Einführung in die Theoretische Informatik

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1 Einführung in die Theoretische Informtik Johnnes Köler Institut für Informtik Humoldt-Universität zu Berlin WS 011/1

2 Inhlt der Vorlesung Themen dieser VL: Welche Rechenmodelle sind däqut? Welche Proleme sind lösr? Welcher Aufwnd ist nötig? Automtentheorie Berechenrkeitstheorie Komplexitätstheorie Themen der VL Algorithmen und Dtenstrukturen: Wie lssen sich prktisch relevnte Prolemstellungen möglichst effizient lösen? Algorithmik Themen der VL Logik in der Informtik: Mthem. Grundlgen der Informtik, Beweise führen, Modellierung Aussgenlogik, Prädiktenlogik

3 Mschinenmodelle Rechenmschinen spielen in der Informtik eine zentrle Rolle. Es git viele unterschiedliche mth. Modelle. Diese können sich in der Berechnungskrft unterscheiden. Die Turingmschine (TM) ist ein universles Berechnungsmodell, d sie lle nderen eknnten Rechenmodelle simulieren knn. Wir etrchten zunächst Einschränkungen des TM-Modells, die vielfältige prktische Anwendungen hen, wie z.b. endliche Automten (DFA, NFA), Kellerutomten (PDA, DPDA) etc.

4 Der Algorithmenegriff Der Begriff Algorithmus geht uf den persischen Gelehrten Muhmmed Al Chwrizmi (8./9. Jhd.) zurück. Ältester eknnter nicht-triviler Algorithmus: Euklidischer Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsmen Teilers zweier ntürlicher Zhlen (300 v. Chr.). Von einem Algorithmus wird erwrtet, dss er ei jeder zulässigen Prolemeinge nch endlich vielen Rechenschritten eine korrekte Ausge liefert. Prolemeingen können Zhlen, Formeln, Grphen etc. sein. Diese werden üer einem Eingelphet Σ kodiert.

5 Alphet, Wort, Sprche Definition Ein Alphet ist eine geordnete endliche Menge Σ = { 1,..., m }, m 1 von Zeichen i. Eine Folge x = x 1... x n Σ n heißt Wort (der Länge n). Die Menge ller Wörter üer Σ ist Σ = n 0 Σ n. Ds (einzige) Wort der Länge n = 0 ist ds leere Wort, welches wir mit ε ezeichnen. Jede Teilmenge L Σ heißt Sprche üer dem Alphet Σ.

6 Ds Rechenmodell des endlichen Automten Ein endlicher Automt Eingend x 1 x i x n Steuereinheit Lesekopf nimmt zu jedem Zeitpunkt genu einen von endlich vielen Zuständen ein, mcht ei Eingen der Länge n genu n Rechenschritte und liest in jedem Schritt genu ein Eingezeichen.

7 Formle Definition eines endlichen Automten Definition Ein endlicher Automt (kurz: DFA; deterministic finite utomton) wird durch ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, q 0, E) eschrieen, woei Z eine endliche Menge von Zuständen, Σ ds Eingelphet, δ : Z Σ Z die Üerführungsfunktion, q 0 Z der Strtzustnd und E Z die Menge der Endzustände ist. Die von M kzeptierte oder erknnte Sprche ist { } L(M) = x 1 x n Σ es git q 1,..., q n 1 Z, q n E mit. δ(q i, x i+1 ) = q i+1 für i = 0,..., n 1

8 DFAs eherrschen Modulre Arithmetik Beispiel Sei M 3 = (Z, Σ, δ, 0, E) ein DFA mit Z = {0, 1, }, Σ = {, }, E = {1} und δ Behuptung Die von M 3 erknnte Sprche ist Grphische Drstellung: Endzustände werden durch einen doppelten Kreis und der Strtzustnd durch einen Pfeil gekennzeichnet. 0 1 L(M 3 ) = {x {, } # (x) # (x) 3 1}, woei # (x) die Anzhl der Vorkommen von in x ezeichnet und i m j edeutet, dss i j durch m teilr ist.

