mathematik und informatik

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1 Prof. Dr. André Schulz Kurs 0657 Grundlgen der Theoretischen Informtik A LESEPROBE mthemtik und informtik

2 Ds Werk ist urheerrechtlich geschützt. Die ddurch egründeten Rechte, insesondere ds Recht der Vervielfältigung und Verreitung sowie der Üersetzung und des Nchdrucks leien, uch ei nur uszugsweiser Verwertung, vorehlten. Kein Teil des Werkes drf in irgendeiner Form (Druck, Fotokopie, Mikrofilm oder ein nderes Verfhren) ohne schriftliche Genehmigung der FernUniversität reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verreitet, vervielfältigt oder verreitet werden.

3 Kurseinheit Reguläre Sprchen I: Endliche Automten und Reguläre Ausdrücke In dieser Kurseinheit lernen wir mit den endlichen Automten ein erstes Berechnungsmodell kennen. Dieses Modell orientiert sich m Rechnen mit egrenztem Speicher. Wir werden sehen, dss wir nur sehr einfche Proleme mit einem endlichen Automten lösen können. Trotzdem ist der endliche Automt ein sehr wichtiges Modell, denn er ildet die Grundlge für weitere Modelle und findet ls Modellierungswerkzug in der gesmten Informtik vielfältige Anwendungsmöglichkeiten.. Der Deterministische Endliche Automt Wir eginnen mit einer informellen Beschreiung des Modells des endlichen Automten. Genuer gesgt, hndelt es sich hierei um ds Modell des deterministischen endlichen Automten, den wir kurz DEA nennen (oder uch nur Automt, wenn keine Gefhr der Verwechslung zu nderen Modellen esteht). Mit einem DEA können wir ds Wortprolem von estimmten formlen Sprchen lösen (in der letzten Kurseinheit wurde esprochen, dss lle Entscheidungsproleme ls Wortproleme formuliert werden können). In diesem Sinne verreitet der Automt ein Wort (die Einge) und git uns dnn die Antwort, o ds Wort us der zugehörigen Sprche ist, oder nicht. Wir sgen in diesem Zusmmenhng uch, dss der DEA ds Eingewort kzeptiert (wenn er ds Wort der Sprche zuordnet) oder verwirft (wenn er ds Wort ls nicht zur Sprche gehörig einsortiert). Um zu einer Antwort zu gelngen, liest der DEA ds Anfrgewort zeichenweise ein. Dei knn er immer nur uf ein Zeichen der Einge zugreifen. Es ist ihm zudem nicht erlut, ereits gelesene Zeichen der Einge wieder nzufrgen. Ein DEA ht nur eschränkten (konstnten) Speicher. Ds heißt, während der Verreitung knn der DEA einen von endlich vielen Zuständen nnehmen. Die eigentliche Berechnung wird ddurch festgelegt, wie mn von einem Zustnd in einen nderen Zustnd gelngt. Dieser Zustndsüergng hängt vom ktuellen Zeichen der Einge. Am Ende, nchdem ds letzte Zeichen der Einge gelesen wurde, können wir entscheiden, o ds Anfrgewort us der Sprche des DEAs ist. Diese Entscheidung wird vom Zustnd hängen, in dem der Automt sich m Ende

