Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Transkript

1 3 Endliche Automten Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Üerführungsfunction eines DFA (Folie 92) Wie sieht die Üerführungfunktion us? δ : Z Σ Z Ds heißt: Ein Pr us Zustnd und Alphetsymol wird uf einen Zustnd geildet. Also, δ(z 1, ) = z 2 heißt, dss ein mit eschrifteter Pfeil von z 1 zu z 2 geht. Beispiel: der Automt uf Folie 89 wird wie folgt textuell drgestellt: M = ({z 1, z 2 }, {, }, δ, z 1, {z 2 }), woei: δ(z 1, ) = z 1 δ(z 2, ) = z 2 δ(z 1, ) = z 2 δ(z 2, ) = z 1 Erweiterung von δ uf Wörter (Folie 93) Die Funktion ˆδ ist die Erweiterung von δ von Symolen uf Wörter. Beispiel (siehe Automt uf Folie 89): ˆδ(z 1, ) = ˆδ(δ(z 1, ), ) = ˆδ(z 1, ) = ˆδ(δ(z 1, ), ɛ) = ˆδ(z 2, ɛ) = z 2 Ds edeutet, dss ds Einlesen des Wortes den Automten vom Zustnd z 1 in den Zustnd z 2 führt. Beispiel-DFAs (Folie 95) Antwort der ersten Aufge: L = {x Σ x enthält genu 1 } Antwort der zweiten Aufge: M = (Z, Σ, δ, z 0, E), mit Z = {1, 2, 3, 4}, Σ = {, }, z 0 = 1, E = {4}: , Die verschiedene Zustände eines DFA hen lle eine Bedeutung. In diesem Fll: 1. Wenn der Automt in Zustnd 1 ist, ht sie gerde ngefngen und noch kein Symol eingelesen. 1

2 2. Wenn der Automt in Zustnd 2 ist, wr ds erste eingelesene Symol ein, und wr uch ds zuletzt eingelesene Symol ein. 3. Wenn der Automt in Zustnd 3 ist, wr ds erste eingelesene Symol ein, und wr ds zuletzt eingelesene Symol ein. (In diesem Zustnd knn ds Wort kzeptiert werden.) 4. Wenn der Automt in Zustnd 4 ist, wr ds erste eingelesene Symol kein. Ds heißt, dss ds Wort nicht in der Sprche liegen knn. Deswegen knn us diesem Zustnd kein Endzustnd mehr erreicht werden. DFA Reguläre Grmmtik (Folie 96) Stz. Jede von einem endlichen Automten kzeptierte Sprche ist regulär. Beweis. Nch Definition, ist eine Sprche regulär, wenn es eine reguläre Grmmtik git, die sie erzeugt. Sei ein endlicher Automt M = (Z, Σ, δ, z 0, E) gegeen. Wir müssen zeigen, dss es eine reguläre Grmmtik G git, mit L(G) = T (M). Wir konstruieren die Grmmtik G = (V, Σ, P, S), woei V = Z, S = z 0 und P folgende Produktionen enthält: Flls ɛ T (M), enthält P eine Produktion S ɛ. (Es ist dnn noch notwendig, die Grmmtik noch weiter umzuwndeln, dmit die ɛ-sonderregel nicht verletzt wird.) Für lle z 1 Z und Σ: Flls δ(z 1, ) = z 2, dnn gilt (z 1 z 2 ) P. Flls zusätzlich gilt, dss z 2 E, dnn gilt uch (z 1 ) P. Jetzt müssen wir noch eweisen, dss T (M) = L(G). Dfür git es zwei Richtungen. Angenommen, 1... n T (M). Dnn git es Zustände q 0,..., q n, so dss q 0 = z 0, q n E und q i = δ(q i 1, i ), für i {1,..., n}. Nch Konstruktion heißt ds, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Weil ußerdem q n E, gilt uch (q n 1 n ) P. Deswegen ist z 0 1 q q n 1 q n n eine Aleitung von G, und es gilt 1... n L(G). Angenommen, 1... n L(G). Nch Definition muss es eine Aleitung z 0 1 q q n 1 q n n geen. Nch Konstruktion heißt ds, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Ds heißt, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Nch Konstruktion gilt q i = δ(q i 1, i ). Weil ußerdem (q n 1 n ) P, git es einen q n E so dss q n = δ(q n 1, n ). Drus folgt, dss 1... n T (M). Bemerkung: Oiger Beweis ist konstruktiv. Ds heißt, dss er ein Verfhren enthält, ds wir enützen können, um eine zu einem DFA äquivlente reguläre Grmmtik zu erzeugen. Beispiel zur Umwndlung 2