9 Ds Erreichrkeitsprolem für DFAs Behuptung Die von M 3 erknnte Sprche ist {x {, } # (x) # (x) 3 1}. Beweis der Behuptung durch Induktion üer die Länge von x Wir etrchten zunächst ds Erreichrkeitsprolem für DFAs. Frge Sei M = (Z, Σ, δ, q 0, E) ein DFA und sei x = x 1 x n Σ. Welchen Zustnd erreicht N ei Einge x nch i Schritten? Antwort nch 0 Schritten: q 0, nch 1 Schritt: δ(q 0, x 1 ), nch Schritten: δ(δ(q 0, x 1 ), x ), nch i Schritten: δ(... δ(δ(q 0, x 1 ), x ),... x i ).

10 Ds Erreichrkeitsprolem für DFAs Definition Bezeichne ˆδ(q, x) denjenigen Zustnd, in dem sich M nch Lesen von x efindet, wenn M im Zustnd q gestrtet wird. Dnn können wir die Funktion ˆδ : Z Σ Z induktiv üer die Länge von x wie folgt definieren. Für q Z, x Σ und Σ sei ˆδ(q, ε) = q, ˆδ(q, x) = δ(ˆδ(q, x), ). Die von M erknnte Sprche lässt sich nun uch in der Form L(M) = {x Σ ˆδ(q 0, x) E} schreien.

11 DFAs eherrschen Modulre Arithmetik M 3 Behuptung 0 L(M 3 ) = {x {, } # (x) # (x) 3 1}. 1 Beweis 1 ist der einzige Endzustnd von M. Dher ist L(M 3 ) = {x Σ ˆδ(0, x) = 1}. Folglich reicht es, folgende Kongruenzgleichung zu zeigen: ˆδ(0, x) 3 # (x) # (x)

12 DFAs eherrschen Modulre Arithmetik Beweis von ˆδ(0, x) 3 # (x) # (x): Wir führen Induktion üer die Länge n von x. Induktionsnfng n = 0: klr, d ˆδ(0, ε) = # (ε) = # (ε) = 0 ist. Induktionsschritt n n + 1: Sei x = x 1 x n+1 gegeen und sei i = ˆδ(0, x 1 x n ). Nch IV ist i 3 # (x 1 x n ) # (x 1 x n ). Wegen δ(i, ) 3 i + 1 und δ(i, ) 3 i 1 folgt δ(i, x n+1 ) 3 i + # (x n+1 ) # (x n+1 ) = # (x) # (x). Folglich ist ˆδ(0, x) = δ(ˆδ(0, x 1 x n ), x n+1 ) = δ(i, x n+1 ) 3 # (x) # (x).

13 Die Klsse der regulären Sprchen Definition Eine von einem DFA kzeptierte Sprche wird ls regulär ezeichnet. Die zugehörige Sprchklsse ist REG = {L(M) M ist ein DFA}. Frge Welche Sprchen gehören zu REG und welche nicht?

14 Singletons sind regulär Vereinrung Für ds Folgende sei Σ = { 1,..., m } ein fest gewähltes Alphet. Beochtung 1 Alle Sprchen, die nur ein Wort x = x 1 x n Σ enthlten, sind regulär. Beweis Folgender DFA M erkennt die Sprche L(M) = {x}: x 1 x x 3 x q 0 q 1 q n q n x x 3 x 1 Σ e Σ

15 Aschlusseigenschften von Sprchklssen Definition Ein (k-stelliger) Sprchopertor ist eine Aildung op, die k Sprchen L 1,..., L k uf eine Sprche op(l 1,..., L k ) ildet. Eine Sprchklsse K heißt unter op geschlossen, wenn gilt: L 1,..., L k K op(l 1,..., L k ) K. Der Aschluss von K unter op ist die (zgl. Inklusion) kleinste Sprchklsse K, die K enthält und unter op geschlossen ist. Beispiel Der -stellige Schnittopertor ildet us zwei Sprchen L 1 und L die Sprche L 1 L. Der Aschluss der Singletonsprchen unter Vereinigung esteht us llen nichtleeren endlichen Sprchen.

16 Reguläre Sprchen sind unter Komplement geschlossen Beochtung Ist L REG, so ist uch die Sprche L = Σ \ L regulär. Beweis Sei M = (Z, Σ, δ, q 0, E) ein DFA mit L(M) = L. Dnn kzeptiert der DFA M = (Z, Σ, δ, q 0, Z \ E) ds Komplement L von L.