4 Kurseinheit Reguläre Sprchen I efindet. Wir führen nun eine formle Definition des mthemtischen Modells des deterministischen endlichen Automten ein. Definition. Determistischer Endlicher Automt. Ein deterministischer endlicher Automt (DEA) M wird durch ein Tupel (Q, Σ, δ, q 0, F) drgestellt. Hierei ist Q eine endliche nicht-leere Menge, gennnt Zustndsmenge, Σ ein (endliches) Alphet, δ eine Funktion δ : Q Σ Q, gennnt Üergngsfunktion, q 0 ein Element us Q, gennnt Strtzustnd, F eine Teilmenge von Q, gennnt Menge der kzeptierenden Zustände. Beispiel. Ds folgende Quintupel M = (Q, Σ, δ, q 0, F) git einen DEA n. Wir setzen hierei Q = {q 0, q }, Σ = {, } und F = {q 0 }. Die Üergngsfunktion δ geen wir durch eine Telle n. q Q x Σ δ(q, x) q 0 q q 0 q 0 q q 0 q q An dieser Stelle soll druf hingewiesen werden, dss wir zwischen dem Modell des deterministischen endlichen Automten und konkreten Relisierungen in diesem Modell, wie etw in Beispiel. ngegeen, unterscheiden. Es ht sich er eingeürgert sowohl ds Modell, ls uch die Relisierungen, eides ls deterministischen endlichen Automten zu ezeichnen. Die Bedeutung ergit sich us dem Kontext. Trotzdem sollten Sie sich dieser Unterscheidung ewusst sein. Gleiches gilt uch für ndere Modelle, die wir noch später im Kurs vorstellen werden (Kellerutomt, kontextfreie Grmmtik, Turingmschine). Häufig werden wir eine grphische Nottion nmens Zustndsdigrmm enutzen, um einen DEA nzugeen. Aus dieser Drstellung lssen sich lle Bestndteile des Automten leicht lesen. Zustände werden wir ls Kreise drstellen (in Ausnhmefällen ls Rechtecke), die mit dem Zustnd (in der Mitte) eschriftet sind. Akzeptierende Zustände heen wir zusätzlich hervor, indem wir deren Kreise mit einer doppelten Linie zeichnen. Flls δ(q, x) = p, vermerken wir ds, indem wir einen Pfeil einfügen, der den Zustnd q mit dem Zustnd p verindet (Pfeil zeigt in Richtung p). Diesen Pfeil eschriften wir zusätzlich mit x. Es verleit, den Strtzustnd zu kennzeichnen. Dies relisieren wir, indem wir einen kleinen Pfeil n diesen Zustnd nringen. Der Pfeil zeigt uf den Strtzustnd, und sein Anfngspunkt ist mit keinem Zustnd verunden. Die Aildung. zeigt noch einml die Grundelemente der grphischen Drstellung. Ds Zustndsdigrmm des DEAs us dem Bespiel. ist in Aildung. zu sehen.

5 . Der Deterministische Endliche Automt 3 q q q x p q () () (c) (d) Aildung.: Bestndteile der grphischen Nottion eines DEAs: () verwerfender Zustnd, () kzeptierender Zustnd, (c) Zustndsüergng, (d) Strtzustnd. q 0 q Aildung.: Zustndsdigrmm des DEAs M us Beispiel.. Die Üergngsfunktion ist ds Herzstück des DEAs. Es hndelt sich hierei um eine Funktion, deren Definitionsereich Pre estehend us einem Zustnd und einem Zeichen sind. Sie git lso für einen Zustnd und ein Zeichen einen neuen Zustnd n. Diesen Zustnd ezeichnen wir ls Folgezustnd. Wie ereits eschreien, efindet sich der Automt während der Berechnung immer in einem Zustnd. Zu Beginn der Berechnung ist dies der Strtzustnd. Während der Berechnung liest er die Einge Zeichen für Zeichen und gleicht seinen Zustnd. Dzu nutzt er die Üergngsfunktion δ. Wenn q den ktuellen Zustnd ezeichnet und x ds nächste Zeichen der Einge ist, dnn git δ(q, x) den Folgezustnd n. Nchdem lle Zeichen der Einge gelesen wurden, efindet sich der DEA in einem Zustnd. Ist dieser Zustnd ein kzeptierender Zustnd, wird ds Eingewort kzeptiert, nsonsten verworfen. Die Folge der Zustände, die der Automt während der Berechnung ngenommen ht, ezeichnen wir ls seinen