1 Grundlagen der Theorie formaler Sprachen

Transkript

1 1 Grundlgen der Theorie formler Sprchen Wir eginnen dmit, dss wir in diesem Kpitel zunchst einige grundlegende Begriffe und Methoden us der Theorie formler Sprchen, insesondere der regulären Sprchen, wiederholen. 1.1 Reguläre Sprchen und endliche Automten Reguläre Sprchen Sei Σ = {,,...} ein endliches Alphet. Ein endliches Wort üer Σ ist eine Folge w = 0... n 1, woei i Σ für i = 0,...,n 1. Wir schreien w für die Länge von w, lso n in diesem Fll, und w(i) für ds i-te Symol i von w. Ds leere Wort, lso die Folge der Länge 0, wird mit ε ezeichnet. Σ ezeichnet die Menge ller Wörter üer Σ und Σ + die Menge ller nichtleeren Wörter üer Σ. Die Konktention zweier Wörter w und v entsteht durch Anhängen der Folge v n die Folge w und wird mit wv ezeichnet. Eine Sprche ist eine Menge von Wörtern, lso eine Teilmenge L Σ. Somit sind lle ülichen, mengentheoretischen Opertionen wie Vereinigung, Schnitt, Komplement, Differenz, etc. uch Opertionen uf Sprchen. Ds Komplement einer Sprche L ezeichnen wir ülicherweise mit L, und es ist definiert ls Σ \L. Andere wichtige Opertionen uf Sprchen sind die Konktention und der Kleene-Aschluss (Kleene-Stern). Sind L 1 und L 2 zwei Sprchen, so ist deren Konktention die Sprche L 1 L 2 := {w 1 w 2 w 1 L 1,w 2 L 2 }, die lso durch Konktention elieiger Wörter us L 1 mit elieigen Wörtern us L 2 entsteht. Ist L eine Sprche, dnn ist ihr Kleene-Aschluss die Sprche L := {w 1...w n n N,w i L für lle i = 1,...,n}. Diese entsteht lso durch elieig, er nur endlich oft wiederholte Konktention der Sprche mit sich selst. Bechte, dss ε L für jedes L Σ gilt, denn uch n = 0 ist in M. Hofmnn, M. Lnge, Automtentheorie und Logik, exmen.press, DOI / _1, Springer-Verlg Berlin Heidelerg 2011

2 4 1 Grundlgen der Theorie formler Sprchen der Definition des Kleene-Aschlusses zugelssen. Anders gesgt gilt für lle L Σ : L 0 := {ε}, L i+1 := LL i, L := L i i N Eine Klsse von Sprchen, für die wir uns hier insesondere interessieren, ist die der regulären Sprchen üer dem Alphet Σ, ezeichnet mit REG Σ. Knn Σ us dem Kontext erknnt werden, so schreien wir uch einfch nur REG. Definition 1.1. Die Klsse REG Σ ist die kleinste Klsse von Sprchen üer Σ, für die gilt: ) REG Σ und {} REG Σ für jedes Σ, ) wenn L 1,L 2 REG, dnn L 1 L 2 REG, L 1 L 2 REG und L 1 REG. Hier edeutet kleinste Klsse, dss keine Sprche, die nicht durch (1) oder (2) gedeckt ist, zu REG gehört. Dies ist gleichedeutend dmit, dss eine Sprche nur dnn zu REG gehört, wenn sie entweder von einer in (1) gennnten Form ist, oder er sich lut (2) us einer oder zweien Sprchen zusmmensetzt, von denen ereits eknnt ist, dss sie zu REG gehören. Noch nders gesgt: Jede reguläre Sprche lässt sich durch Anwenden von nur endlich vielen Opertionen, die in (2) gennnt sind, us den Sprchen, die in (1) gennnt sind, erzeugen. Beispiel 1.2. Die Menge L ller Wörter üer dem Alphet {,}, in denen nch jedem irgendwnn später noch ein folgt, ist regulär. Mn üerlege sich zunächst, dss die informelle Beschreiung äquivlent dzu ist, dss ein Wort in der Sprche nicht uf enden drf. D es nur zwei verschiedene Buchsten git, muss jedes Wort in der Sprche lso uf enden oder leer sein. Somit ist L = {ε} (({} {}) {}). Es