17 Reguläre Sprchen sind unter Durchschnitt geschlossen Beochtung 3 Sind L 1, L REG, so ist uch die Sprche L 1 L regulär. Beweis Seien M i = (Z i, Σ, δ i, q i, E i ), i = 1,, DFAs mit L(M i ) = L i. Dnn wird der Schnitt L 1 L von dem DFA M = (Z 1 Z, Σ, δ, (q 1, q ), E 1 E ) mit δ((p, q), ) = (δ 1 (p, ), δ (q, )) erknnt. M wird uch ls Kreuzproduktutomt ezeichnet.

18 Reguläre Sprchen sind unter Vereinigung geschlossen Beochtung 4 Die Vereinigung L 1 L von regulären Sprchen L 1 und L ist regulär. Beweis Es gilt L 1 L = (L 1 L ). Frge Wie sieht der zugehörige DFA us? Antwort M = (Z 1 Z, Σ, δ, (q 1, q ), (E 1 Z ) (Z 1 E )).

19 REG ist unter Mengenopertionen geschlossen Korollr Die Klsse REG der regulären Sprchen ist unter folgenden Opertionen geschlossen: Komplement, Durchschnitt, Vereinigung.

20 Wie umfngreich ist REG? Folgerung Aus den Beochtungen folgt, dss lle endlichen und lle co-endlichen Sprchen regulär sind. D die reguläre Sprche L(M 3 ) = {x {, } # (x) # (x) 3 1} weder endlich noch co-endlich ist, hen wir dmit llerdings noch nicht lle regulären Sprchen erfsst.

21 Konstruktive Chrkterisierung von REG Frge Lssen sich lle regulären Sprchen us endlichen Sprchen mithilfe von einfchen Opertionen gewinnen? Definition Ds Produkt (Verkettung, Konktention) der Sprchen L 1 und L ist L 1 L = {xy x L 1, y L }. Ist L 1 = {x} einelementig (diese Sprchen werden uch ls Singletonsprchen ezeichnet), so schreien wir für {x}l uch einfch xl. Die n-fche Potenz L n einer Sprche L ist induktiv definiert durch L n {ε}, n = 0, = L n 1 L, n > 0. Die Sternhülle von L ist L = n 0 Ln. Die Plushülle von L ist L + = n 1 Ln = LL.

22 Üerlick Ziel Zeige, dss REG unter Produktildung und Sternhülle geschlossen ist. Prolem Bei der Konstruktion eines DFA für ds Produkt L 1 L ereitet es Schwierigkeiten, den richtigen Zeitpunkt für den Üergng von (der Simultion von) M 1 zu M zu finden. Lösungsidee Ein nichtdeterministischer Automt (NFA) knn den richtigen Zeitpunkt für den Üergng errten. Verleiendes Prolem Zeige, dss uch NFAs nur reguläre Sprchen erkennen.

23 Nichtdeterministische Automten Definition Ein nichtdet. endl. Automt (kurz: NFA; nondet. finite utomton) N = (Z, Σ, δ, Q 0, E) ist genu so ufgeut wie ein DFA, nur dss er eine Menge Q 0 Z von Strtzuständen ht und die Üerführungsfunktion folgende Form ht: δ : Z Σ P(Z). Hierei ezeichnet P(Z) die Potenzmenge (lso die Menge ller Teilmengen) von Z. Diese wird uch oft mit Z ezeichnet. Die von einem NFA N kzeptierte Sprche ist { } L(N) = x 1 x n Σ q 0 Q 0, q 1,..., q n 1 Z, q n E :. q i+1 δ(q i, x i+1 ) für i = 0,..., n 1

24 Eigenschften von NFAs Ein NFA N knn lso nicht nur eine, sondern mehrere verschiedene Rechnungen prllel usführen. Die Einge x wird genu dnn kzeptiert, wenn mind. eine Rechnung von N nch Lesen von x einen Endzustnd erreicht. Im Gegenstz zu einem DFA, der jede Einge zu Ende liest, knn ein NFA N stecken leien. Dieser Fll tritt ein, wenn N in einen Zustnd q gelngt, in dem er ds nächste Eingezeichen x i wegen δ(q, x i ) = nicht verreiten knn.

