Vorname: Nachname: Matrikelnummer: Studiengang (bitte ankreuzen): Technik-Kommunikation M.A.

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1 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Prof Dr Dr hc W Thoms Dniel Neider, Crsten Otto Vornme: Nchnme: Mtrikelnummer: Studiengng (itte nkreuzen): Informtik Bchelor Informtik Mster (Auge) Mthemtik Bchelor Technik-Kommuniktion MA Informtik Lehrmt Informtik Promotion (Auge) Technik-Kommuniktion Bchelor Sonstige: Anzhl Punkte Aufge 1 3 Aufge 2 3 Aufge 3 3 Aufge 4 4 Aufge 5 3 Aufge 6 3 Aufge 7 5 Aufge 8 3 Aufge 9 4 Aufge 10 3 Aufge 11 4 Summe 38 Erreichte Punkte Hinweise: Geen Sie Ihre Antworten in lesrer und verständlicher Form n Schreien Sie mit dokumentenechten Stiften, nicht mit roten oder grünen Stiften und nicht mit Bleistiften Bitte entworten Sie die Aufgen uf den Aufgenlättern (enutzen Sie uch die Rückseiten) Auf lle Blätter (inklusive zusätzliche Blätter) müssen Sie Ihren Nmen und Ihre Mtrikelnummer schreien Ws nicht ewertet werden soll, streichen Sie itte durch Werden Täuschungsversuche eochtet, so wird die Klusur mit 0 Punkten ewertet Geen Sie m Ende der Üung lle Blätter zusmmen mit den Aufgenlättern 1

2 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 1 (Potenzmengenkonstruktion): (3 Punkte) Betrchten Sie den folgenden NEA M üer dem Alphet Σ = {, } q 1 q 2 q 3 Üerführen Sie den NEA M in einen DEA M mit L(M) = L(M ), indem Sie den Potenzutomten zu M ilden q 1, q 2, q 3 q 1 q 1, q 2 q 3 q 1, q 3, 2

3 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 2 (Minimierung): (3 Punkte) Betrchten Sie den folgenden DEA M üer dem Alphet Σ = {, } q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6, Bestimmen Sie unter Verwendung des Minimierungsverfhrens us der Vorlesung den minimlen DEA M mit L(M) = L(M ) Füllen Sie dzu die unten stehende Telle entsprechend us und geen Sie eine grphische Drstellung des minimlen DEA M n q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q 2 q 3 q 4 q 5 q 6 DEA M : 3

4 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Telle des Mrkierungslgorithmus: q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 q q q 4 X X X - - q 5 X X X - q 6 X X X X X Aus der Telle ergit sich der folgende minimle DEA:, q 1, q 2, q 3 q 4, q 5 q 6 4

5 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 3 (Reguläre Ausdrücke): (1 + 2 = 3 Punkte) ) Geen Sie für den folgenden NEA üer Σ = {, } einen äquivlenten regulären Ausdruck n q 1 q 2 q 3 ) Geen Sie für die Sprche L = {w {, } w 2 oder w enthält ungerdzhlig viele } einen äquivlenten regulären Ausdruck n ) ( + () ) ) ( + ) + ( ) 5

6 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 4 (Mrkiersprche): (1 + 3 = 4 Punkte) Zu einer Sprche L Σ denieren wir die Mrkiersprche L $ = { 1 $ 2 $ n $ 1 2 n L, i Σ, $ Σ} die sich durch ds Hinzufügen von $ nch jedem Buchsten eines Wortes w L ergit Beispiel: Für L ist $$$$ L $ Hinweis: Flls ε L ist ε L $, jedoch nicht $ L $! Wir ehupten: Wenn L regulär ist, so ist uch L $ regulär ) Zunächst etrchten wir ein Beispiel: Geen Sie für den folgenden NEA A üer Σ = {, } einen NEA A $ üer Σ {$} mit L(A $ ) = (L(A)) $ n q 1 q 2 ) Geen Sie nun für den llgemeinen Fll eines NEA A = (Q, Σ, q 0,, F ) einen NEA A $ üer Σ {$} mit L(A $ ) = (L(A)) $ n 6

