Deterministische endliche Automaten. Berechenbarkeit und Komplexität Endliche Automaten. Deterministische endliche Automaten

Transkript

1 Berechenrkeit und Komplexität Endliche Automten Deterministische endliche Automten Folge von Symolen c 4 d 2 Bnd Wolfgng Schreiner Wolfgng.Schreiner@risc.jku.t Automt Folge kzeptiert Reserch Institute for Symolic Computtion (RISC) Johnnes Kepler University, Linz, Austri Wolfgng Schreiner /38 Automt mit einer endlichen Menge von möglichen Zuständen. Ein Anfngszustnd, in dem der Automt die Ausführung eginnt. Eine Menge von Endzuständen. Ein Bnd mit einer endlichen Folge (Wort) von Symolen. In jedem Schritt liest der Automt ds nächste Symol und estimmt drus und us seinem ktuellen Zustnd seinen neuen Zustnd. Ist ds Wort zu Ende, eendet der Automt seine Areit. Der Automt signlisiert, o er in einem der Endzustände ist. Ist nch Lesen des Worts der Automt in einem Endzustnd, wurde ds Wort vom Automten kzeptiert. Wolfgng Schreiner 2/38 Deterministische endliche Automten Beispiel: Erkennen von Identifiern (Deterministischer) endlicher Automt M = (Q, Σ, δ,, F ): Q... eine endliche Menge von Zuständen. Σ... eine endliche Menge von Symolen (ds Eingelphet). δ : Q Σ Q... die Üerführungsfunktion. δ(, x) =... der Automt liest im Zustnd ds Symol x und geht in den Zustnd üer. x Q... der Strtzustnd. F Q... die Menge der Endzustände. Wolfgng Schreiner 3/38 Wort us Buchsten und Ziffern, ds mit einem Buchsten eginnt. Buchste oder Buchste Ziffer Kein Buchste Weder Buchste noch Ziffer r Jedes Zeichen... Anfngszustnd.... kzeptierender Zustnd (ccept). r... nicht kzeptierender Zustnd (reject). Wolfgng Schreiner 4/38

2 Beispiel: Zählen von Binärziffern Die Sprche eines Automten Wort us en und en mit jeweils gerder Anzhl von en und en gerde Anzhl en, gerde Anzhl en.... gerde Anzhl en, ungerde Anzhl en ungerde Anzhl en, gerde Anzhl en ungerde Anzhl en, ungerde Anzhl en. Wolfgng Schreiner 5/38 Anwendung von δ uf ein Wort: δ : Q Σ Q δ(, ǫ) := δ(, xα) := δ(δ(, x), α) Σ... die Menge der endlichen Wörter üer Σ. ǫ Σ... ds leere Wort x Σ... ein Symol, α Σ... ein Wort. δ(, x x x 2... x k ) = δ(δ(δ(δ(δ(, x ), x ), x 2 ),...), x k ) x wird von M kzeptiert : δ(, x) F. Die Anwendung von δ uf den Anfngszustnd und ds Wort x Σ führt zu einem Endzustnd. Die von M kzeptierte Sprche L(M) Σ : L(M) := {x Σ x wird von M kzeptiert} Die Menge der von M kzeptierten Wörter. Wolfgng Schreiner 6/38 Sprchen üer einem Alphet Reguläre Ausdrücke Seien Σ ein Alphet und L, L, L 2 Σ (Sprchen üer Σ). Komplement: L := Σ \L. Verkettung: L L 2 := {xy x L, y L 2 } Kleene Aschluss: L := i= Li (= L L L 2...) Positiver Aschluss: L + := i= Li (= L L 2...) L := {ǫ}. L i := L L i, i. Beispiel: L = {, }. L = {ǫ} L = L L = L {ǫ} = L = {, } L 2 = L L = {, } {, } = {,,, } L 3 = L L 2 = {, } {,,, } = {,,,,,,, } Wolfgng Schreiner 7/38 Sei Σ ein Alphet. Ein regulärer Ausdruck üer Σ ist einer der folgenden Ausdrücke:, ǫ, α für jedes Symol α Σ. (r + s), (r s), (r ) für jeden regulären Ausdruck r und s üer Σ. Beispiel: für Σ = {,, c} sind die folgenden reguläre Ausdrücke: ( (( ) c)) ((( + ) ) c) (( + ( )) (c )) Wolfgng Schreiner 8/38