Luf für die gewählte Einge. Wir sprechen uch von einem w-luf, wenn der Luf sich uf die Einge w ezieht. Ein Luf ist eine kzeptierender Luf, wenn er in einem kzeptierenden Zustnd endet, nsonsten nennen wir ihn verwerfenden Luf. Alle Zustände, die mn im Zustndsdigrmm (ls gerichteter Grph interpretiert) vom Strtzustnd erreichen knn, nennen wir erreichre Zustände. Die nicht-erreichren Zustände spielen für die Akzeptnz eines Wortes keine Rolle und können immer entfernt werden. Die Menge ller Wörter, die der Automt kzeptiert, nennen wir die Sprche des Automten oder uch die vom Automten kzeptierte Sprche. Die Sprchen eines Automten M notieren wir mit L(M). In Aildung.3 ist ein Berechnungsluf des Automten M us Beispiel. exemplrisch für ds Wort drgestellt. Mn knn sich für dieses Beispiel recht leicht üerlegen, welche Wörter von diesem DEA kzeptiert werden. Wir erkennen, dss es zwei Zustände q 0 und q git, von welchen nur q 0 kzeptierend ist. Wenn ein Zeichen von der Einge gelesen wird, ist der Folgezustnd gleich dem ursprünglichen Zustnd. Deshl hängt es nur von den Zeichen, o ein Wort kzeptiert wird. Genuer gesgt, hängt es von der Anzhl der Zeichen, d ds einzig relevnte Zeichen ist. Wenn ein Zeichen gelesen wird, wird der Zustnd gewechselt, und zwr von kzeptierend zu nicht-kzeptierend, oder umgekehrt. Ds edeutet, dss es von der Prität (gerde/ungerde) der Anzhl der Zeichen

6 4 Kurseinheit Reguläre Sprchen I q 0 q q 0 q q 0 q q 0 q w = w = w = w = Aildung.3: Aluf der Berechnung von M für die Einge w =. Der ktuelle Zustnd ist gru hinterlegt. Bereits gelesene Zeichen der Einge sind eenflls gru. Der Luf des Automten ist (q 0, q, q, q 0 ). D der Luf in einem kzeptierenden Zustnd endet, wird die Einge kzeptiert. hängt, o die Einge kzeptiert wird. Wir sehen lso, dss für dieses Beispiel gilt. L(M ) = {w {, } w enthält gerde Anzhl von s} Bevor wir den Akzeptnzegriff des DEAs forml eschreien, werden wir noch eine hilfreiche Nottion einführen. Die Üergngsfunktion δ erlut uns den Folgezustnd zu estimmen, wenn wir ein Zeichen von der Einge gelesen hen. Oft ist es er nützlich, den Folgezustnd zu eschreien, wenn mn sttt eines Zeichens ein Wort liest. Dfür nutzen wir die iterierte Üergngsfunktion δ, welche direkt us δ geleitet werden knn. Definition. Iterierte Üergngsfunktion eines DEAs. Sei δ die Üergngsfunktion eines DEAs, dnn definieren wir für lle q Q δ 0 (q, ε) = q, und für lle i > 0 und lle Wörter w = u Σ i mit u Σ i und Σ δ i (q, w) = δ(δ i (q, u), ). Schließlich definieren wir die iterierte Üergngsfunktion δ : Q Σ Q ls δ (q, w) := δ w (q, w). Für den Automten M us Beispiel. ergit sich eispielsweise δ (q 0, ) = q 0 und δ (q, ) = q. Mit der iterierten Üergngsfunktion können wir nun kompkt die von einem DEA erknnte Sprche definieren. Definition.3 Sprche eines DEAs. Sei M = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein DEA, dnn ist die von M kzeptierte Sprche definiert ls L(M) := {w Σ δ (q 0, w) F}. Die Sprchen die von einem DEA erknnt werden, hen viele nützliche Eigenschften und ilden eine interessnte Struktur. Aus diesem Grunde geen wir dieser Sprchfmilie einen Nmen.

