuständen q N, q J Q ngeben, die für jede Eingbe w Σ entweder in q J oder q N hält und L durch Hlten in q J kzeptiert. Stellen Sie die Übergngsfunktion δ von M grphisch durch ein Zustndsübergngsdigrmm dr und bezeichnen Sie den Strtzustnd mit s. Beschreiben Sie kurz in Worten, wie Ihre Turingmschine rbeitet. Beschreibung: TM liest Eingbe von Links nch Rechts, sobld ein gelesen wird, wird dieses mit # überschrieben und TM wechselt in neuen Zustnd, der nzeigt, dss nun ein zugehöriges b gesucht wird (bzw. dss gelesen wurde). Flls zugehöriges b nicht gefunden wird, hält die TM in q N. Flls Eingbe in L, so gibt es dieses b immer. Gefundenes b wird ebenflls mit # überschrieben und TM geht zum Wortnfng zurück. Übriges Wort uf dem Bnd (ohne # s) ist wieder in L. Abluf wird so oft wiederholt bis nur noch # s uf dem Bnd stehen. Dnn wird kzeptiert. Flls Eingbe nicht in L ist, so hält TM vorher in q N. Bemerkung: L ist die Sprche der korrekten Klmmerusdrücke. Übergngsdigrmm mit Γ = Σ {#, } # #, R, R # #, R, L # #, L #, R b #, L s q q b, N b b, N, N q J q N, R

8 Nme: Mtrikelnr.: Seite 8 (b) Dokumentieren Sie die Berechnung des Wortes bbb L sowie die Berechnung des Wortes bbb / L durch die von Ihnen ngegebene Turingmschine M. Geben Sie dzu für jeden Schritt die ktuelle Konfigurtion n. bbb / L: (s)bbb, #(q )bbb, (q b )##bb, (q b ) ##bb, (s)##bb, #(s)#bb, ##(s)bb, ##(q N )bb bbb L: (s)bbb, #(q )bbb, #(q )bbb, #(q b )#bb, (q b )##bb, (q b ) ##bb (s)##bb, #(s)#bb, ##(q )#bb, ###(q )bb, ###(q )bb, ###(q b )#b ##(q b )##b, #(q b )###b, (q b )####b, (q b ) ####b, (s)####b, #(s)###b ##(s)##b, ###(s)#b, ####(q )#b, #####(q )b, ####(q b )##,... (q b ) ######, (s)######, #(s)#####,..., ######(s), ######(q J )

9 Nme: Mtrikelnr.: Seite 9 Aufgbe 6: (4+3 Punkte) () Sei L eine nicht entscheidbre Sprche. Zeigen Sie: L R := {w R w L und w R ist ds Spiegelwort zu w} ist nicht entscheidbr. Annhme: L R sei entscheidbr, und M R sei eine TM, die L R entscheidet. Konstruiere eine neue TM M, die zu einer Eingbe w ds Spiegelwort w R berechnet und dnn die TM M R uf w R simuliert. Die TM M hält immer, d M R immer hält. Die TM M kzeptiert w genu dnn, wenn M R w R kzeptiert, lso genu dnn wenn w L. Dmit entscheidet M die Sprche L. Widerspruch! Somit knn es eine solche TM M R nicht geben und L R ist nicht entscheidbr. (b) Sei w {0, 1} und M w die Turingmschine, die durch die Gödelnummer w beschrieben wird. Zeigen Sie, dss die Digonlsprche L d := {w {0, 1} M w kzeptiert w nicht} nicht semientscheidbr ist. Annhme: L d sei semi-entscheidbr. Dnn gibt es eine Turingmschine M, die sich undefiniert verhält (und insbesondere die Eingbe nicht kzeptiert), flls die Eingbe w / L d, und die die Eingbe w kzeptiert, flls w L d. Sei nun w die Gödelnummer von M. Flls w L d, so kzeptiert M die Eingbe w. Dmit ist ber w / L d nch Definition von L d. Widerspruch! Flls w / L d, so kzeptiert M die Eingbe w nicht. Dmit ist ber w L d nch Definition von L d. Widerspruch! Eine solche TM M knn es lso nicht geben. Dmit ist L d nicht semi-entscheidbr.

