2. Klausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2016/2017

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1 2. Klusur zur Vorlesung Theoretische Grundlgen der Informtik Wintersemester 2016/2017 Lösung! echten Sie: ringen Sie den Aufkleber mit Ihrem Nmen und Mtrikelnummer uf diesem Deckbltt n und beschriften Sie jedes Aufgbenbltt mit Ihrem Nmen und Mtrikelnummer. Schreiben Sie die Lösungen uf die Aufgbenblätter und Rückseiten. Zusätzliches Ppier erhlten Sie bei edrf von der Aufsicht. Es sind keine Hilfsmittel zugelssen. Aufgbe Mögliche Punkte Erreichte Punkte b c d e Σ b c d e Σ Σ 60

2 Nme: Mtrikelnr.: Seite 2 Problem 1: Automtenkonstruktion = 7 () Sei folgender nichtdeterministischer endlicher Automt A gegeben: b ε q 1 q 2, b strt q 0 q 3 ε q 4 q 5, b ε Dbei führen lle nicht explizit ngegebenen Übergänge in einen impliziten Fehlerzustnd. Geben Sie einen regulären Ausdruck n, der die Sprche L(A) erzeugt und dbei höchstens zweiml ds Vereinigungssymbol enthält. Lösung: L(A) = (b ) ( b) (b) Geben Sie für jeden Zustnd dessen ε-abschluss n und geben Sie für A einen äquivlenten endlichen nichtdeterministischen Automten A n, der keinen ε-übergng enthält. Der Automt A soll dieselbe Zustndsmenge wie A hben. Mrkieren Sie lle überflüssigen Zustände. Lösung: Die ε-abschlüsse für A luten: E(q 0 ) = {q 0, q 1, q 4 } E(q 1 ) = {q 1 } E(q 2 ) = {q 2 } E(q 3 ) = {q 3 } E(q 4 ) = {q 4 } E(q 5 ) = {q 5, q 3 } Der zu A äquivlente NEA A sieht wie folgt us, wobei unbeschriftete Knten dem Übergng {, b} entsprechen. Überflüssige Zustände sind rot mrkiert. b q 1 q 2 strt q 0 q 3 q 4 q 5

3 Nme: Mtrikelnr.: Seite 3 (c) Zeigen Sie mit einem der us Vorlesung oder Übung beknnten Verfhren, dss der folgende deterministische endliche Automt miniml ist. b b s b 1 t u strt s, b s 2 v b b Lösung: Automtenminimierungsverfhren us der Übung: Zeichen Prtition ε {s 2, u}, {s, s 1, t, v} {s 2 } {u}, {s, s 1, t}, {v} {s 2 } {u}, {s}, {s 1, t}, {v} b {s 2 } {u}, {s}, {s 1 }, {t}, {v} Der Automt knn lso nicht weiter minimiert werden.

4 Nme: Mtrikelnr.: Seite 4 Problem 2: Kontextfreie Grmmtiken 4 Gegeben ist folgende kontextfreie Grmmtik G = ({, b, c, d}, {A,, C, D, E}, A, R). Die Regelmenge R enthält folgende Regeln: A A EC CA C CC DC c D d E CA DA Überprüfen Sie mittels des us der Vorlesung beknnten CYK-Algorithmus, ob ds Wort dcc in L(G) enthlten ist. d c c