25 Eigenschften von NFAs Beispiel Betrchte den NFA N = (Z, Σ, δ, Q 0, E) mit Z = {p, q, r, s}, Σ = {0, 1, }, Q 0 = {p}, E = {s} und der Üerführungsfunktion δ p q r s 0 {p, q} 1 {p} {r} {p} {s} Grphische Drstellung: p 0 q 1 r s 0, 1, Dnn ist L(M) = {x01 x Σ } die Sprche ller Wörter, die mit dem Suffix 01 enden.

26 Eigenschften von NFAs Beochtung 5 Seien N i = (Z i, Σ, δ i, Q i, E i ) NFAs mit L(N i ) = L i für i = 1,. Dnn wird uch ds Produkt L 1 L von einem NFA erknnt. Beweis Wir können Z 1 Z = nnehmen. Die Sprche L 1 L wird dnn von dem NFA N = (Z 1 Z, Σ, δ, Q 1, E) mit δ 1 (p, ), p Z 1 \ E 1, δ(p, ) = δ 1 (p, ) q Q δ (q, ), p E 1, δ (p, ), sonst und E 1 E, E = E, kzeptiert. Q E sonst

27 Eigenschften von NFAs Beochtung 6 Ist N = (Z, Σ, δ, Q 0, E) ein NFA, so wird uch die Sprche L(N) von einem NFA erknnt. Beweis Die Sprche L(N) wird von dem NFA N = (Z {q neu }, Σ, δ, Q 0 {q neu }, E {q neu }) mit δ(p, ) q Q 0 δ(q, ), p E, δ (p, ) = δ(p, ), p Z \ E,, p = q neu erknnt.

28 Üerlick Ziel Zeige, dss REG unter Produktildung und Sternhülle geschlossen ist. Prolem Bei der Konstruktion eines DFA für ds Produkt L 1 L ereitet es Schwierigkeiten, den richtigen Zeitpunkt für den Üergng von (der Simultion von) M 1 zu M zu finden. Lösungsidee (ereits umgesetzt) Ein nichtdeterministischer Automt (NFA) knn den richtigen Zeitpunkt für den Üergng errten. Noch zu zeigen NFAs erkennen genu die regulären Sprchen.

29 NFAs erkennen genu die regulären Sprchen Stz (Rin und Scott) REG = {L(N) N ist ein NFA}. Beweis von REG {L(N) N ist ein NFA} Diese Inklusion ist klr, d jeder DFA M = (Z, Σ, δ, q 0, E) leicht in einen äquivlenten NFA N = (Z, Σ, δ, Q 0, E) trnsformiert werden knn, indem wir δ(q, ) = {δ(q, )} und Q 0 = {q 0 } setzen. Für die umgekehrte Inklusion ist ds Erreichrkeitsprolem für NFAs von zentrler Bedeutung.

30 Ds Erreichrkeitsprolem für NFAs Frge Sei N = (Z, Σ, δ, Q 0, E) ein NFA und sei x = x 1 x n Σ. Welche Zustände knn N(x) in i Schritten erreichen? Antwort in 0 Schritten: lle Zustände in Q 0. in einem Schritt: lle Zustände in Q 1 = q Q 0 δ(q, x 1 ). in i Schritten: lle Zustände in Q i = δ(q, x i ). q Q i 1

31 Simultion von NFAs durch DFAs Idee Wir können einen NFA N = (Z, Σ, δ, Q 0, E) durch einen DFA M simulieren, der in seinem Zustnd die Informtion speichert, in welchen Zuständen sich N momentn efinden könnte. Die Zustände von M sind lso Teilmengen Q von Z mit Q 0 ls Strtzustnd und der Endzustndsmenge E = {Q Z Q E }. Die Üerführungsfunktion δ : P(Z) Σ P(Z) von M erechnet dnn für einen Zustnd Q Z und ein Zeichen Σ die Menge δ (Q, ) = q Q δ(q, ) ller Zustände, in die N gelngen knn, wenn N usgehend von einem elieigen Zustnd q Q ds Zeichen liest. Die von M = (P(Z), Σ, δ, Q 0, E ) erknnte Sprche ist L(M) = {x Σ ˆδ (Q 0, x) E }.