10 Nme: Mtrikelnr.: Seite 10 Aufgbe 7: (3 Punkte) Sei L 1 eine kontextfreie Sprche und L 2 eine reguläre Sprche. Zeigen Sie, dss L 1 L 2 kontextfrei ist. Sei K = (Q K, Σ K, Γ, δ K, s K, Z, F K ) ein PDA, der L 1 kzeptiert und A = (Q A, Σ A, δ A, s A, F A ) ein DEA, der L 2 kzeptiert. Flls Σ A Σ K =, so gilt L 1 L 2 = oder L 1 L 2 = {ε}. In beiden Fällen ist L 1 L 2 regulär, lso uch kontextfrei. Flls Σ A Σ K, konstruiere einen Produktutomten A K = (Q A Q K, Σ A Σ K, Γ, (s A, s K ), Z, δ, F A F K ) mit δ : (Q A Q K ) ((Σ A Σ K ) {ε}) Γ 2 (Q A Q K ) Γ wie folgt: δ((q A, q K ), ε, X) := {((q A, p K ), γ) (p K, γ) δ K (q K, ε, X)} δ((q A, q K ),, X) := {((p A, p K ), γ) p A = δ A (q A, ) und (p K, γ) δ K (q K,, X)} Der Produktutomt A K ist ein PDA, der ein Wort w genu dnn kzeptiert, wenn A und K nch Abrbeitung von w in einem Endzustnd sind. Dmit ist L(A K) = L 1 L 2 und L 1 L 2 ist kontextfrei.

11 Nme: Mtrikelnr.: Seite 11 Aufgbe 8: ( Punkte) Sei A = (Q, Σ, Γ, s, Z, δ, {f}) der Kellerutomt mit Zustndsmenge Q = {s, f}, Eingbelphbet Σ = {0, 1}, Stck-Alphbet Γ = {Y, Z}, Anfngszustnd s, Stck-Initilisierung Z, einzigem Endzustnd f und der folgenden Übergngsreltion δ: (s, 1, Z) (s, ZY ) (s, ε, Z) (f, ε) (f, 0, Y ) (f, ε) () Ist A determininistisch? Begründen Sie Ihre Antwort. Nein, A ist nicht deterministisch, d δ(s, 1, Z) + δ(s, ε, Z) > 1. (b) Dokumentieren Sie eine durch Endzustnd kzeptierende Berechung des Wortes Geben Sie dzu für jeden Schritt die ktuelle Konfigurtion n. (s, 1110, Z) (s, 110, ZY ) (s, 10, ZY Y ) (s, 0, ZY Y Y ) (f, 0, Y Y Y ) (f, ε, Y Y ) (c) Welche Sprche kzeptiert A durch kzeptierenden Endzustnd? L = {1 i 0 j i, j N 0, j i} (d) Welche Sprche kzeptiert A durch leeren Stck? L = {1 i 0 i i N 0 }

12 Nme: Mtrikelnr.: Seite 12 Aufgbe 9: ( Punkte) Gegeben sei eine endliche Menge M mit M 2 und eine Gewichtsfunktion w : M N. Für M M sei w(m ) := m M w(m). Ds Optimierungsproblem Blnced Prtition besteht drin, M so in zwei Teilmengen A M und B := M \ A ufzuteilen, dss min{w(a), w(b)} mximl ist. Betrchten Sie folgenden Algorithmus: Algorithmus 1: Blnced Prtition Approximtion Eingbe : Endliche Menge M mit M 2 und Gewichtsfunktion w : M N Ausgbe : Teilmengen A M und B := M \ A Sortiere M nicht-ufsteigend nch Gewichten. Dnch sei M[i] ds Element n i-ter Stelle, d.h. w(m[i]) w(m[i + 1]) für 1 i n 1 ; A {M[i] i ungerde} ; B {M[i] i gerde} ; () Gegeben sei die folgende Blnced Prtition Instnz I = (M, w) mit M = {m 1, m 2, m 3, m 4 } und Gewichtsfunktion w gegeben durch w(m 1 ) = 8, w(m 2 ) = 8, w(m 3 ) = 10, w(m 4 ) = 5. Geben Sie eine optimle Lösung für die Instnz I n. Welchen Wert ht jede optimle Lösung? A = {m 1, m 2 }, B = {m 3, m 4 } Wert: 15 Geben Sie zusätzlich die Lösung n, die Algorithmus 1 bei Eingbe von I berechnet. Welchen Wert ht diese Lösung? Sortierung: 10, 8, 8, 5 A = {m 3, m 1 }, B = {m 2, m 4 } Wert: 13 (b) Zeigen Sie, dss für jede Lösung, die Algorithmus 1 für eine beliebige Instnz zurück gibt, gilt: wobei w mx := mx{w(m) m M}. w(a) w(b) w(a) w mx Bemerkung: w mx = w(m[1]). Es gilt M[1] A für lle n und M[n] A flls n ungerde und M[n] B flls n gerde. Dmit ist w(m[i]) A w(m[i + 1]) B für i n 1 ungerde, und insgesmt w(a) w(b) flls n gerde, und sogr w(a) w(m[n]) w(b) flls n ungerde. w(m[i]) B w(m[i + 1]) A für i n 1 gerde, und insgesmt w(b) w(a) w mx flls n ungerde, und sogr w(b) M[n] w(a) w mx flls n gerde.