3 Reguläre Sprchen Ds Linux grep Kommndo Sei Σ ein Alphet und r ein regulärer Ausdruck üer Σ. L(r) Σ... die durch r ezeichnete reguläre Sprche: L( ) := {}, L(ǫ) := {ǫ}, L(α) := {α} für jedes Symol α Σ. L(r + s) := L(r) L(s) L(r s) := L(r) L(s) L(r ) := L(r) für jeden regulären Ausdruck r und s üer Σ. Es gilt z.b. L((r + s) + t) = L(r + (s + t)). Wir können r + s + t sttt ((r + s) + t) schreien. Wir können uch r s t sttt ((r s) t) schreien. Beispiel: sei Σ = {,..., z,,..., 9}. Sei r := ( z) ( z ). Dnn ist L(r) die Sprche der Identifier. Wolfgng Schreiner 9/38 NAME grep, egrep, fgrep, rgrep - print lines mtching pttern SYNOPSIS grep [options] PATTERN [FILE] REGULAR EXPRESSIONS A regulr expression is pttern tht descries set of strings. The fundmentl uilding locks re the regulr expressions tht mtch single chrcter. Most chrcters, including ll letters nd digits, re regulr expressions tht mtch themselves. A regulr expression my e followed y the repetition opertor *; the preceding item will e mtched zero or more times. Two regulr expressions my e conctented; the resulting regulr expression mtches ny string formed y conctenting two sustrings tht respectively mtch the conctented suexpressions. Two regulr expressions my e joined y the infix opertor ; the resulting expression mtches ny string mtching either suexpression. Wolfgng Schreiner /38 Reguläre Ausdrücke und Automten Erzeugung von Lexiklischen Anlystoren Sei Σ ein Alphet, L Σ eine Sprche üer Σ. Stz: (i) L ist eine reguläre Sprche genu dnn wenn (ii) L von einem endlichen Automten kzeptiert wird. Beweis von (i) (ii): Sei t ein regulärer Ausdruck üer Σ, der die Sprche L ezeichnet. Wir konstruieren einen endlichen Automten M, der L kzeptiert. Beweis von (ii) (i): Sei M ein endlicher Automt, der die Sprche L kzeptiert. Wir konstruieren einen regulären Ausdruck r mit L(r) = L. Reguläre Ausdrücke und endl. Automten erzeugen dieselen Sprchen. Verschiedene Werkzeuge zur Erzeugung von lexiklischen Anlystoren. Einge: ein regulärer Ausdruck. IDENT: LETTER (LETTER DIGIT)* ; Ausge: ein endlicher Automt (relisiert durch ein Progrmm): pulic finl void mident() throws { mletter(); _loop27: do { switch ( LA()) { cse : cse z : { mletter(); rek; } cse : cse 9 : { mdigit(); rek; } defult: { rek _loop27; } } } while (true); } Wolfgng Schreiner /38 Wolfgng Schreiner 2/38