3 Wenn wir ds Verfhren us dem Beweis uf dem DFA der Folie 89 nwenden, ergit sich folgende reguläre Grmmtik: Zu Folie 100 Wie sieht die Üerführungsfunktion us? z 1 z 1 z 2 z 2 z 2 z 1 δ : Z Σ P(Z) Ds heißt, jedem Pr us Zustnd und Alphetsymol wird eine Menge von Zuständen zugeordnet. Beispiel: der Automt uf Folie 99 wird folgendermßen textuell drgestellt: M = ({z 0, z 1, z 2, z 3 }, {, }, δ, {z 0, z 3 }, {z 3 }), woei: δ(z 0, ) = {z 1 } δ(z 1, ) = δ(z 2, ) = {z 3 } δ(z 3, ) = {z 0 } δ(z 0, ) = {z 0, z 2 } δ(z 1, ) = {z 3 } δ(z 2, ) = δ(z 3, ) = Zu Folie 101 Genuso wie ei DFAs, ist ˆδ die Erweiterung von δ von Alphetsymolen uf Wörter. Sei Z = {z 1,..., z n }. Dnn edeutet ds gleiche wie: Beispiel (siehe Automt uf Folie 99): z Z ˆδ(δ(z, ), x) ˆδ(δ(z 1, ), x) ˆδ(δ(z n, ), x) ˆδ({z 0 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ) = ˆδ({z 0, z 2 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ɛ) ˆδ(δ(z 2, ), ɛ) = ˆδ({z 1 }, ɛ) ˆδ({z 3 }, ɛ) = {z 1 } {z 3 } = {z 1, z 3 } Ds heißt, dss ds Einlesen des Wortes den Automten vom Zustnd z 0 entweder in den Zustnd z 1 oder in den Zustnd z 3 führt. NFA-Beispiele (Zu Folie 103) Die vom NFA kzeptierten Sprche ist: L = {x ds 3-letzte Zeichen von x ist } Folgender NFA kzeptiert die Sprche L = {x x fängt mit n und endet mit }: z 0 z 1 z 2, 3

4 Potenzmengenkonstruktion (Folie 106) Wir wenden die Potenzmengenkonstruktion n, um den folgenden NFA (üer ds Alphet Σ = {, }) in einen DFA umzuwndeln: z 2 z 1 z 4 z 3 Mnchml ist es hilfreich, eine Telle zu erstellen. Wir fngen n mit der Menge von Anfngszuständen ({z 1, z 4 }), und gucken welche Mengen von Zuständen drus nch dem Einlesen eines Symols erreicht werden. Die erreichten Zustände werden wieder in die Telle eingefügt: {z 1, z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } Für lle Mengen von Zuständen, die in die Telle ufgenommen werden, gucken wir welche Mengen von Zuständen nch dem Einlesen einzelner Alphetsymole erreicht werden, und fügen diese in die Telle ein (flls sie noch nicht vorhnden sind). Im Beispiel sieht die Telle m Ende folgendermßen us: {z 1, z 4 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 2, z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 3 } {z 3 } Auf diese Weise nehmen wir nur die erreichre Zustände des DFA in die Telle uf. (Es sei ngemerkt, dss der vollständige Potenzmengenutomt 2 4 = 16 Zustände ht, von denen wir nur 4 ngegeen hen.) Die Zustände {z 2, z 3 } und {z 3 } sind Endzustände des NFA, denn sie enthlten einen Endzustnd des NFA. Der DFA, der dieser Telle enspricht, ist: 4

5 {z 1, z 4 } {z 2, z 3 } {z 3 }, Hier sei ngemerkt, dss Zustände des konstruierten DFAs Mengen von Zuständen des ursprünglichen NFAs sind. Hinweis: Owohl die Telle hilfreich sein knn, ist es nicht notwendig sie nzugeen. Mn knn die Zustände uch sofort ufzeichnen nsttt sie in die Telle ufzunehmen. (Insesondere drf mn ds uch in der Prüfung zw. Klusur mchen.) Mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion, wird der NFA von Seite 3 in den folgenden DFA umgewndelt (nicht erreichre Zustände, wie z.b. {z 2, z 3 }, sind nicht ngegeen). {z 0 } {z 1 } {z 1, z 2 }, Reguläre Grmmtik NFA (Folie 110) Gegeen Sei G = ({S, U}, {, }, P, S), woei P wie folgt definiert ist: S S U U U S Wir wndeln diese Grmmtik in einen NFA M = (Z, {, }, δ, S, E) um. Wir hen: Z = {S, U, X} E = {X} und δ wie folgt: 5

6 S X U 6