13 Nme: Mtrikelnr.: Seite 13 (c) Zeigen Sie, dss Algorithmus 1 1-pproximtiv ist, d.h. dss Algorithmus 1 eine reltive Gütegrntie von = 2 ht. Mit b) folgt 2w(B) w(b) + w(a) w mx = W w mx und A(I) = w(b) (W w mx )/2. Für den optimlen Wert OP T (I) gilt: OP T (I) W/2. Fll 1: w mx W/2 OP T (I) = W w mx. Dmit ist A(I) = w(b) OP T (I)/2. Fll 2: w mx < W/2 w(b) (W W/2)/2 = W/4. Dnn gilt OP T (I)/A(I) (W/2)/(W/4) = 2. (d) Zeigen Sie: Flls P N P, gibt es keinen bsoluten Approximtionslgorithmus für Blnced Prtition. Sie dürfen benutzen, dss Blnced Prtition N P-schwer ist. Annhme: Es gibt einen bsoluten Approximtionslgorithmus A mit OP T (I) A (I) K für lle I. Betrchte Instnz I, die us einer beliebigen Instnz I hervorgeht, indem lle Gewichte mit K + 1 multipliziert werden. Dnn gilt OP T (I ) = (K + 1)OP T (I). Die Lösung L A (I ) ist ebenflls eine Lösung für I, llerdings ht diese Lösung bezüglich I den Wert := A (I ) K+1. Dmit gilt OP T (I ) A (I ) = (K+1)OP T (I) (K+1) K, und so ist OP T (I) K K+1 < 1 und entspräche dem Optimlwert, L wäre somit eine optimle Lösung für I, die polynomiell berechnet werden knn, d A sowie die Umformung zwischen I und I polynomiell sind. Dies ist ein Widerspruch zu P N P, d Blnced Prtition N P-schwer ist.

14 Nme: Mtrikelnr.: Seite 14 Aufgbe 10: (10 Punkte) Jeder der folgenden Aussgenblöcke umfsst drei Einzelussgen. Die sich unterscheidenden Aussgenbusteine sind durch Kästchen gekennzeichnet. Kreuzen Sie genu jene Busteine n, die in einer whren Einzelussge enthlten sind. Jeder Aussgenblock enthält mindestens eine whre Einzelussge. Unvollständig oder flsch ngekreuzte Aussgenblöcke werden mit null Punkten bewertet, Sie erhlten einen Punkt für jeden Aussgenblock, für den Sie genu die richtige Menge n Aussgenbusteinen ngekreuzt hben. Die Sprche L = {(yx i z)(zxz) j i, j N, i < 19, j 17} ist mximl vom Chomsky-Typ 0. wird von keiner Grmmtik erzeugt. ist regulär. Sprche ist endlich, lso regulär: c) Ist L eine reguläre nichtentscheidbre kontextsensitive Sprche so gilt: Für jedes Wort w L gibt es einen DEA A w, der w kzeptiert. Dies gilt für lle Sprchen: ), b), c) Jede Sprche, die von einer Grmmtik erzeugt wird, ist endlich. entscheidbr. semi-entscheidbr. c) Für die regulären Ausdrücke ( b + ) und ( b) gilt: ( b + ) = ( b). ( b + ) ( b). ( b + ) ( b). b) Ist Σ ein endliches Alphbet, so ist Σ kontextfrei. NP-vollständig. entscheidbr. ),c) Ds Entscheidungsproblem SAT ist unentscheidbr. semi-entscheidbr. in N P. SAT ist in NP und dmit entscheidbr: b),c) Flls es einen Approximtionslgorithmus für Clique mit bsoluter Gütegrntie gibt, so gilt: P = N P. N PC = P \ {Σ, }. N PI. ),b)

15 Nme: Mtrikelnr.: Seite 15 Für nicht entscheidbre Sprchen L gilt: Die zugeörige Nerode-Reltion ht unendlichen Index. Die Komplementsprche L c ist nicht semi-entscheidbr. L / N PC. ) denn reguläre Sprchen sind entscheidbr, c) denn Sprchen in N P sind entscheidbr, b) nicht, siehe L u und L c u Für ds Optimierungsproblem Knpsck gibt es einen pseudopolynomiellen optimlen Algorithmus. ein F P AS. ein P AS. ),b),c) siehe Skript Stz 4.47 Zu jeder Sprche L, die durch einen nichtdeterministischen Kellerutomten mit leerem Stck kzeptiert wird, gibt es einen deterministischen Kellerutomten, der L mit leerem Stck kzeptiert. einen nichtdeterministischen Kellerutomten, der L durch kzeptierenden Endzustnd kzeptiert. eine Grmmtik vom Chomsky-Typ 1, die L erzeugt. b), c), denn L ist kontextfrei