Übungen zur Wiederholung quer durch den Stoff Vollständigkeit wird nicht garantiert, und einige sind umfangreicher als klausurtypisch.

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1 Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 2017 Dr. B. Bumgrten Üungen zur Wiederholung quer durch den Stoff Vollständigkeit wird nicht grntiert, und einige sind umfngreicher ls klusurtypisch. 1. Aufge (Automten und Grmmtiken) Definieren Sie die Sprche {, } mithilfe je eines der folgenden Beschreiungsmittel: ) deterministischer endlicher Automt, ) nichtdeterministischer endlicher Automt, der kein deterministischer endlicher Automt ist, c) reguläre Grmmtik, d) kontextfreie er nicht reguläre Grmmtik, e) kontextsensitive (nicht verkürzende) er nicht kontextfreie Grmmtik, f) nicht kontextsensitive (lso irgendwo verkürzende) Chomsky-Grmmtik. 2. Aufge (Minimlutomt) Es sei der folgende endliche deterministische Automt A gegeen: z 1 z 2 z 0, z 4 z 3, ) Zeigen oder widerlegen Sie, dss die Sprche L(A) unendlich viele Wörter enthält. ) Bestimmen Sie mit Hilfe des Minimierungslgorithmus einen minimlen Automten B mit L(B) = L(A), und zeichnen Sie den Automten B. c) Geen Sie eine reguläre Grmmtik G mit L(G) = L(A) n. 3. Aufge (Nichtdeterministischer Automt) Konstruieren Sie einen deterministischen endlichen Automten, der die gleiche Sprche kzeptiert wie der folgende NDA: 1 0,1 z 0 z 1 z 2 0,1 Ist der konstruierte Automt miniml?

2 4. Aufge (Reguläre Sprchen) Es seien Σ = {,} und L 1 = Σ* \{} ) Geen Sie einen deterministischen endlichen Automten A mit L ( A) = L1 n. ) Geen Sie einen regulären Ausdruck R üer Σ mit L ( R) = L1 n. c) Geen Sie eine Sprche L 2 üer Σ n, für die L1 L 2 nicht regulär ist. (ohne Begründung, er erkennr so, dss die Prüfung uf Zugehörigkeit zur Sprche uneschränkten Speicher erfordert) d) Geen Sie eine Sprche L 3 üer Σ n, für die L1 L3 nicht regulär ist. (mit kurzer Begründung) 5. Aufge (Reguläre Sprchen) Im Folgenden sind 9 reguläre Sprchen definiert, und zwr durch Automten (deterministische und nichtdeterministische), die sie kzeptieren: L 1 : L 2 : L 4 : L 3 :,, reguläre Ausdrücke: L 5 : ( )*( + ε ) L : ( )*( + ε ) 6 Chomsky-Grmmtiken üer {,} und mit Strtsymol S, die sie erzeugen: L 7 : S ε T 8 L : S ε T L 9 : S ε T T A T A T A A T B A B A B B A B C B C C T C T

3 Schreien Sie jede Sprchezeichnung ( L 2,, L 9 ) in genu eine der unteren Boxen, und zwr so, dss jeweils identische Sprchen in der gleichen Box und unterschiedliche Sprchen in verschiedenen Boxen stehen. Evtl. leien Boxen leer. Tipp: Welche drei is vier kürzesten Wörter werden jeweils kzeptiert zw. produziert? L 1 6. Aufge (Restsprchenutomt) Sei L die Sprche ller Wörter üer Σ = {}, die nirgendwo zwei ufeinnderfolgende enthlten, d.h. L = {w {,}* es git keine u,v {,}* mit w = u v}. ) Zeichnen Sie einen endlichen Automten für L mit möglichst wenigen Zuständen. ) Geen Sie einen regulären Ausdruck für L n. c) Trgen Sie reguläre Ausdrücke so in den Automten us () ein, dss Sie den Restsprchenutomt von L erhlten. 7. Aufge (Pumping-Eigenschft, kontextfreie Grmmtik) Es seien Σ = {,,c}. und L = { c i, j 0, k 1}. i j i k ) Geen Sie ein 3- und ein 5-ufpumpres Wort in L n, und egründen Sie Ihre Whl. ) Geen Sie ein Wort us L n, ds in L nicht 4-ufpumpr ist, und egründen Sie Ihre Whl. c) Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik für L n. 8. Aufge (Chomsky-Normlform und CYK) ) Trnsformieren Sie die Grmmtik G = [ Σ, V, S, R] mit Σ = {, }, V = { A, B, C} und den unten folgenden Regeln in eine Grmmtik in Chomsky-Normlform mit gleicher Sprche: S A B, A B C, B CC, C A ) Prüfen Sie nch, o ds Wort zur Sprche von G gehört.