7 . Der Deterministische Endliche Automt 5 q 0 q q, Aildung.4: Der DEA M zu Beispiel.. c c c 3 5 c 4 c Aildung.5: Der DEA M 3 zu Beispiel.3. Definition.4 Reguläre Sprche. Wenn L eine Sprche ist, für die es einen DEA git, der L kzeptiert, nennen wir L eine reguläre Sprche. Wir nutzen die Bezeichnung REG := {L L ist regulär}. An dieser Stelle wollen wir noch zwei Beispiele esprechen. Beispiel. Der DEA M ist durch ds Zustndsdigrmm in Aildung.4 gegeen. Wir erkennen, dss es mit q nur einen kzeptierenden Zustnd git. Wenn q während der Berechnung ngenommen wird, verleit der DEA in diesem Zustnd. Um nch q zu gelngen, müssen wir vorher in q sein, und ds nächste zu lesende Zeichen muss ein sein. Mn efindet sich er genu dnn in q (ohne vorher schon in q zu sein), wenn ls letztes Zeichen ein gelesen wurde. Also kzeptiert M lle Wörter, die ls Teilwort erhlten. Ds heißt L(M ) = {w {} ist Teilwort von w}. Ds Beispiel. git die erste prktische Anwendung für unser Berechnungsmodell. Die meisten Beispiele für reguläre Sprchen wirken sehr künstlich. Eigentlich gehen wir j dvon us, dss es sich ei diesen Sprchen um Kodierungen der J-Instnzen von Entscheidungsprolemen hndelt. Die Sprche L(M ) ist in dieser Beziehung interessnt. Ds zugrundeliegende Entscheidungsprolem frgt, o ein Wort ds Teilwort enthält. Es ist nicht schwer, den DEA umzuwndeln, sodss wir nch nderen Teilwörtern frgen können. Die Frge, o ein Text ein Teilwort enthält, ht eine hohe prktische Relevnz (pttern mtching). Viele Algorithmen zum Suchen von Wörtern in Texten enutzen endliche Automten ls Hilfsmittel. Zum Beispiel nutzt ds Kommndozeilenprogrmm grep einen solchen Anstz.

8 6 Kurseinheit Reguläre Sprchen I Beispiel.3 Sei M 3 = ({,, 3, 4, 5}, {c}, δ,, {3}) mit δ(x, c) = x + flls x 5 sonst. Ds Zustndsdigrmm des Automten ist in Aildung.5 zu sehen. Wir erkennen, dss wir immer genu dnn im Zustnd sind, wenn wir eine Anzhl von cs gelesen hen, die ein Vielfches von 5 ist. Demnch kzeptiert M 3 genu die Wörter w mit w mod 5 =. Somit gilt L(M 3 ) = {c k 5 teilt k mit Rest }. Test. Entwerfen Sie einen DEA, der die folgende Sprche kzeptiert: L = {w {0, } + w ht unterschiedliches Anfngs- und Endzeichen} Wir wollen nun einen ersten Stz zu den regulären Sprchen eweisen. Hierei geht es um die Beziehung zu einer nderen Sprchklsse den endlichen Sprchen. Wir nennen eine Sprche endlich, wenn sie nur endlich viele Wörter esitzt. Stz. Jede endliche Sprche ist regulär. Beweis. Sei L Σ eine endliche Sprche deren längstes Wort die Länge l ht. Um zu zeigen, dss L regulär ist, müssen wir einen DEA M für L ngeen. Wir nehmen vorerst n, dss Σ = {, }. Wir eschreien M, indem wir sein Zustndsdigrmm ngeen. In der Grundstruktur entspricht ds Digrmm einem inären Bum der Tiefe l. Von einem inneren Knoten git es zwei Knten zu seinen Kindern. Eine dieser Knten eschriften wir mit und die ndere mit. Wir orientieren nun lle Knten vom Vter zum Kind. Als Strtzustnd wählen wir die Wurzel des Bumes. Es git für jeden Knoten genu einen Pfd von der Wurzel. Wir enennen einen Zustnd mit q w, wenn w ds Wort ist, ws mn lesen muss, um ihn zu erreichen. Nun mchen wir genu die Zustände q w zu kzeptierenden Zuständen, für die w ein Wort us der Sprche L ist. Aschließend führen wir noch einen Müllzustnd q ein (nicht-kzeptierend). Alle Üergänge die nun noch fehlen, gehen zum Müllzustnd üer. Aildung.6 zeigt diese Konstruktion m Beispiel. Es ist nun nicht schwer zu rgumentieren, dss M(L) = L. Jedes Wort der Länge größer l führt nch q und wird verworfen. Jedes ndere Wort w führt zum Zustnd q w. Ist w L, dnn ist q w F und wir kzeptieren w. Alle nderen Wörter werden verworfen. Bei nderen Alpheten erfolgt die Konstruktion nlog. Sttt eines inären Bumes nutzt mn einen k-ären Bum, woei k = Σ.