leit nur noch zu sehen, dss uch {ε} eine reguläre Sprche ist. Dies ist der Fll, denn es gilt {ε} =. Bei der formlen Beschreiung einer Sprche erluen wir es uns uch, möglichst viele Klmmern wegzulssen. Dzu lssen wir den Kleene-Stern stärker ls die Konktention und diese wiederum stärker ls die Vereinigung inden. Außerdem schreien wir Einermengen nicht explizit ls solche uf. Die Sprche us dem vorigen Beispiel könnte mn lso uch ls ε ( ) schreien. Mn sieht z.b. leicht, dss jede endliche Menge von Wörtern eine reguläre Sprche ildet, d sich jede Sprche, die nur ein Wort enthlt, durch endlich viele Konktentionen von Sprchen der Form {} ilden lässt. Eine Sprche mit endlich vielen Wörtern lässt sich dnn leicht ls endliche Vereinigung eschreien. Bechte, dss die Klsse der regulären Sprchen nicht unter unendlichen Vereinigungen geschlossen ist, denn dnn wäre j jede Sprche

3 1.1 Reguläre Sprchen und endliche Automten 5 regulär, d sich jede Sprche ls unendliche Vereinigung der Einermengen ihrer Wörter schreien lässt. Der Punkt (2) in der Definition von REG edeutet, dss REG geschlossen ist unter den Opertionen Vereinigung, Konktention und Kleene- Itertion. REG ist drüerhinus noch geschlossen unter einer gnzen Menge nderer Opertionen, u.. unter ll den ülichen mengentheoretischen Opertionen. Dies ist jedoch für den Schnitt und ds Komplement nicht unedingt offensichtlich us der Definition. Um solche Aschlusseigenschften zu eweisen, rucht mn in der Regel ndere Chrkterisierungen der regulären Sprchen. Diese sind uch nötig, um reguläre Sprchen repräsentieren und verreiten zu können, d es sich ei Sprchen im Allgemeinen um unendlich große Mengen hndelt Endliche Automten Eine der wichtigsten Repräsenttionsformlismen für reguläre Sprchen sind endliche Automten, die wir im folgenden wiederholen werden. Definition 1.3. Ein nichtdeterministischer, endlicher Automt (NFA) ist ein Tupel A = (Q,Σ,q I,δ,F) mit endlicher Zustndsmenge Q, Eingelphet Σ, Anfngszustnd q I Q, Trnsitionsfunktion δ : Q Σ 2 Q, Endzustndsmenge F Q. Ein Luf eines NFA A uf einem Wort w = 0... n 1 ist eine Folge q 0...q n, so dss q 0 = q I und für lle i = 0,...,n 1 gilt: q i+1 δ(q i, i ). Der Luf heißt kzeptierend, flls q n F. Sei L(A) := {w Σ es git einen kzeptierenden Luf von A uf w} die von A erknnte Sprche. Zwei Automten sind äquivlent, wenn sie diesele Sprche erkennen. Als Größe eines NFA A ezeichnen wir normlerweise die Anzhl seiner Zustnde und schreien dies uch ls A.Bechte, dssdies kein exktesmß für den Pltz ist, den mn rucht, um einen NFA niederzuschreien. Sei A = (Q,Σ,q 0,δ,F). Dnn gilt i.a. δ = O( Q 2 Σ ). D.h. ei festgelegtem Alphet knn die Trnsitionstelle qudrtisch in der Zustndszhl wchsen. Dennoch ist die Anzhl der Zustände eines Automten ein sinnvolles Mß für seine Komplexität. NFAs lssen sich m einfchsten ls knten-eschrifteter Grph drstellen. Die Zustände ilden die Knoten, die Zustndsüergngsfunktion δ wird durch Knten in dem Grph repräsentiert. Ist q δ(q,) für einen Zustnd q und ein Alphetsymol, so wird eine Knte von q nch q mit Beschriftung gezogen. Normlerweise wird der Anfngszustnd durch eine von nirgendwoher eingehende und uneschriftete Knte gekennzeichnet und Endzustände durch einen Doppelkreis usgezeichnet.

