Übungsblatt Nr. 1. Lösungsvorschlag

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Marta Dunkle
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1 Institut für Kryptogrphie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Qude Nico Döttling Dirk Achench Tois Nilges Vorlesung Theoretische Grundlgen der Informtik Üungsltt Nr. svorschlg

2 Aufge (K) (4 Punkte): Semi-Thue-Systeme Der eenso genile wie undurchschure Wissenschftler und Superösewicht Doktor Met hält in seinem geheimen Lor einen (endlichen) Behälter mit einer Mischung der seltenen Stoffe Unotnium (u) und Phleotinum (p) vor. Unotnium- und Phleotinum-Atome regieren prweise zu den folgenden Produkten: Zwei Unotnium-Atome regieren zu einem Unotnium-Atom, zwei Phleotinum- Atome regieren uch zu einem Unotnium-Atom. Ein Unotnium-Atom und ein Phleotinum-Atom regieren zu einem Phleotinum- Atom. Eenso regieren ein Phleotinum-Atom und ein Unotnium-Atom zu einem Phleotinum-Atom. Nehmen Sie n, dss die Atome in fester Reihenfolge ngeordnet sind, so dss ein Wort üer dem Alphet A = {p, u} vorliegt. Er werden fortwährend zwei neeneinnderliegende Atome us dem Behälter genommen und wie eschrieen ersetzt. i.) Betrchten Sie ls Beispiel den Behälter mit dem Inhlt uupupuuuupp. Wenden Sie die oen eschrieenen Rektionsregeln n, is keine Regel mehr nwendr ist. Ws ist ds Ergenis der Rektion? (P) ii.) Formulieren Sie die oen eschrieenen Rektionsregeln ls Semi-Thue-System. (P) iii.) Zeigen Sie mittels Induktion, dss ds Semi-Thue-System immer terminiert, lso (nch endlich vielen Schritten) keine Produktion mehr nwendr ist. Wie viele Atome efinden sich nch dem Aluf der Rektion in dem Behälter? (2P) svorschlg i.) Wir geen eine Beispielleitung: uupupuuuupp uupupuuuuu uuppuuuuu uuppuuuu uppuuuu uppuuu ppuuu uuuu uuu uu u. Ds Rektionsprodukt ist lso ein Unotnium-Atom. Ürigens ist ds Ergenis unhängig von der Reihenfolge der Regelnwendung, d keine der Regeln die Gerdzhligkeit der vorhndenen Phleotinum-Atome (p) verändert und nch der Rektion noch genu ein Atom im Behälter verleit (Teilufge iii). Befindet sich zu Beginn eine ungerde Anzhl Phleotinum-Atome im Behälter, ist ds Ergenis ein Phleotinum-Atom, sonst ein Unotnium-Atom. ii.) (A, P) mit A = {p, u} und P = {uu u, pp u, up p, pu p}. iii.) Bezeichne x die Länge eines Wortes x. Wir führen eine Induktion nch x. Induktionsnfng: x : Keine Regel ist nwendr. Ds System terminiert. Induktionshypothese: Ds System terminiere für lle x mit x n, gegeen ein festes n. Induktionsschritt: Betrchte ein x mit x = n +. Mindestens eine Regel ist nwendr, d x 2. Die Regelnwendung verkürzt ds Wort um ein Zeichen. ii

3 Sei y ds Wort x nch Regelnwendung. Dnn ist y = n. Nch Induktionshypothese terminiert ds System für y. Also terminiert es für x. Nch dem Aluf der Rektion efindet sich noch ein Atom im Behälter, d erst dnn keine Regel mehr nwendr ist. (Jede Regelnwendung reduziert die Anzhl der Atome im Behälter um eins.) Aufge 2 (K) (4 Punkte): Automten und reguläre Sprchen i.) Formulieren Sie einen regulären Ausdruck üer dem Alphet Σ = {0, }, der jedes elieige Wort erfsst, welches eine gerde Prität ht. (Ein Wort ht gerde Prität, wenn es eine gerde Anzhl Einsen enthält.) (2P) ii.) Geen Sie zu diesem regulären Ausdruck eine linkslinere Grmmtik n. (2P) svorschlg i.) (0 (0 ) ) ii.) S A S0 λ A A0 S iii

4 Aufge 3 (K) (4 Punkte): Mehr Akzeptoren und reguläre Ausdrücke Gegeen sei die folgende Beschreiung eines deterministischen endlichen Akzeptors M = (Q, Σ, δ, q 0, F): Q = {q 0, q, q 2, q 3, q 4, q 5 } Σ = {0, } δ = { (q 0, 0) q, (q 0, ) q 3, (q, ) q 5, (q 2, 0) q 4, (q 2, ) q 2, (q 3, 0) q 5, (q 3, ) q 3, (q 4, ) q 5, (q 5, 0) q 2 } q 0 F = {q 4 } i.) Zeichnen Sie den zugehörigen Automten. (P) ii.) Simulieren Sie die Berechnung von M ei Einge w = Akzeptiert M ds Wort w? (P) iii.) Simulieren Sie die Berechnung von M ei Einge w 2 = 000. Akzeptiert M ds Wort w 2? (P) iv.) Geen Sie den regulären Ausdruck n, der die kzeptierte Sprche L von M eschreit. (P) svorschlg i.) 0 q 0 q 2 q 0 q 3 0 q 5 q 4 0 iv