5 Nme: Mtrikelnr.: Seite 5 A, E A A,E, E Lösung:,E A A C, E, E A D C A C A d c c

6 Nme: Mtrikelnr.: Seite 6 Problem 3: N P-Vollständigkeit = 14 () Sei M ein Spielbrett mit jeweils m N Splten und Zeilen, die ds Spielbrett in m 2 Zellen ufteilen. In jeder Zelle liegt entweder ein roter, ein bluer, oder kein Stein. Eine elegung der Zellen durch Steine heißt Konfigurtion. Eine Konfigurtion ist gewinnend, wenn jede Zeile mindestens einen Stein enthält und jede Splte nur Steine gleicher Frbe enthält. etrchten Sie folgendes Problem. Problem Solitire Gegeben: Eine Konfigurtion M. Frge: Knn M durch Entfernen von Steinen zu einer gewinnenden Konfigurtion M trnsformiert werden? Zeigen Sie, dss Solitire N P-vollständig ist. Verwenden Sie dzu, dss ds 3-SAT-Problem N P-vollständig ist. Lösung: Solitire N P. Für jede Zeile und Splte knn in O(m) Zeit die gegebenen Eigenschften überprüft werden. Somit knn in O(n 2 ) Zeit überprüft werden, ob eine Spielekonfigurtion M eine gewinnende Spielkonfigurtion ist. Zu dem knn in O(n 2 ) Zeit überprüft werden, ob M nur durch entfernen von Steinen von M us erreicht werden knn (Flls eine Zelle M (i, j) einen roten (bluen) Stein enthält, dnn enthält uch M(i, j) einen roten (bluen) Stein. Reduktion von 3-SAT. Sei (V, C) eine 3-SAT Instnz mit Vriblen V = {x 1, x 2,..., x m } und Kluseln {c 1, c 2,..., c k }. Sei M ein Spielbrett mit k Zeilen und m Splten (die Anzhl der Splten können später ufgefüllt werden). Pltziere in Zelle M(i, j) genu dnn einen roten Stein, wenn ds Literl x j in c i vorkommt. Pltziere dort einen bluen Stein, wenn ds Literl x j in c i vorkommt. Korrekheit. Sei I eine erfüllende 3-SAT Instnz. Ist x j whr (flsch) entferne lle bluen (roten) Steine us Splte j. D jede Klusel mindestens eine erfüllendes Literll enthält, enthält jede Zeile mindestens einen Stein. Sei I eine erfüllende Solitire Instnz. Enthält eine Splte j nur rote Steine, dnn wird x j whr zu geordnet. Enthält eine Splte nur blue Steine, dnn wird der entsprechende Vrible flsch zu geordnet. D jede Zeile mindestens einen Stein enthält, enthält jede Klusel ein whres Literl.

7 Nme: Mtrikelnr.: Seite 7 Doktor Met forscht in seinem Lbor m Geheimproblem X. Er ht bereits eine polynomielle Trnsformtion von St uf X gefunden, die St-Instnzen der Größe n uf X-Instnzen der Größe n 3 bbildet. In einem Moment der Genilität gelingt es Doktor Met nun, eine Lufzeitschrnke für St von Ω(c n ) für eine Konstnte c > 1 zu beweisen. (b) Ws folgt us der Lufzeitschrnke für St über die Frge P? = N P? egründen Sie! Lösung: Die Schrnke zeigt St P, mit St N P folgt P N P. (c) Welche Lufzeitschrnke ergibt sich für X? egründen Sie! Lösung: Es ergibt sich eine Lufzeitschrnke für X von Ω(c n1/3 ). (d) Können Sie mit der Lufzeitschrnke für X die Frge P =? N P bentworten? egründen Sie! Lösung: Nein. Es folgt zwr, dss X ein N P-schweres Problem ist, ber mn knn nicht ohne eschränkung der Allgemeinheit dvon usgehen, dss X in N P liegt.

8 Nme: Mtrikelnr.: Seite 8 Problem 4: erechenbrkeit 6 Sei T w die Turing-Mschine mit Gödelnummer w. Zeigen Sie, dss die Sprche L = { (u, v) {0, 1} {0, 1} w L(T u ) genu dnn, wenn w R L(T v ) } nicht entscheidbr ist. Verwenden Sie für Ihren eweis, dss ds Hlteproblem nicht eintscheidbr ist. Hinweis: Ds Wort w R bezeichnet ds Spiegelwort von w. Lösung: Angenommen L ist entscheidbr, dnn existiert eine Turing-Mschine M, die L entscheidet. Ds Hlteproblem H = {wv T w hält uf der Eingbe v} ist us der Vorlesung ls unentscheidbr beknnt. Konstruiere zu einer Instnz wv des Hlteproblems eine Turing-Mschine M wv, die bei Eingbe von v die Turing-Mschine T w simuliert und genu dnn kzeptiert, wenn T w stoppt. ei llen nderen Eingben kzeptiert M wv nicht. Sei ferner M eine Turing-Mschine, die lle Eingben kzeptiert. Dnn entscheidet M bei Eingbe von ( M wv, M ), ob die Turing-Mschine T w uf der Eingbe v hält, ws ein Widerspruch zur Unentscheidbrkeit des Hlteproblems ist.