32 NFAs erkennen genu die regulären Sprchen Beweis von {L(N) N ist ein NFA} REG Sei N = (Z, Σ, δ, Q 0, E) ein NFA und sei M = (P(Z), Σ, δ, Q 0, E ) der zugehörige Potenzmengenutomt mit δ (Q, ) = q Q δ(q, ) und E = {Q Z Q E }. Dnn folgt die Korrektheit von M leicht mittels folgender Behuptung, deren Beweis wir uf der nächsten Folie nchholen. Behuptung ˆδ (Q 0, x) enthält genu die von N nch Lesen von x erreichren Zustände. Für lle Wörter x Σ gilt x L(N) N knn nch Lesen von x einen Endzustnd erreichen Beh. ˆδ (Q 0, x) E ˆδ (Q 0, x) E x L(M).

33 Beweis der Behuptung Behuptung ˆδ (Q 0, x) enthält genu die von N nch Lesen von x erreichren Zustände. Beweis durch Induktion üer die Länge n von x n = 0: klr, d ˆδ (Q 0, ε) = Q 0 ist. n 1 n: Sei x = x 1 x n gegeen. Nch IV enthält Q n 1 = ˆδ (Q 0, x 1 x n 1 ) die Zustände, die N nch Lesen von x 1 x n 1 erreichen knn. Wegen ˆδ (Q 0, x) = δ (Q n 1, x n ) = δ(q, x n ) q Q n 1 enthält dnn er ˆδ (Q 0, x) die Zustände, die N nch Lesen von x erreichen knn.

34 Simultion von NFAs durch DFAs Beispiel Betrchte den NFA N p 0 q 1 r s 0, 1, mit Strtzustndsmenge Q 0 = {p} und Endzustndsmenge E = {s}. Ausgehend von Q 0 liefert δ dnn die folgenden Werte: δ 0 1 {p} {p, q} {p} {p} {p, q} {p, q} {p, r} {p} {p, r} {p, q} {p} {p, s} {p, s} {p, q} {p} {p}

35 Simultion von NFAs durch DFAs Beispiel Ausgehend von Q 0 liefert δ dnn die folgenden Werte: δ {p} {p, q} {p, r} {p, s} 0 {p, q} {p, q} {p, q} {p, q} 1 {p} {p, r} {p} {p} {p} {p} {p, s} {p} Also ist N äquivlent zu folgendem Potenzmengenutomten M: 0 {p} 0 1 {p, q} 0 {p, r} {p, s} 1, 1 0 1,

36 Simultion von NFAs durch DFAs Bemerkung Im oigen Beispiel werden für die Konstruktion des Potenzmengenutomten nur 4 der insgesmt P(Z) = Z = 4 = 16 Zustände enötigt, d die ürigen 1 Zustände nicht erreichr sind. Es git jedoch Beispiele, ei denen lle Z Zustände enötigt werden (siehe Üungen).

37 Aschlusseigenschften der Klsse REG Korollr Die Klsse REG der regulären Sprchen ist unter folgenden Opertionen geschlossen: Komplement, Durchschnitt, Vereinigung, Produkt, Sternhülle.

38 Üerlick Nächstes Ziel Zeige, dss REG ls Aschluss der endl. Sprchen unter Vereinigung, Produkt und Sternhülle chrkterisierr ist. Bereits gezeigt: Jede Sprche, die mittels der Opertionen Vereinigung, Produkt und Sternhülle (sowie Durchschnitt und Komplement) ngewndt uf endliche Sprchen drstellr ist, ist regulär. Noch zu zeigen: Jede reguläre Sprche lässt sich us endlichen Sprchen mittels Vereinigung, Produkt und Sternhülle erzeugen.