4 6 1 Grundlgen der Theorie formler Sprchen A Beispiel eines NFA. Ein Beispiel ist in A. 1.1 gezeigt. Zur Üung estimme mn die Sprche, die von diesem NFA erknnt wird und versuche, einen NFA mit nur 4 Zuständen für diesele Sprche zu konstruieren. Viele der Opertionen, unter denen die Klsse der regulären Sprchen geschlossen ist, lssen sich eenflls uf NFAs usführen, welches die folgenden Resultte esgen. Wir zeigen exemplrisch die Konstruktion für den Kleene-Stern, die nderen sind Üungen. Stz 1.4. Seien A i zwei NFAs für i = {1,2}. Dnn existieren NFAs A und A ;, so dss L(A ) = L(A 1 ) L(A 2 ) und L(A ; ) = L(A 1 )L(A 2 ). Beweis. Üung. Stz 1.5. Sei A ein NFA. Dnn existiert ein NFA A, so dss L(A ) = L(A). Beweis. Sei A = (Q,Σ,q I,δ,F) und q I ein neuer Zustnd, der nicht in Q enthlten ist. Wir geen zuerst die Konstruktion von A n und eweisen dnn, dss dieser NFA die gewünschte Sprche erkennt. A := (Q {q I},Σ,q I,δ,F {q I}) woei für lle Σ und lle q Q {q I }: δ(q I,), flls q = q I δ (q,) := δ(q,) δ(q I,), flls q F δ(q,), flls q Q\F Wir eochten, dss ein Zustnd in A lso dieselen Trnsitionen wie dersele Zustnd in A ht mit dem Unterschied, dss Endzustände zusätzlich

5 1.1 Reguläre Sprchen und endliche Automten 7 noch die Trnsitionen des ursprünglichen Anfngszustnd hen. Der neue Anfngszustnd ist eine Kopie des lten Anfngszustnds, der er von keinem nderen Zustnd us erreichr ist. Es leit zu zeigen, dss L(A ) = L(A) gilt. Für den -Teil nehmen wir n, dss w L(A ) für ein w = 1... n Σ gilt. Also existiert ein kzeptierender Luf q I,q 1,...,q n uf w. Aus oiger Beochtung folgt sofort, dss es i 0,i 1,...,i m git, so dss i 0 = 0, i 0 < i 1... < i m, i m = n, für lle j = 1,...,m ist q ij 1,...,q ij ein kzeptierender Luf von A uf ij ij. Somit ist w L(A). Für den -Teil sei w L(A). Flls w = ε, so gilt w L(A ), d der Anfngszustnd von A uch Endzustnd ist. Sei w ε. Also existiert eine Zerlegung w = v 0...v k, so dss v i ε und v i L(A) für lle i = 0,...,k. Wir zeigen nun durch Induktion üer k, dss v 0...v k L(A ) gilt. Im Induktionsnfng ist k = 0, d.h. w = v 0. D v 0 L(A) git es einen kzeptierenden Luf q 0,q 1,...,q m von A uf v 0 mit q m F. D v 0 ε, gilt m 1. Jetzt ist er q I,q 1,...,q m uch ein kzeptierender Luf von A uf v 0, d der neue Anfngszustnd q 0 dieselen Trnsitionen wie der lte q 0 ht und q m uch weiterhin Endzustnd in A ist. Sei nun k > 0 und v 0...v k 1 L(A ), d.h. es git einen kzeptierenden Luf q I,q 1,...,q m von A uf v 0...v k 1. D v k L(A) git es uch einen kzeptierenden Luf von p 0,...,p l von A uf v k. Insesondere gilt p 0 = q I, p l F und l 1, d v k ε. Dnn ist er q I,q 1,...,q m,p 1,...,p l ein kzeptierender Luf von A uf v 0...v k, denn es gilt p 1 δ (q m,v k (0)), d p 1 δ(q I,v k (0)). Wir erinnern noch n ds fundmentle Resultt, dss die von NFAs erknnten Sprchen genu die regulären Sprchen sind. D.h. zu jeder regulären Sprche knn mn einen NFA ngeen, und umgekehrt lässt sich zu jedem NFA uch zeigen, dss die von ihm erknnte Sprche regulär lut Def. 1.1 ist. Die erste Richtung ist recht einfch; die Huptteile des Beweises hen wir ereits gesehen. Stz 1.6. Ist L regulär, so git es einen NFA A mit L(A) = L. Beweis. Üung. Für die Umkehrung dieses Stzes rucht mn dzu z.b. ds Arden sche Lemm. Den Beweis stellen wir wieder ls Üungsufge. Stz 1.7. Seien U,V Σ Sprchen, so dss ε U, und L Σ eine Sprche, so dss L = UL V. Dnn gilt L = U V.