9 . Nichtdeterministische Endliche Automten 7 q ε q q q q q q q,, Aildung.6: Konstruktion zum Beweis von Stz. für die Sprche {ε,, }.. Nichtdeterministische Endliche Automten Als nächstes werden wir ein neues Berechnungsmodell einführen, welches sich n der Areitsweise von deterministischen endlichen Automten nlehnt. Dies ist der sogennnte nichtdeterministische endliche Automt (NEA). Wie uch der DEA reitet der NEA mit Zuständen, welche kzeptierend oder verwerfend sein können. Auch der NEA verreitet ds Eingewort zeichenweise und knn nicht uf ereits gelesene Zeichen direkt wieder zurückgreifen. Genu wie eim DEA git es uch eine Üergngsfunktion diese weist jedoch jedem Zustnd und Eingezeichen nicht einen einzelnen Folgezustnd zu, sondern eine Menge von Folgezuständen. In diesem Sinne git es nicht nur einen Luf für jede Einge, sondern mitunter mehrere mögliche Läufe. Es stellt sich ntürlich die Frge, wie mn dmit umgeht, dss der mögliche Folgezustnd nicht mehr eindeutig festgelegt ist. So könnte es durchus sein, ds ei ein und demselen Eingewort ein Luf in einem kzeptierenden Zustnd endet, ein nderer Luf er in einem verwerfenden Zustnd. Es ist lso nicht offensichtlich, wie der Akzeptnzegriff für NEAs gefsst ist. Unser Kriterium für die Akzeptnz eines Wortes wird nschulich ds folgende sein: Existiert ein Luf vom Strtzustnd zu einem kzeptierenden Zustnd, wird ds Eingewort kzeptiert. Dieser Akzeptnzegriff scheint uf den ersten Blick künstlich, denn diese Art von Berechnung widerspricht unserem intuitiven Verständnis vom mschinellen Berechnen. Es wird sich jedoch zeigen, dss ds Berechnungsmodell NEA seine Berechtigung ht. Durch die Nutzung des Nichtdeterminismus lssen sich viele Proleme leichter modellieren. Zusätzlich können wir durch die Verwendung von NEAs gegenüer von DEAs viele Beweise von Sätzen üer reguläre Sprchen vereinfchen. Es git noch einen weiteren Unterschied zwischen NEA und DEA. Bei einem DEA knn ein Zustndswechsel nur dnn geschehen, wenn ein Zeichen von der Einge gelesen wurde. Wir erluen eim NEA uch, den Zustnd zu wechseln ohne dei ein Zeichen zu lesen. Diese Üergänge sollen ntürlich nicht elieig stttfinden. Deshl definieren wir sogennnte ε-üergänge zwischen Zuständen. Ist ein ε-üergng zwischen Zustnd p und q vorhnden, knn mn vom Zustnd p in den Zustnd q wechseln, ohne ein Zeichen der Einge zu lesen. Im Zustndsdigrmm werden solche Üergänge wie normle Üergänge eingezeichnet, sttt eines Zeichen us dem Alphet werden sie jedoch mit ε eschriftet.