39 Konstruktive Chrkterisierung von REG mittels regulärer Ausdrücke Induktive Definition der Menge RA ller regulären Ausdrücke Die Symole, ɛ und ( Σ) sind reguläre Ausdrücke, die die leere Sprche L( ) =, die Sprche L(ɛ) = {ε} und für jedes Σ die Sprche L() = {} eschreien. Sind α und β reguläre Ausdrücke, die die Sprchen L(α) und L(β) eschreien, so sind uch αβ, (α β) und (α) reguläre Ausdrücke, die folgende Sprchen eschreien: L(αβ) = L(α)L(β), L(α β) = L(α) L(β), L((α) ) = L(α).

40 Reguläre Ausdrücke Beispiel Die regulären Ausdrücke ɛ,, (0 1) 00 und (ɛ0 1 ) eschreien folgende Sprchen: γ ɛ (0 1) 00 (ɛ0 1 ) L(γ) {ε} {ε} {x00 x {0, 1} } {0} Vereinrungen Um Klmmern zu spren, definieren wir folgende Präzedenzordnung: Der Sternopertor indet stärker ls der Produktoperter und dieser wiederum stärker ls der Vereinigungsopertor. Für (( (c) ) d) können wir lso kurz c d schreien. D der reguläre Ausdruck γγ die Sprche L(γ) + eschreit, verwenden wir γ + ls Akürzung für den Ausdruck γγ.

41 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Stz {L(γ) γ ist ein regulärer Ausdruck} REG. Beweis. Klr, d die Bsisusdrücke, ɛ und, Σ, nur reguläre Sprchen eschreien und die Sprchklsse REG unter Produkt, Vereinigung und Sternhülle geschlossen ist.

42 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke M 3 : 0 1 Frge Wie lässt sich die Sprche L(M 3 ) = {x {, } # (x) # (x) 3 1} durch einen regulären Ausdruck eschreien? Antwort Die Sprche L 0 = {x {, } # (x) # (x) 3 0} lässt sich durch folgenden regulären Ausdruck eschreien: γ 0 = (() ( ) () ( )). Also ist L(M 3 ) durch folgenden regulären Ausdruck eschreir: γ 1 = γ 0 ( )().

43 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Stz REG {L(γ) γ ist ein regulärer Ausdruck}. Beweis Wir konstruieren zu einem DFA M = (Z, Σ, δ, q 0, E) einen regulären Ausdruck γ mit L(γ) = L(M). Wir nehmen n, dss Z = {1,..., m} und q 0 = 1 ist. Dnn lässt sich L(M) ls Vereinigung L(M) = q E L 1,q von Sprchen der Form L p,q = {x Σ ˆδ(p, x) = q} drstellen. Es reicht lso, reguläre Ausdrücke für die Sprchen L p,q mit 1 p, q m nzugeen.

44 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Stz REG {L(γ) γ ist ein regulärer Ausdruck}. Beweis (Fortsetzung) Es reicht lso, reguläre Ausdrücke für die Sprchen L p,q mit 1 p, q m nzugeen. Hierzu etrchten wir für r = 0,..., m die Sprchen { L r p,q = x L p,q für i = 1,..., n 1 ist ˆδ(p, } x 1 x i ) r. Wegen L p,q = L m p,q reicht es, reguläre Ausdrücke für die Sprchen L r p,q mit 1 p, q m und 0 r m nzugeen. Wir zeigen induktiv üer r, dss die Sprchen L r p,q durch reguläre Ausdrücke eschreir sind.

45 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Stz REG {L(γ) γ ist ein regulärer Ausdruck}. Beweis (Schluss) Wir zeigen induktiv üer r, dss die Sprchen L r p,q durch reguläre Ausdrücke eschreir sind. r = 0: In diesem Fll sind die Sprchen L 0 { Σ δ(p, ) = q}, p q, p,q = { Σ δ(p, ) = q} {ε}, sonst r r + 1: endlich und somit durch reguläre Ausdrücke eschreir. Wegen L r+1 p,q = L r p,q L r p,r+1(l r r+1,r+1) L r r+1,q sind mit L r p,q, 1 p, q m, uch die Sprchen L r+1 p,q, 1 p, q m, durch reguläre Ausdrücke eschreir.