6 8 1 Grundlgen der Theorie formler Sprchen Beweis. Üung. Dieser Stz ist ds Werkzeug mit dem sich für die von einem NFA eschrieene Sprche ein regulärer Ausdruck finden lässt. Der Trick dei ist, einen NFA mit n Zuständen ls rekursives Gleichungssystem mit n Gleichungen zu etrchten, welches mn sukzessive durch Anwendung des Arden schen Lemms lösen knn. Stz 1.8. Wird L von einem NFA erknnt, so ist L regulär. Beweis. Sei L = L(A) für einen NFA A = (Q,Σ,q I,δ,F). O.B.d.A. nehmen wir n, dss Q = {0,...,n 1} und q I = 0 gilt. Für jedes i = 0,...,n 1 definieren wir nun die Sprche X i estehend us ll den Wörtern, für die es einen in i eginnenden kzeptierenden Luf in A git. Formell lso X i = L(Q,Σ,i,δ,F). Bechte, dss L = X 0. Diese Sprchen genügen nun dem folgenden Gleichungssystem: X i = ( { ) {ε}, flls i F {}X j, sonst Σ j δ(i,) Mithilfe von offensichtlichen Trnsformtionen und sukzessiver Anwendung des Arden schen Lemms können nun Ausdrücke für die X i estimmt werden, die zeigen, dss diese jeweils nch Def. 1.1 regulär sind. D L = X 0, gilt dies uch für L selst. Beispiel 1.9. Als Beispiel etrchten wir den folgenden NFA. Ds dzugehörige Gleichungssystem unter Auslssung einiger Klmmern lutet wie folgt.: X 0 = X 1 X 2 (I) X 1 = X 0 (II) X 2 = X 3 X 0 {ε} (III) X 3 = X 2 (IV) Einsetzen von (IV) in (III) liefert lso X 2 = X 2 X 0 ε (V) X 2 = () (X 0 ε) (VI) Einsetzen von (VI) und (II) in (I) liefert

7 1.1 Reguläre Sprchen und endliche Automten 9 X 0 = X 0 () (X 0 ε) X 0 = ( () )X 0 () X 0 = ( () ) () woei sich die zweite Gleichung durch Vereinfchung und die dritte Gleichung wiederum mit dem Arden schen Lemm ergit. Dmit ist X 0 regulär Deterministische, endliche Automten Definition Ein NFA A = (Q,Σ,q 0,δ,F) heißt deterministisch (DFA), flls für lle q Q und lle Σ gilt: δ(q,) = 1. In diesem Fll schreien wir uch einfch δ(q,) = p sttt δ(q,) = {p}. In einigen Anwendungsfällen sind nichtdeterministische Automten nicht usreichend, sondern mn rucht deterministische. Dher stellt sich die Frge, o mn zu jedem nichtdeterministischen Automten oder äquivlenterweise jeder regulären Sprche uch einen deterministischen Automten finden knn, der diese erkennt. Die Antwort ist eknntermßen j, und sie wird typischerweise durch eine ls Potenzmengenkonstruktion eknnt gewordene Umwndlung eines NFA in einen äquivlenten DFA gezeigt. Stz Wird eine Sprche L von einem NFA mit n Zuständen erknnt, so wird L uch von einem DFA mit höchstens 2 n vielen Zuständen erknnt. Beweis. Sei L = L(A) für einen NFA A = (Q,Σ,q 0,δ,F). Dnn sei P := (2 Q,Σ,{q 0 },,F ) woei für jedes S Q und jedes Σ. (S,) := q Sδ(q,) und F := {S Q F S }. Mn echte, dss P in der Tt ein DFA