5 ii.) q 0 q q 5 q 2 q 2 q 2 q 4 q 5 q 2 q 2 q 4. Ds Wort wird lso von M kzeptiert. iii.) q 0 q 3 q 3 q 3 q 3 q 5 q 2 q 2 q 2 q 4 q 5. Ds Wort 000 wird lso von M nicht kzeptiert. iv.) ( )0 0(0 0) v

6 Aufge 4 (K) (4 Punkte): Potenzmengenkonstruktion und Automtenminimierung Gegeen sei ein nichtdeterministischer endlicher Automt (NEA) durch (Q, Σ, δ, q 0, F ) mit Q = {q 0, q, q 2 }, Σ = {,, c}, F = {q 2 }. Die Üergngsfunktion sei tellrisch gegeen: δ ε c q 0 {q, q 2 } {q } {q 2 } q {q 0 } {q 2 } {q 0, q } q 2 i.) Geen Sie den Üergngsgrphen für den Automten n und eliminieren Sie die ε- Üergänge. (P) ii.) Ermitteln Sie mittels Potenzmengenkonstruktion den äquivlenten deterministischen endlichen Automten (DEA). Geen Sie Ihre tellrisch n. (P) iii.) Minimieren Sie den durch den folgenden Üergngsgrphen gegeenen DEA ({q 0, q, q 2, q 3, q 4 }, {, }, δ, q 0, {q 4 }): (2P) svorschlg i.) q 0 q q 2 q 3, c q 0 q ε, ε, c q 2 Wir definieren eine neue Üergngsfunktion. Der Einfchheit hler wird der ε-aschluss eines Zustnds E(q i ) zusätzlich mit ngegeen. Er ist nicht zwingend Bestndteil der vollständigen : q 4 c, δ E(q i ) c q 0 {q 0, q, q 2 } {q 0 } {q, q 2 } {q 0, q, q 2 } q {q } {q 0 } {q 2 } {q 0, q } q 2 {q 2 } vi

7 Nun setzen wir einen neuen Strtzustnd q 0 = E({q 0} und sustituieren in der Üergngsfunktion q 0 durch E({q 0 }) = {q 0, q, q 2 }: δ c {q 0, q, q 2 } {q 0, q, q 2 } {q, q 2 } {q 0, q, q 2 } {q } {q 0, q, q 2 } {q 2 } {q 0, q, q 2 } {q 2 } ii.) iii.) Anmerkung: In der Vorlesung wurde ds Entfernen der ε-üergänge nicht ls expliziter Schritt vorgestellt. Eine, in der die Eliminierung der ε-üergänge in der folgenden Teilufge implizit stttfindet, ist uch korrekt. δ c {q 0, q, q 2 } {q 0, q, q 2 } {q, q 2 } {q 0, q, q 2 } {q, q 2 } {q 0, q, q 2 } {q 2 } {q 0, q, q 2 } {q 2 } q 0 q q 2 q 3 q 4 q 0 q q q q 4 Dmit ergit sich der folgende Minimlutomt:, [q 0 ] [q 2 ] [q 4 ] vii

8 Aufge 5 (*): Ds Ktzenrätsel Betrchten wir ds folgende Termersetzungssystem (A, P) mit A = {, c, o, t} und P = { } ot ot, cxt cxxt für lle x A +, ooo, λ, Bechten Sie, dss die zweite Produktionsregel eine gnze Menge von Produktionen eschreit, d x in der Länge nicht eschränkt ist. Ist es möglich, ds Wort ct us dem Wort cot zuleiten, existiert lso eine Folge von Produktionen, so dss cot ct? Hinweis: Finden Sie eine Invrinte. (Eine Invrinte ist eine Eigenschft des Worts, die nch jeder Regelnwendung erfüllt ist.) svorschlg Bei dem Rätsel hndelt es sich um eine Vrinte des eknnten MU-Puzzles us Dougls Hofstdters Buch Gödel, Escher, Bch. Die Teilrkeit der Anzhl der o im Wort durch 3 ist invrint. In nderen Worten: O die Anzhl der o im Wort kongruent 0 modulo 3 ist, ändert sich durch Regelnwendung nicht. Die erste und vierte Regel hlten die Anzhl konstnt. Die zweite Regel verdoppelt sie (und erhält somit die Teilrkeit durch 3). Die dritte Regel reduziert sie konstnt um 3, verändert lso ihre Teilrkeit durch 3 nicht. cot enthält ein o; teilt 3 nicht. ct enthält kein o; D nun 0 mod 3, knn ct nicht durch Regelnwendung us cot entstehen. viii

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