4 9. Aufge (Kellerutomten) n 2n Gegeen sei die Sprche L = {0 1 n IN } ) Leiten Sie us einer kontextfreien Grmmtik für L einen Kellerutomten K 1 mit Kellerlphet Γ={S,0,1}, der L eschreit und nicht deterministisch ist. ) Geen Sie die Üergngsfunktion eines deterministischen Kellerutomten K 2 mit Kellerlphet Γ={} n, der die Sprche L eschreit. c) Demonstrieren Sie die Berechnung in K 2 für die Einge 10 und 01 is zur Alehnung und für die Einge is zum Akzeptieren (in z e). 10. Aufge (Turing-Mschinen) Eine Turing-Mschine mit Ein-/Ausge-Alphet Σ = Bndlphet Γ= {1,2,3}, Strtzustnd z s und Endzustnd z e soll folgendes leisten: Bei jedem eingegeenen Wort w der Sprche (+)(+)* (lso us s und s und mit mindestens einem Zeichen) soll sie zwr jedes Zeichen mit üerschreien, er jedes dritte Zeichen stttdessen mit c. Ds so entstndene Wort soll sie ls Ergenis liefern. Beispiel: cc. ) Schreien Sie eine pssende Zustndsüerführungsfunktion δ mit möglichst wenigen Zuweisungen für diese Turing-Mschine. ) Geen Sie die Folge der Konfigurtionen Ihrer Turing-Mschine us () n, wenn sie mit der Einge rechnet. 11. Aufge (Turing-Mschinen) Es sei M eine Turing-Mschine mit der Zustndsmenge Z, dem Anfngszustnd z 0, dem Endzustnd z e, dem Bndlphet Γ und der Zustndsüerführungsfunktion δ. Ferner sei eknnt, dss M die folgende Funktion f üer den ntürlichen Zhlen (in Binärdrstellung) in gutem Stil (nichts ußer Output uf dem Bnd) erechnet: 1, wenn x durch 187 teilr ist, f (x) = 0 sonst. Geen Sie eine Turing-Mschine M 0 n, die die folgende Funktion f 0 üer den ntürlichen Zhlen (in Binärdrstellung) erechnet: 1, wenn x nicht durch 187 teilr ist, f (x) = 0 sonst. Hinweis: Verwenden Sie die Komponenten von M.