ist: Vom Zustnd S erreicht mn unter Lesen von genu einen Zustnd, uch wenn die Trnsitionsfunktion hier ls Vereinigungsmenge geschrieen ist. Zustände sind llerdings Mengen von Zuständen us A, weswegen solch eine Vereinigungsmenge einen Zustnd drstellt. Es leit zu zeigen, dss L(P) = L(A) gilt. Für die -Richtung existiere einkzeptierenderlufq 0,...,q n vonaufeinemwortw = 0,..., n 1.D P deterministisch ist, existiert ein eindeutiger Luf S 0,...,S n von P uf w. Es gilt offensichtlich q 0 S 0, d S 0 = {q 0 }. Drüerhinus wird die folgende Invrinte für lle i = 0,...,n 1 ewhrt: Ist q i S i, so ist q i+1 S i+1. Dies ist der Fll, weil q i+1 δ(q i, i ) für lle diese i gilt. Somit gilt letztendlich uch q n S n, und d q n F uch F S n, weswegen S 0,...,S n ein kzeptierender Luf von P uf w ist. Fürdie -RichtungseiS 0,...,S n einkzeptierendenlufvonp ufeinem Wort w = 0... n 1. Flls n = 0, lso w = ε, so muss S 0 F gelten, ws er q 0 F edeutet, weswegen A uch w kzeptiert.

8 10 1 Grundlgen der Theorie formler Sprchen Sei lso n > 0. Bechte, dss jeder A-Zustnd q in einem S i in gewissem Sinne mit einem q S i 1 verunden ist: Für jedes i = 1,...,n und jedes q S i existiert ein q S i 1, so dss q δ(q, i 1 ). Dies ist eine sofortige Konsequenz us der Definition von. Dies edeutet er uch, dss sich für jedes i = 1,...,n und jedes q S i ein Luf von A uf dem Wort 0... i 1 konstruieren lässt, der in q endet. D S n F, git es ein q S n mit q F. Die Anwendung dieser Beochtung uf dieses q und i = n liefert dnn einen kzeptierenden Luf von A uf w. DjederDFAucheinNFAperDefinitionist,folgtlso,dssdieregulären Sprchen nicht nur genu diejenigen sind, die durch NFAs erknnt werden, sondern eenflls genu diejenigen, die durch DFAs erknnt werden. Eine wichtige Konsequenz us der Ttsche, dss DFAs usreichen, um reguläre Sprchen zu eschreien, ist der Komplementschluss der Klsse der regulären Sprchen. Bechte, dss zu einer gegeenen, formlen Beschreiung α nicht ohne weiteres eine Beschreiung ᾱ für ds Komplement der Sprche gefunden werden knn. Dssele gilt für NFAs, d ds Komplementieren us der existentiellen Quntifizierung uer Lufe eine universelle Quntifizierung mchen würde. Diese knn er i.a. nicht wieder ls existentielle Quntifizierung eschrieen und somit mit einem NFA erknnt werden. D DFAs er uf einem gegeenen Wort jeweils einen eindeutigen Luf hen, sind ei diesem Automtenmodell die Aussgen es git einen Luf uf w und für lle Läufe uf w äquivlent. Stz Für lle L Σ gilt: L REG L REG. Beweis. Sei L REG. Lut Stz 1.6 git es dnn einen NFA A mit L(A)= L. Nch Stz lässt sich dieser per Potenzmengenkonstruktion in einen äquivlenten DFA B umwndeln. Es gilt lso uchl(b) = L. Sei nun B = (Q,Σ,q 0,δ,F). Definiere B := (Q,Σ,q 0,δ,Q \F). Es leit zu zeigen, dss L(B) = L(B) gilt. Wir nehmen n, dss w L(B) gilt für ein elieiges w Σ. D B deterministisch ist, git es einen eindeutigen Luf q 0,...,q n von B uf w, so dss q n Q\F. Bechte, dss Q\F die Endzustände von B sind. D B und B er dieselen Anfngszustände und Trnsitionsfunktion hen, ist