7 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur ) q 1 q 1 $ $ q $ 1 q 2 q 1 q 2 $ $ $ q 1 q $ 2 Alterntive: q 2 ) A $ = (Q $, Σ {$}, q 0, $, F ) Q $ = Q {q $ q Q} $ ist die kleinste Menge mit (q,, p $ ) $ für lle q Q, Σ, p (q, ) (q $, $, q) $ für lle q Q Alterntive: A $ = (Q $, Σ {$}, q 0, $, F ) Q $ = Q {q q Q, Σ} $ ist die kleinste Menge mit (q,, q ) $ für lle q Q, Σ (q, $, p) $ für lle q Q, Σ, p (q, ) 7

8 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 5 (Kontextfreie Grmmtiken): (1 + 2 = 3 Punkte) Geen Sie je eine kontextfreie Grmmtik für die folgenden eiden Sprchen n: ) L 1 = { n 2n n > 0} üer dem Alphet {, } ) L 2 = {u$v u, v {, }, u > 0, v > 0 und u = v } üer dem Alphet {,, $} ) Sei G 1 = ({S}, {, }, P, S) mit den folgenden Regeln in P : S S Dnn gilt L(G 1 ) = L 1 ) Sei G 2 = ({S, A, B}, {,, $}, P, S) mit den folgenden Regeln in P : S ABA A$A A ε A B ABA A$A Dnn gilt L(G 2 ) = L 2 8

9 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 6 (Kontextfreie Grmmtiken): (2 + 1 = 3 Punkte) Betrchten Sie die folgende kontextfreie Grmmtik G mit den Regeln: S ABB B A C B D c C A B D c ) Geen Sie einen Aleitungsum zum Wort w = cc n Sofern vorhnden, mrkieren Sie (z B durch Umkreisen) ds wiederholte Auftreten von Nichtterminlen entlng eines Pfdes von der Wurzel zu einem Blttknoten ) Enthält L(G) unendliche viele verschiedene Wörter? Flls j, geen Sie mit Rückgri uf Aufgenteil ) eine unendliche Teilmenge von L(G) forml n 9

10 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur ) S A B B C D c A c ) L(G) enthält unendlich viele Wörter, z B w i = i i cc für i 0 Somit gilt L = { i i cc i 0} L(G) und L ist eine Menge mit unendlich vielen Elementen 10

11 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 7 (CYK-Algorithmus): (3,5 + 0,5 + 1 = 5 Punkte) Gegeen ist die folgende kontextfreie Grmmtik G in Chomsky-Normlform: S AC CC DD A BB CS B c AC C CB AA D DD Ermitteln Sie mittels des CYK-Algorithmus, o ds Wort w = c zur Sprche L(G) gehört ) Füllen Sie die Telle entsprechend des CYK-Algorithmus vollständig us i/j c ) Gilt w L(G)? Begründen Sie Ihre Antwort kurz c) Sofern w L(G) gilt, geen Sie zusätzlich eine Aleitung n, die dies elegt ) 11

12 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur i/j A S, B S, B, A S, B 2 3 C, D C S B 4 c C, D ) D S N 1,4 gilt w L(G) c) S AC BBC ACBC CBC BC cc c 12

13 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 8 (Pumping-Lemm): (3 Punkte) Beweisen Sie mit Hilfe des Pumping-Lemms für reguläre Sprchen, dss die Sprche üer dem Alphet {,, c} nicht regulär ist L = { k k c k k N} Sei n N Wir wählen ds Wort w = n n c n L mit w n Sei w = xyz mit xy n und y > 0 Wir wählen i = 0, dh wir wollen zeigen, dss xy i z / L gilt Wegen xy n muss y = t für ein t N gelten Dmit ist w = xz = n t n c n und d 0 < y = t gilt, ist w L Nch dem Pumping-Lemm für reguläre Sprchen ist dmit L nicht regulär 13