9 Nme: Mtrikelnr.: Seite 9 Problem 5: Approximtionslgorithmen = 15 Aus Vorlesung und Übung kennen Sie ds N P-vollständige Problem Vertex Cover: Problem Vertex Cover Gegeben: ungerichteter Grph G = (V, E) und k N Gesucht: Menge V V mit V k, sodss für lle Knten (u, v) E gilt: u V v V. () Ist ds Problem in der oben gegebenen Formulierung ein Optimierungsproblem, ein Optimlwertproblem, oder ein Entscheidungsproblem? Geben Sie uch die beiden nderen Formulierungen n. Anmerkung für Lernende: Die Frge lässt sich nicht wie gefordert bentworten. Lösung: ei der obigen Formulierung hndelt es sich weder um ein Optimierungsproblem, noch um ein Optimlwertproblem, noch um ein Entscheidungsproblem. Deren Formulierungen wären wie folgt. Entscheidungsproblem: Problem Gegeben: ungerichteter Grph G = (V, E) und k N Gesucht: existiert eine Menge V V mit V = k, sodss für lle Knten (u, v) E gilt: u V v V? Optimlwertproblem: Problem Gegeben: ungerichteter Grph G = (V, E) Gesucht: minimles k N, sodss eine Menge V V mit V = k exisitiert, sodss für lle Knten (u, v) E gilt: u V v V. Optimierungsproblem: Problem Gegeben: ungerichteter Grph G = (V, E) Gesucht: Krdinlitätsminimle Menge V V, sodss für lle Knten (u, v) E gilt: u V v V. Es soll eine pproximtive Lösung für ds Vertex Cover Problem berechnet werden. Dzu wird zunächst V = gesetzt. Solnge G eine Knte enthält wird dzu eine beliebige Knte (u, v) E gewählt, dnn beide Knoten u, v zu V hinzugefügt und us G entfernt. Um einen Knoten w us G zu entfernen werden lle zu w inzidenten Knten und w selbst entfernt.

10 Nme: Mtrikelnr.: Seite 10 (b) Zeigen Sie, dss dieser Algorithmus ttsächlich ein Vertex Cover berechnet. Lösung: etrchte eine beliebige Knte (u, v). D der Algorithmus erst terminiert, wenn G keine Knte mehr enthält, wird (u, v) irgendwnn us G entfernt. Dies geschieht nur dnn, wenn entweder u oder v us G entfernt wird. Dnn gilt u V v V.

11 Nme: Mtrikelnr.: Seite 11 (c) Zeigen Sie, dss dieser Algorithmus ein Approximtionslgorithmus für ds Vertex Cover Problem mit einer reltiven Gütegrntie von 2 ist. Hinweis: Die Menge der gewählten Knten bildet ein Mtching. Lösung: etrchte die Menge von Knten, die der Algorithmus uswählt. D für jede solche Knte (u, v) dnch sowohl u ls uch v us G entfernt werden, knn dnch keine zu (u, v) djzente Knte mehr gewählt werden. Die Menge der gewählten Knten bilden lso ein Mtching. Jedes Vertex Cover muss (u, v) bdecken und deshlb u oder v enthlten. Die Menge V enthält lso höchstens doppelt so viele Elemente, wie eine optimle Lösung. (d) Zeigen Sie, dss unter der Annhme dss P N P kein Polynomilzeitpproximtionslgorithmus mit bsoluter Gütegrntie für ds Vertex Cover Problem existiert. Lösung: Angenommen, es gäbe einen solchen Algorithmus A mit bsoluter Gütegrntie k. ei Eingbe einer Instnz G = (V, E) wird dnn einfch eine Instnz generiert, die us k +1 Kopien von G besteht. D A eine bsolute Gütegrntie k ht, muss mindestens eine Kopie optiml gelöst worden sein. Gibt mn lso die beste Teilkopie zurück, ht mn in Polynomilzeit eine optimle Lösung von G berechnet. Dies ist unter Annhme von P N P ein Widerspruch zur N P-Vollständigkeit von Vertex Cover.

12 Nme: Mtrikelnr.: Seite 12 (e) Der Algorithmus soll ngepsst werden, um eine pproximtive Lösung für ds Independent Set Problem zu finden. Problem Independent Set Gegeben: ungerichteter Grph G = (V, E) und k N Gesucht: Menge V V mit V k, wobei us v V für lle Knten (u, v) E folgt, dss u V. Dzu wird nsttt der Menge V die Menge V \V usgegeben. Ist der so bgewndelte Algorithmus ein Approximtionslgorithmus für ds Independent Set Problem mit reltiver Gütegrntie 2? egründen Sie! Lösung: Nein. etrchte dzu eine Menge von unbhängigen Knten. Der Algorithmus gibt dnn die leere Menge us, ws keine 2-Approximtion eines Independent Set ist.