q 0,...,q n uch ein Luf von B uf w. Dieser endet er in einem Nichtendzustnd zgl. B. D ein DFA höchstens einen Luf uf einem gegeenen Wort hen knn, git es keinen kzeptierenden Luf von B uf w, und somit gilt w L(B) zw. w L(B). Wir enutzen die -Richtung. Bechte, dss B wiederum ein DFA ist, für den dnn uch die -Richtung, lso L(B) L(B) gelten muss. D F Q gilt uch Q\(Q\F) = F. Ds edeutet einfch, dss zweiml Komplementieren wieder den lten Automten herstellt, lso B = B, worus L(B) L(B) folgt. Dies ist er äquivlent dzu, dss L(B) L(B) = L(B) gilt, ws noch zu eweisen wr.

9 1.2 Entscheidrkeit und Komplexität 11 Somit ist B uch ein NFA und nch Stz 1.8 und ist L(B) = L uch eine reguläre Sprche. Sei L lso eine reguläre Sprche L, die von einem NFA mit n Zuständen erknnt wird. Dnn lässt sich zwr prinzipiell ein DFA für diese Sprche und dmit uch für L konstruieren. Die Anzhl seiner Zustände ist im llgemeinen er exponentiell in n, d.h. sie knn nur durch 2 n nch oen geschätzt werden. Mn knn sogr zeigen, dss dies optiml ist, d.h., dss es Sprchen L n, n N git, die von einem NFA mit n+1 Zuständen, er nicht von einem DFA mit weniger ls 2 n Zuständen erknnt werden. Bechte, dss ds Verfhren im oigen Beweis so präsentiert ist, dss der resultierende DFA immer 2 n Zustände ht. Dies lässt sich jedoch veressern, indem mn nur den Teil des DFA konstruiert, der vom Anfngszustnd {q 0 } us erreichr ist. In den meisten Fällen erhält mn so einen DFA mit wesentlich weniger ls 2 n Zuständen. Auch ist es möglich, die Definition eines DFA leicht zuschwächen, indem mn verlngt, dss es zu jedem Zustnd und jedem Alphetsymol höchstens sttt genu einen Nchfolgezustnd git. Mn üerlegt sich leicht, dss jeder Automt durch Hinzunhme eines einzigen Zustnds in einen umgewndelt werden, der zu jedem Zustnd und Alphetsymol einen Nchfolger ht, ohne dss dei die erknnte Sprche verändert wird. 1.2 Entscheidrkeit und Komplexität Zum Aschluss dieses Kpitels etrchten wir noch die lgorithmische Hndhrkeit der regulären Sprchen. Dzu definieren wir mehrere Entscheidungsproleme. Ds Leerheitsprolem für reguläre Sprchen ist ds folgende. Gegeen ist eine reguläre Sprche, repräsentiert durch einen NFA oder DFA A, entscheide, o L(A) = ist. Ds Universlitätsprolem frgt, o L(A) = Σ für einen gegeenen NFA A gilt. Ds Wortprolem frgt zu gegeenem A und gegeenem Wort w Σ, o w L(A) gilt. Ersteres ist im Grunde ds wichtigste Entscheidungsprolem für reguläre Sprchen, d sich viele ndere Frgen so uch Universlitäts- und Wortprolem uf dieses zurückführen lssen. Bevor wir zeigen, dss diese Proleme entscheidr sind, mchen wir noch zwei Bemerkungen. Erstens knn die Komplexität solcher (oder ähnlicher) Entscheidungsproleme ntürlich von der Art und Weise, wie L repräsentiert ist, hängen. Zweitens interessiert mn sich oft für komplementäre Proleme. So will mn z.b. wissen, o ein gegeener NFA eine nichtleere Sprche eschreit. Genu genommen hndelt es sich dei um ds Nichtleerheitsprolem. Im folgenden werden wir diese eiden er nicht weiter unterscheiden.