10 8 Kurseinheit Reguläre Sprchen I, 0, ε 3, Aildung.7: Zustndsdigrmm vom NEA N. Bevor wir die NEAs forml definieren, erklären wir die prinzipielle Areitsweise eines NEAs m Beispiel. Sehen wir uns ds Zustndsdigrmm von NEA N in Aildung.7 n. Wir erkennen n folgenden Merkmlen, dss es sich um ds Digrmm eines NEAs hndelt. Es git nicht immer genu einen möglichen Folgezustnd. Zum Beispiel ist es möglich, vom Zustnd 0 mit einem sowohl zum Zustnd zu gelngen, ls uch im Zustnd 0 zu leien. Des Weiteren können wir eochten, dss es vom Zustnd keinen möglichen Folgezustnd git, den mn mit einem erreichen knn. Die Menge der Folgezustände knn lso uch die leere Menge sein. Außerdem erkennen wir, dss der Automt einen ε-üergng zwischen Zustnd und ufweist. In diesem Automten können wir vom Zustnd 0 zum Zustnd 3 gelngen, indem wir lesen. In diesem Sinne git es einen kzeptierenden Luf für ds Wort. Mn knn er uch erkennen, dss mn mit demselen Wort uch einen Luf relisieren knn, der die gnze Zeit im Zustnd 0 verweilt. Ein nderes Wort mit einem kzeptierenden Luf ist ds Wort. Hier können wir von Zustnd 0 zu Zustnd wechseln, indem wir ein lesen, dnn nutzen wir den ε-üergng, um in den Zustnd 3 zu gelngen, und nschließend können wir durch ds Lesen des Zeichen in den kzeptierenden Zustnd 3 wechseln. Wir werden nun ds Modell NEA und den dmit verundenen Akzeptnzegriff forml definieren. An dieser Stelle sei noch einml drn erinnert, dss mn mit der Potenzmenge P(X) die Menge ller Teilmengen von X ezeichnet, lso P(X) := {Y X}. Definition.5 Nichtdetermistischer Endlicher Automt. Ein nichtdeterministischer endlicher Automt (NEA) M wird durch ein Tupel (Q, Σ, δ, q 0, F) drgestellt. Hierei ist Q eine endliche nicht-leere Menge, gennnt Zustndsmenge, Σ ein (endliches) Alphet, δ eine Funktion δ : Q (Σ {ε}) P(Q), gennnt Üergngsfunktion, q 0 ein Element us Q, gennnt Strtzustnd, F eine Teilmenge von Q, gennnt Menge der kzeptierenden Zustände. Als nächstes werden wir die iterierte Üergngsfunktion eines NEAs us seiner Üergngsfunktion leiten. Die iterierte Üergngsfunktion soll uns ngeen, in welchem Zustnd mn nch dem Lesen eines Wortes sein könnte. Für die Eineziehung der ε-üergänge enötigen wir noch eine Definition. Wir wollen usdrücken können, welche Zustände wir von p us erreichen können, ohne ein Zeichen zu lesen. Diese Zustndsmenge notieren wir

11 . Nichtdeterministische Endliche Automten 9,, 0 3 Aildung.8: NEA N für Beispiel.4. mit E(p). Es gilt lso E(p) := {q q ist von p durch eine Sequenz von 0 ε-üergängen erreichr}. Für Mengen P Q definieren wir E(P) := E(p). p P Für den NEA N us Aildung.7 gilt eispielsweise E({0, }) = {0,, }. Definition.6 Iterierte Üergngsfunktion eines NEAs. Sei δ die Üergngsfunktion eines NEAs, dnn definieren wir für lle P Q δ 0 (P, ε) = E(P), und für lle i > 0 und lle Wörter w = u Σ i mit u Σ i und Σ δ i (P, w) = E( r δ i (P,u) δ(r, )). Schließlich definieren wir die iterierte Üergngsfunktion δ : Q Σ P(Q) ls δ (P, w) := δ w (P, w). Anlog zum DEA können wir die iterierte Üergngsfunktion enutzen, um die Akzeptnz eines Wortes und