46 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel Betrchte den DFA M 1 D M insgesmt m = Zustände und nur den Endzustnd esitzt, ist L(M) = L 1,q = L 1, = L 1,. q E

47 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) Um reguläre Ausdrücke γ r p,q für die Sprchen L r p,q zu estimmen, enutzen wir für r 0 die Rekursionsformel γ r+1 p,q Dmit erhlten wir = γ r p,q γ r p,r+1(γ r r+1,r+1) γ r r+1,q. γ 1, = γ1 1, γ1 1, (γ1, ) γ 1,, γ 1 1, = γ0 1, γ0 1,1 (γ0 1,1 ) γ 0 1,, γ 1, = γ0, γ0,1 (γ0 1,1 ) γ 0 1,. Es genügt lso, die regulären Ausdrücke γ1,1 0, γ0 1,, γ0,1, γ0,, γ1 1,, γ1, und γ1, zu erechnen.

48 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformeln L 0 p,p = { δ(p, ) = p} {ε}, L 0 p,q = { δ(p, ) = q} für p q, L r+1 p,q = L r p,q L r p,r+1(l r r+1,r+1) L r r+1,q. r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 1

49 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel L 0 1,1 = { Σ δ(1, ) = 1} {ε} = {ε, } r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 1

50 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel L 0 1,1 = { Σ δ(1, ) = 1} {ε} = {ε, } γ 0 1,1 = ɛ r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ 1

51 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel L 0 1, = { Σ δ(1, ) = } = {} r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ 1

52 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel L 0 1, = { Σ δ(1, ) = } = {} γ 0 1, = r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ 1

53 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel L 0,1 = { Σ δ(, ) = 1} = {} r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ 1

54 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel L 0,1 = { Σ δ(, ) = 1} = {} γ 0,1 = r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ 1

55 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel L 0, = { Σ δ(, ) = } {ε} = {ε, } r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ 1

56 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel L 0, = { Σ δ(, ) = } {ε} = {ε, } γ 0, = ɛ r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ ɛ 1 -

57 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel γ 1 1, = γ0 1, γ0 1,1 (γ0 1,1 ) γ 0 1, r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ ɛ 1 -

58 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel γ 1 1, = γ0 1, γ0 1,1 (γ0 1,1 ) γ 0 1, = (ɛ )(ɛ ) r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ ɛ 1 -

59 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel γ 1 1, = γ0 1, γ0 1,1 (γ0 1,1 ) γ 0 1, = (ɛ )(ɛ ) r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ ɛ 1 - -

60 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel γ 1, = γ0, γ0,1 (γ0 1,1 ) γ 0 1, r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ ɛ 1 - -

61 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel γ 1, = γ0, γ0,1 (γ0 1,1 ) γ 0 1, = (ɛ ) (ɛ ) r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ ɛ 1 - -

62 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel γ 1, = γ0, γ0,1 (γ0 1,1 ) γ 0 1, = (ɛ ) (ɛ ) ɛ r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ ɛ ɛ -

63 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformeln γ 1, = γ1 1, γ1 1, (γ1, ) γ 1, r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ ɛ ɛ -

64 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel γ 1, = γ1 1, γ1 1, (γ1, ) γ 1, = (ɛ ) (ɛ ) r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ ɛ ɛ -

65 Chrkterisierung von REG durch reguläre Ausdrücke Beispiel (Fortsetzung) DFA M 1 Rekursionsformel γ 1, = γ1 1, γ1 1, (γ1, ) γ 1, = (ɛ ) (ɛ ) ( ) r (p, q) (1, 1) (1, ) (, 1) (, ) 0 ɛ ɛ ɛ - ( ) - -

66 Chrkterisierungen der Klsse REG Korollr Sei L eine Sprche. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: L ist regulär, es git einen DFA M mit L = L(M), es git einen NFA N mit L = L(N), es git einen regulären Ausdruck γ mit L = L(γ), L lässt sich mit den Opertionen Vereinigung, Produkt und Sternhülle us endlichen Sprchen gewinnen, L lässt sich mit den Opertionen,, Komplement, Produkt und Sternhülle us endlichen Sprchen gewinnen. Auslick Als nächstes wenden wir uns der Frge zu, wie sich die Anzhl der Zustände eines DFA minimieren lässt. D hierei Äquivlenzreltionen eine wichtige Rolle spielen, efssen wir uns zunächst mit Reltionlstrukturen.