10 12 1 Grundlgen der Theorie formler Sprchen Der Grund dfür ist, dss wir ei solchen Entscheidungsverfhren meistens n deterministischen Verfhren interessiert sind, und ei solchen mcht es prinzipiell keinen Unterschied, o mn ds gegeene Prolem oder sein Komplement löst. Stz Ds Leerheitsprolem für NFAs mit n Zuständen lässt sich in Zeit O(n 2 ) lösen. Beweis. Sei A = (Q,Σ,q 0,δ,F) mit Q = n. Mn knn A ls gerichteten und knteneschrifteten Grphen mit Knotenmenge Q und Kntenreltion q q, genu dnn wenn q δ(q,), uffssen. Mithilfe einer Breiten- oder Tiefensuche, die lle von q 0 us erreichren Zustände mrkiert, lässt sich in Zeit O(n 2 ) feststellen, o es einen Zustnd q F git, welcher von q 0 us erreichr ist. Bechte, dss Breiten- oder Tiefensuche im worst-cse liner in der Anzhl der Knten eines Grphen sind. Diese wiederum knn ntürlich qudrtisch in der Anzhl der Knoten des Grphen sein. Ist ein Endzustnd in diesem Verfhren mrkiert worden, so ist L(A), denn der Pfd von q 0 nch q eschreit einen kzeptierenden Luf von A uf dem Wort, welches durch Konktention der einzelnen Knteneschriftungen entlng dieses Pfdes entsteht. Wird in der Suche kein Endzustnd mrkiert, so muss L(A) = sein, dnn kein Luf von A uf irgendeinem Wort knn in einem Endzustnd enden. Ds Wortprolem ist eenflls entscheidr. Mn knn im Prinzip ein ähnliches Verfhren verwenden, in dem der NFA A wieder ls gerichteter Grph ufgefsst wird. Allerdings wird die Tiefen- oder Breitensuche so modifiziert, dss sie in Tiefe i nur noch diejenigen Nchfolger ls erreichr mrkiert, die Nchfolger eines erreichren Zustnds zgl. des i-ten Symols des Eingeworts sind. Außerdem drf die Suche ntürlich nicht rechen, wenn in einer Itertion keine neuen erreichren Zustände gefunden wurden, sondern sie muss solnge weitersuchen, is lle in Tiefe w erreichren Zustände gefunden wurden. Insgesmt ergit sich so eine Lufzeit von O(n 2 w ), flls A genu n Zustände ht. Die folgenden Proleme sind für gegeene endliche Automten A, B eenflls entscheidr. ) Ds Schnittprolem: Ist L(A) L(B) =? ) Ds Äquivlenzprolem: Ist L(A) = L(B)? c) Ds Susumptionsprolem: Ist L(A) L(B)?

11