13 Nme: Mtrikelnr.: Seite 13 Problem 6: Kellerutomten = 6 () Die kontextfreie Grmmtik G 1 über dem Eingbelphbet Σ = {, b} sei definiert durch die Menge der Nichtterminlsymbole {S, L, R} mit dem Strtsymbol S und folgenden Ableitungsregeln: S LR L R L Lb b R br b Geben Sie die Sprche L(G 1 ) in Mengenschreibweise n, die von G 1 erzeugt wird. Lösung: L(G 1 ) = { i b k j i, j, k N, k > 0, i + j = k } (b) Geben Sie eine Grmmtik G 2 in Greibch-Normlform n, sodss L(G 2 ) = L(G 1 ) gilt, wobei G 1 die Grmmtik us Teilufgbe ist. Hinweis: Sie dürfen ds Verfhren us der Vorlesung nutzen, müssen ber nicht. Lösung: S LR R L bra ba L L R bra ba A b

14 Nme: Mtrikelnr.: Seite 14 (c) Die kontextfreie Grmmtik G 3 in Greibch-Normlform über dem Eingbelphbet Σ = {, b} sei definiert durch die Menge der Nichtterminlsymbole {S,, X}, Strtsymbol S und folgenden Ableitungsregeln: S S (1) S bx (2) X bx (3) X b (4) b (5) In Vorlesung und Übung wurde ein nichtdeterministischer Kellerutomt vorgestellt, der Sprchen erkennen knn, die von Grmmtiken in Greibch-Normlform erzeugt werden. Geben Sie die Konfigurtionen dieses Automten n, die bei Abrbeitung der Eingbe bbbbb entstehen. Vervollständigen Sie dzu folgendes Schem mit den zu lesenden Worten, den Stckinhlten und den Regeln, die beim Übergng verwendet werden. Ist ds Eingbewort in der Sprche L(G 3 ) enthlten? Regel: Regel: Regel: Regel: S bbbbb Regel: Regel: Regel:

15 Nme: Mtrikelnr.: Seite 15 Regel: 1 Regel: 1 S Regel: 2 X Regel: 3 S S bbbbb bbbbb bbbbb bbbb X Regel: 4 Regel: 5 Regel: 5 Lösung: bbb bb b ε

16 Nme: Mtrikelnr.: Seite 16 Problem 7: Gemischtes 7 Sind die folgende Aussgen korrekt? egründen Sie jeweils kurz Ihre Antwort. () Sei ein nichtdeterministischer endlicher Automt A = (Q, Σ, δ, s, F ) gegeben. Dnn kzeptiert der Automt (Q, Σ, δ, s, Q \ F ) die Sprche L(A) c. Lösung: Flsch, d sich die Existenz eines kzeptierenden erechnungspfdes nicht einfch negieren lässt. (b) Sei ein nichtdeterministischer endlicher Kellerutomt A gegeben. Dnn existiert ein nichtdeterministischer endlichernichtdeterministischer endlicher Kellerutomt, der die Sprche L(A) c kzeptiert. Lösung: Flsch. Kontextfreie Sprchen sind unter Komplementbildung nicht bgeschlossen. (c) Die Sprche ller binär kodierten Primzhlen kleiner ls ist regulär. Lösung: endliche Sprche ist regulär. Whr, jede (d) Mit dem CYK-Algorithmus knn die Zugehörigkeit eines Wortes zu einer Typ-1 Grmmtik überprüft werden. Lösung: Flsch, der CYK-Algorithmus prüft die Zugehörigkeit eines Wortes zu Grmmtiken von Typ 2. (e) Zu jeder entscheidbren Sprche L existiert eine Typ-0 Grmmtik, die L erzeugt. Lösung: denn die Typ-0 Sprchen sind genu die semi-entscheidbren Sprchen. (f) Es existiert eine Sprche in N P, die in Polynomilzeit entschieden werden knn. Lösung: denn P N P. Whr, Whr, (g) Mit dem Pumpinglemm knn gezeigt werden, dss eine Sprche regulär ist. Lösung: Nein. Ds Pumpinglemm gibt notwendige, ber nicht hinreichende Eigenschften von regulären Sprchen n.