14 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 9 (Pushdown Automten): (4 Punkte) Zu einem Wort w = 0 n Σ denieren wir seine umgedrehte Verdopplung durch Beispiel: Für w = ist w R D w R D = n n n 1 n = Geen Sie einen Pushdown-Automten A n, der die Sprche L = {wwd R w Σ } üer Σ = {, } (im Modell Akzeptieren mit Endzuständen) kzeptiert Eine grphische Lösung genügt Bitte eschreien Sie uch kurz die Areitsweise Ihres Automten, um die Korrektur zu erleichtern Erläutern Sie z B die Bedeutung einzelner Zustände oder deuten Sie die Areitsweise Ihres Automten uf dem Beispielwort n Diese Beschreiung wird nicht epunktet! Es sei A = ({q 0, q 1, q 2, q 3, q 4 }, {, }, {Z 0, A, B}, q 0, Z 0, {q 4 }) wie folgt:, Z 0, AZ 0, A, AA, B, AB q 2, Z 0, BZ 0, A, BA, A, A, B, BB ε, Z0, Z 0 ε, A, A q 0 ε, B, B q 1, A, ε ε, Z 0, Z 0 q 4, B, ε, B, B q 3 In Zustnd q 0 wird ds Wort w gelesen Dei wird für jedes gelesene Symol ein entsprechendes Symol uf den Stck gelegt Wenn A rät, dss w gnz gelesen wurde, geht der Automt in den Zustnd q 1 üer Dort wird veriziert, dss die restliche Einge w R D entspricht Wird ein gelesen und steht A uf dem Stck, so geht der Automt in Zustnd q 2 üer, verändert den Stck er nicht In Zustnd q 2 wird sichergestellt, dss nun ein weiteres in der Einge folgen muss; eim Lesen dieses s wir nun uch ds oerste Stcksymol vom Stck entfernt Anlog verfährt A wenn ein gelesen wird in Zustnd q 3 Ist der Stck leer, knn A in den Zustnd q 4 üergehen und kzeptieren 14

15 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 10 (Entscheidungsprolem): (3 Punkte) Wir etrchten einen Kellerutomten A = (Q, Σ, Γ, q 0, Z 0,, F ) Beschreien Sie unter Verwendung von Resultten us der Vorlesung ein Verfhren, mit dem mn estimmen knn, o L(A) gilt 1 Konstruiere A mit N(A ) = L(A), d h konstruiere us dem A (der mit Endzuständen kzeptiert) einen PDA A, der L(A) mit leerem Keller kzeptiert 2 Wndle A in eine äquivlente CFG G um 3 Führe den Leerheitstest (durch Mrkierungslgorithmus) für kontextfreie Grmmtiken uf G durch Git J genu dnn, wenn der Leerheitstest Nein liefert (und umgekehrt) 15

16 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur Aufge 11 (Petrinetze): ( = 4 Punkte) Gegeen sei folgendes Petrinetz N = (P, T, F ) und die Anfngsmrkierung m = (2, 0, 0, 0) t 2 4 t d 1 t c t 3 ) Bestimmen Sie usgehend von der Anfngsmrkierung lle durch Schltfolgen erreichren Mrkierungen, indem Sie den Erreichrkeitsum ngeen Flls eine Mrkierung mehrfch vorkommt, dürfen Sie die Wiederholung entsprechend mrkieren und die Bumkonstruktion unter der wiederholten Mrkierung rechen Bitte echten Sie Aufgenteile ) und c) uf der nächsten Seite! 16

17 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur ) Ist in N von der Anfngsmrkierung us ein Dedlock erreichr? Begründen Sie ihre Antwort kurz c) Wir etrchten N ls Sprchkzeptor N = (N, M, M +, l) mit M = {(2, 0, 0, 0)} und M + = {(1, 0, 0, 0)} Die Beschriftungsfunktion l : T {,, c, d} ist durch t x x deniert Geen Sie die von N erknnte Sprche L(N ) n 17

18 Formle Systeme, Automten, Prozesse SS 2011 Musterlösung - Klusur ) (0, 2, 0, 0) (1, 1, 0, 0) (0, 1, 1, 0) (2, 0, 0, 0) (0, 1, 1, 0) (1, 0, 1, 0) d (0, 0, 2, 0) (0, 0, 0, 1) c (0, 1, 0, 0) (1, 0, 0, 0) (0, 0, 1, 0) ) J, eispielsweise: (2, 0, 0, 0) (1, 1, 0, 0) (0, 2, 0, 0) Anschlieÿend knn keine weitere Trnsition mehr geschltet werden c) L(N ) = {c, c} 18