4 Automt us regulärem Ausdruck Automt us regulärem Ausdruck Beispiel: t = +, Σ = {, } Wir konstruieren t üer Alphet Σ, in dem jedes Vorkommen eines Symols α Σ in t durch ein eindeutig indiziertes α i ersetzt wird: t := , Σ = {, 2, 3,, 2 }. Wir eginnen die Konstruktion von M mit einem Strtzustnd. Jeder weitere Zustnd von M entspricht einer Menge S Σ. M ht nch Lesen eines Teils des Eingeworts erreicht. Die Elemente von S sind die Symole in Σ, von deren Nchfolgern usgehend t den Rest des Eingeworts eschreien könnte. Wir ruchen zusätzliche Informtionen üer die Sprche L(t ). Wolfgng Schreiner 3/38 t := , Σ = {, 2, 3,, 2 }. Wir estimmen für die Sprche L(t ): B... die Menge ller Anfngssymole. E... die Menge ller Endsymole. S... die Menge ller Pre ufeinnderfolgender Symole. B = {,, 3 } E = { 2, 3, 2 } S = {(, 2 ), (, ), (, 3 ), ( 3, 2 ), ( 2, 2 )} Wir estimmen die Nchfolger von. Für jedes α Σ die Menge der α i, die Anfngssymole sind. = {, 3 } 2 = { } Wolfgng Schreiner 4/38 Automt us regulärem Ausdruck Automt us regulärem Ausdruck t := , Σ = {, 2, 3,, 2 }. S = {(, 2 ), (, ), (, 3 ), ( 3, 2 ), ( 2, 2 )} Wir estimmen die Nchfolger eines jeden im letzten Schritt erzeugten Zustnds. Für jedes α Σ die Menge der α i, die einem Symol in nchfolgen. = {, 3 } 2 = { } 3 = { 2 } 4 = { 2 } 5 = { 3 } t := , Σ = {, 2, 3,, 2 }. S = {(, 2 ), (, ), (, 3 ), ( 3, 2 ), ( 2, 2 )} Wir estimmen die Nchfolger eines jeden neuen Zustnds. = {, 3 } 2 = { } 3 = { 2 } 4 = { 2 } 5 = { 3 }, 6 = {} Wolfgng Schreiner 5/38 Wolfgng Schreiner 6/38

5 Automt us regulärem Ausdruck Automt us regulärem Ausdruck t := , Σ = {, 2, 3,, 2 }. S = {(, 2 ), (, ), (, 3 ), ( 3, 2 ), ( 2, 2 )} Wir estimmen die Nchfolger eines jeden neuen Zustnds. = {, 3 } 2 = { } 3 = { 2 } 4 = { 2 } 5 = { 3 }, 6 = {}, Wolfgng Schreiner 7/38 t := , Σ = {, 2, 3,, 2 }. E = { 2, 3, 2 } Algorithmus terminiert, wenn keine neuen Zustände erzeugt werden. Endzustände sind lle Zustände, die ein Endsymol enthlten. = {, 3 } 2 = { } 3 = { 2 } 4 = { 2 } 5 = { 3 }, 6 = {}, Wolfgng Schreiner 8/38 Automt us regulärem Ausdruck Regulärer Ausdruck us Automten Automt( Σ, L, B, E, S, Q, δ,, F ): -- elieiger Anfngszustnd Q { } δ -- Funktion m Anfng leer for α Σ do -- erweitere Funktion um Aildungen δ δ[(, α) {α i α i B }] Q Q {δ(, α) α Σ} k while Q k+ Q k do for Q k+ \Q k do for α Σ do -- erweitere Funktion um Aildungen δ δ[(, α) {α i β j : (β j, α i ) S }] Q k+2 Q k+ {δ(, α) Q k+ \Q k, α Σ} k k + Q Q k F { Q ( = ǫ L) ( E )} end Automt. Wir verzichten uf die Formlisierung der Berechnung von B, E, S. Wolfgng Schreiner 9/38 Sei M = (Q, Σ, δ,, F ) ein endlicher Automt. Wir konstruieren eine regulären Ausdruck t üer Σ sodss L(t) die von M kzeptierte Sprche ist. Wir definieren R,p := {x Σ δ(, x) = p} Die Menge der Wörter, die M von Zustnd in Zustnd p üerführen. Es gilt L = p F R,p. Die von M kzeptierte Sprche esteht us llen Wörtern, die M vom Anfngszustnd in einen der Endzustände üerführen. Es genügt lso zu zeigen, dss R,p durch einen regulären Ausdruck t,p eschrieen ist (für elieige Zustände, p). Wir wissen F = {p, p,..., p k } für irgendwelche p, p,..., p k. Dher gilt t := t,p + t,p t,p k. Es leit zu zeigen, dss R,p eine reguläre Sprche ist. Wolfgng Schreiner 2/38