dmit die Sprche eines NEAs zu definieren. Es sollen genu die Worte kzeptiert werden, für die es möglich ist, vom Strtzustnd durch Üergänge zu einem kzeptierenden Zustnd zu gelngen. Definition.7 Sprche eines NEAs. Sei N = (Q, Σ, δ, q 0, F) ein NEA, dnn ist die von N kzeptierte Sprche definiert ls L(N) := {w Σ δ (q 0, w) F }. Beispiel.4 Als ein weiteres Beispiel sehen wir uns den in Aildung.8 gezeigten NEA N n. Um in den kzeptieren Zustnd 3 zu kommen, muss mn vorher ds Teilwort gelesen hen. Ds heißt, es können nur Wörter kzeptiert werden, die ls Teilwort enthlten. Auf der nderen Seite git es für jedes Wort, welches ls Teilwort enthält, einen kzeptierenden Luf. Dieser verleit im Zustnd 0 is ds Teilwort eginnt, dnn liest er dieses Teilwort und geht dei in den Zustnd 3. Anschließend

12 0 Kurseinheit Reguläre Sprchen I, w = w = w = w = w = 0, ε 3,, 0, ε 3,, 0, ε 3,, 0, ε 3,, 0, ε 3, Aildung.9: Mögliche Zustände (gru) des NEA N us Aildung.7 ei der Verreitung des Eingewortes w =. verleit er im Zustnd 3. Wir erhlten lso L(N ) := {w {, } w enthält ls Teilwort}. Wir werden uns nun nsehen, wie mn (prktisch) üerprüfen knn, o ein NEA ein Wort kzeptiert oder nicht kzeptiert. Sei lso ein NEA und ein Wort w gegeen, zum Beispiel der NEA N us Aildung.7 und ds Wort w =. Wir wollen herusfinden, in welchen Zuständen mn nch dem Lesen von w sein knn, wenn mn vom Strtzugng usgeht, und o einer dieser möglichen Zustände ein kzeptierender Zustnd ist (wir wollen lso δ (E(q 0 ), w) F uswerten). Dzu werden wir ds Wort w Zeichen für Zeichen verreiten und uns immer lle möglichen ktuellen Zustände merken. Am Anfng (ohne ein Zeichen zu lesen) können wir nur im Zustnd 0 sein. Nch dem Lesen des ersten Zeichens von w (ein ) können wir sowohl im Zustnd 0,, oder sein, denn hier kommt der Nichtdeterminismus zum Trgen. Nch dem Lesen des nächsten Zeichens können wir uns im Zustnd 0 efinden (von Zustnd 0 us kommend) oder im Zustnd 3 (von Zustnd us kommend). Die möglichen Zustände sind lso {0, 3}. Wenn wir ds nächste Zeichen lesen, kommen wir in die Zustände 0,, (von Zustnd 0 us kommend) oder wir verleien im Zustnd 3. Die Menge der möglichen Zustände ist somit {0,,, 3}. Ds letzte zu lesende Zeichen ist ein. Dnch können wir uns im Zustnd 0 (vom Zustnd 0 us kommend) oder im Zustnd 3 (vom Zustnd oder 3 us kommend) efinden. Also sind die möglichen Zustände nch dem Lesen von w gleich {0, 3}. D in dieser Menge mit Zustnd 3 ein kzeptierender Zustnd enthlten ist, kzeptieren wir w. Die möglichen Zustände für dieses Beispiel sind in Aildung.9 drgestellt. Als nächstes wollen wir die Frge diskutieren, o ein NEA mehr Sprchen erkennen knn ls ein DEA. Es ist klr, dss es für jede reguläre Sprche einen NEA git, der diese kzeptiert, denn jeder DEA ist ein NEA, der den Nichtdeterminismus und die ε-üergänge nicht verwendet. Wir werden er uch zeigen, dss jede Sprche die ein NEA kzeptiert, uch von einem DEA kzeptiert wird. Dzu werden wir eine Konstruktion vorstellen, die us einem NEA einen DEA konstruiert, der die gleiche Sprche kzeptiert. Diesen DEA nennen wir Potenzutomt.