5 12. Aufge (Akzeptnz durch Kellerutomt) Gegeen sei ein Kellerutomt K mit Strtzustnd z 0 und kzeptierendem Zustnd z und den Trnsitionen: (z 0,, $, z 1, S), (z 1,, S, z 1, 0 S 0), (z 1,, S, z 1, 1 S 1), (z 1,, S, z 1, ε) (z 1, 0, 0, z 1, ε), (z 1, 1, 1, z 1, ε), (z 1,, $, z, ε) Welche Wörter üer Σ = {0, 1} werden mindestens (lso ggf. uch ndere) von K kzeptiert: JA NEIN (i) (ii) lle Plindrome? lle Plindrome gerder Länge? (iii) lle Doppelwörter ww, w Σ*? (iv) lle Binärzhlen mit Werten der Art 2 2 n 1 (v) lle Binärzhlen mit Werten der Art 2 2 n + 1, n = 1, 2,3, K, n = 1, 2,3, K 2n+ 1 (vi) lle Binärzhlen mit Werten der Art 2 + 1, n = 1, 2,3, K 13. Aufge (Berechnung durch Turing-Mschine) Gegeen sei eine Turingmschine M mit Bndlphet Σ = {0,1}, Strtzustnd z, Endzustnd z e und dem Progrmm: δ(z, 0) = (z 0, 0, R) δ(z, 1) = (z 1, 1, R) δ(z 0, 0) = (z 0, 0, R) δ(z 0, 1) = (z 0, 1, R) δ(z 0, B) = (z L, 0, L) δ(z 1, 0) = (z 1, 0, R) δ(z 1, 1) = (z 1, 1, R) δ(z 1, B) = (z L, 1, L) δ(z L, 0) = (z L, 0, L) δ(z L, 1) = (z L, 1, L) δ(z L, B) = (z e, B, R) Welchen Output produziert die Turingmschine us einem Input w, der ein nichtleeres Wort us Nullen und Einsen ist?

6 14. Aufge (Turing-Reduzierrkeit) Es seien die Sprchen L 1, L 2 üer dem Alphet Σ = {0,1 } wie folgt gegeen: n L1 = {0 n 1}, n L2 = {10 n 1}. Zeigen Sie, dss ds Wortprolem der Sprche L 1 uf ds Wortprolem der Sprche L2 Turing-reduzierr ist. 15. Aufge (Diverse Sprcheschreiungen) In der Folge werden zehn Sprchen, L 1 is L 10, üer Σ = {, } eschrieen, die untereinnder teilweise üereinstimmen. Dies geschieht nch mehreren Methoden: ntürlich-sprchlich L 1 : Jedes Wort enthält. L 2 : Jedes Wort eginnt mit. Auf folgt stets zunächst oder nichts mehr. Auf folgt stets zunächst oder nichts mehr. ls regulärer Ausdruck (+ wie edeuten oder ) L 3 : ( + ) * ( + ) * ( ) * L : ()*(ε+) 4 ls Automtensprche L5 des folgenden endlichen Automten:,, ls Sprche L 6, die der folgende endliche nichtdeterministische Automt kzeptiert: ls Sprche L 7 einer regulären Grmmtik mit Strtsymol S: S R S R E S E E E

7 ls Sprche L8 ller Wörter, für die eine Turing-Mschine ds Ergenis 1 erechnet, und zwr mit Anfngszustnd z 0 und Endzustnd z e und folgender Zustndsüerführungsfunktion δ: δ z, ) = ( z,, ), δ z, ) = ( z,, ), ( 0 1 R ( 0 0 R ( z 1, ) = ( z2,, R) ( z 1, ) = ( z0,, R ( z 2, ) = ( z2,, R) ( z 2, ) = ( z2,, R ( z 3, ) = δ ( z3, ) = ( z3, B, L) δ, δ ), δ, δ ), δ z, B) = ( z, B, ), ( 2 3 L δ, δ ( z 3, B) = ( z,1, N) ls Sprche L 9 zw. L 10, die ein Kellerutomt ei Endzustnd z e kzeptiert, mit Anfngszustnd z 0 und folgender Trnsitionenmenge (links für L 9, rechts für L 10 ): 9 für L 9 : 10 für L 10 : ( z 0,, $, 0, ) 0, z 1, ε ), ( z 0,, $, z 0,1 ), ( z 0,, 1, z 0,2 ), ( z 1,, $, z 1, ), ( z 1,,, z 2, ε ), ( z 0,, 2, z, ε) ( z 2,, $, z 2, ), ( z 2,,, z 1, ε ), ( z 1,, $, z, ε), z,, $,, ε) e ( 2 z e e e Trgen Sie die Sprchen ( L n ) so in die folgenden Kästen ein, dss gleiche Sprchen im gleichen Ksten und unterschiedliche Sprchen in verschiedenen Kästen stehen. Es knn sein, dss nicht lle Kästen enutzt werden müssen. L 1