6 Beispiel Regulärer Ausdruck us Automten, 6 = {} = {, 3} 2 = { } 3 = { 2} 4 = { 2}, 5 = { 3} t = t, +t, 3 +t, 4 +t, 5 = + +( + )+ Wir zeigen, dss R,p eine reguläre Sprche ist. Wir wissen Q = {,,..., r } für irgendwelche,,..., r. Wir definieren R,p, j j r +. Die Menge der Wörter, die M von so nch p üerführen, dss dei nur die Zustände,..., j durchlufen werden. R,p j := {x R,p δ(, y) {,..., j } für jedes Prefix y von x}. Es gilt R,p = R,p r+. Es git nur die Zustände,,..., r. Es genügt lso zu zeigen, dss R,p( j j r + ) durch einen regulären Ausdruck t,p j eschrieen ist. Es leit zu zeigen, dss R j,p eine reguläre Sprche ist. Wolfgng Schreiner 2/38 Wolfgng Schreiner 22/38 Regulärer Ausdruck us Automten Regulärer Ausdruck us Automten Wir zeigen, dss R j,p( j r + ) eine reguläre Sprche ist. Wir definieren R,p. Die Menge der Wörter, die M von nch p üerführen und us mximl einem Symol estehen: { R,p {α Σ δ(, α) = p}, wenn p := {α Σ δ(, α) = p} {ǫ}, wenn = p R,p wird durch einen regulären Ausdruck t,p eschrieen. Wir wissen {α Σ δ(, α) = p} = {α, α,..., α k }. für irgendwelche α, α,..., α k. t,p := α + α α k, wenn p. t,p := α + α α k + ǫ, wenn = p. Wir enötigen t,p ls die Bsis für eine induktive Konstruktion des regulären Ausdrucks t j,p. Wolfgng Schreiner 23/38 Wir zeigen, dss R j,p( j r + ) eine reguläre Sprche ist. Es gilt R,p i+ = R,p i R, i i (R i i, i ) R i i,p. Alle Wege von nch p, die nur üer,..., i verlufen, verlufen entweder nur üer,..., i oder verlufen von nch i üer,..., i, hen dnn endlich viele Schleifen von i zu i üer,..., i und führen dnn von i zu p üer,..., i. R,p i+ wird durch einen regulären Ausdruck t,p i+ eschrieen. t,p i+ := t,p i + t, i i (t i i, i ) t i i,p Der reguläre Ausdruck, der die von M kzeptierte Sprche ezeichnet, ist lso eine Summe derrtiger Ausdrücken t r+,p für lle Endzustände p. Wolfgng Schreiner 24/38

7 Beispiel Die Chrkterisierung regulärer Sprchen, 6 = {} = {, 3} 2 = { } 3 = { 2} 4 = { 2}, 5 = { 3} t, = t 7, t, = t, = + t, (t, ) t, = + ǫ ǫ = + = t 2, =... = t 7, = Wolfgng Schreiner 25/38 Sei L eine reguläre Sprche. Pumping Lemm: es git eine ntürliche Zhl n (woei n kleiner oder gleich der Anzhl der Zustände des kleinsten Automten ist, der L kzeptiert), sodss jedes Wort z der Sprche L, ds us mindestens n Zeichen esteht, in drei Teile u, v, w zerlegt werden knn, d.h. z = uvw (woei uv us mximl n Zeichen und v us mindestens einem Zeichen esteht), und uch ds entsprechende Wort mit elieig vielen Kopien von v in der Sprche enthlten ist, d.h. uv i w L (für lle i ). Jedes genügend lnge Wort knn zu einem elieig lngen Wort der Sprche ufgepumpt werden. Wolfgng Schreiner 26/38 Die Chrkterisierung regulärer Sprchen Beispiel Beweis des Pumping Lemm. Sei M = (Q, Σ, δ,, F ) ein endlicher Automt, der L kzeptiert. Sei n die Anzhl der Zustände in Q. Sei z ein Wort der Länge m n, d.h. z = α... α m L und sei i der Zustnd, den M nch dem Lesen des Teilworts α... α i ngenommen ht. D m n, müssen zwei Zustände j und k gleich sein: α α j α k+ α m j = k m α k α j+ Dmit knn z zerlegt werden in z = uvw mit u = α... α j v = α j+... α k w = α k+... α m Wolfgng Schreiner 27/38 Ds Pumping Lemm knn zeigen, dss eine Sprche nicht regulär ist. Sei L = { m m m N}. L = {ǫ,,,,...} Angenommen L wäre regulär. Sei n die durch ds Pumping Lemm gegeene Konstnte. Dnn ist n n ein Wort der Länge 2n n in L. Ds Wort lässt sich lso zerlegen in n n = uvw. uv enthält mximl n zeichen, v mindestens ein Zeichen. uvw = ( n )( n2 )( n3 n ), n + n 2 + n 3 = n, n 2 Dnn ist uv 2 w = ( n )( n 2 ) 2 ( n 3 n ) nicht in L. n + 2n 2 + n 3 = n + n 2 n. Also ist L nicht regulär. Wolfgng Schreiner 28/38

8 Beispiel Nichtdeterministische endliche Automten Ds Pumping Lemm knn zeigen, dss eine Sprche nicht regulär ist. Sei L = { i 2 i N}. L = {ǫ,,,,...} Angenommen L wäre regulär. Sei n die durch ds Pumping Lemm gegeene Konstnte. Dnn ist n2 ein Wort der Länge n 2 n in L. Ds Wort lässt sich lso zerlegen in n2 = uvw. uv enthält mximl n zeichen, v mindestens ein Zeichen. Dnn ist ds Wort uv 2 w nicht in L. v n ( v... Länge von v) n 2 = uvw < uvw + uvw + v = uv 2 w n 2 + n < (n + ) 2. Die Länge von uv 2 w ist lso keine Qudrtzhl. Also ist L nicht regulär. Wolfgng Schreiner 29/38 Ein Automt knn ei gegeenem Zustnd und Eingesymol mehr ls einen (oder uch keinen) möglichen Nchfolgezustnd hen. Nichtdeterministischer endlicher Automt M = (Q, Σ, δ, S, F ): Q... eine endliche Menge von Zuständen. Σ... eine endliche Menge von Symolen (ds Eingelphet). δ : Q Σ P(Q)... die Üerführungsfunktion. P(Q)... die Menge ller Teilmengen (die Potenzmenge) von Q. δ(, x) = {,..., k}... der Automt liest im Zustnd ds Symol x und geht in einen der Zustände,..., k üer. x x k S Q... die Menge der Strtzustände. F Q... die Menge der Endzustände. Wolfgng Schreiner 3/38 Beispiel Die Sprche eines nichtdeterm. Automten M = (Q, Σ, δ, S, F ) Q = {,, 2, 3, 4 }, Σ = {, }, S = { }, F = { 2, 4 } δ,, {, 3 } {, } { 2 } { 2 } { 2 } 3 { 4 } 4 { 4 } { 4 } 2, Wolfgng Schreiner 3/38 Anwendung von δ uf ein Wort: δ : Q Σ P(Q) δ(, ǫ) := {} δ(, xα) := {p r δ(, x) : p δ(r, α)} x Σ... ein Symol, α Σ... ein Wort. Die Menge der möglichen Zustände, die M von usgehend nch Lesen des Wortes einnehmen knn. Anwendung von δ uf eine Menge von Zuständen: δ : P(Q) Σ P(Q) δ(p, x) = p P δ(p, x) Die Menge der möglichen Zustände, die M von einem der Zustände in P usgehend nch Lesen des Wortes x einnehmen knn. x wird von M kzeptiert : δ(s, x) F. Die Anwendung von δ uf ds Wort x Σ knn von einem der Anfngszustände zu einem der Endzustände führen. Wolfgng Schreiner 32/38

9 Beispiel Vergleich mit deterministischen Automten Der Berechnungsum des Automten für Einge.,, 2, Der Automt kzeptiert lle Wörter, die oder enthlten. 4 4 Offensichtlich: jeder deterministische Automt ist der Spezilfll eines nichtdeterministischen Automten. Jede Sprche, die von einem deterministischen Automten kzeptiert wird, knn uch von einem nichtdeterministischen kzeptiert werden. Aer gilt uch ds umgekehrte Prinzip? Stz: Für jeden nichtdeterministischen endlichen Automten M git es einen deterministischen endlichen Automten M sodss L(M) = L(M ) Der deterministische Automt kzeptiert die gleiche Sprche wie der nichtdeterministische. Deterministische Automten und nichtdeterminisische Automten kzeptieren die gleichen Sprchen, sind lso gleichmächtig. Wolfgng Schreiner 33/38 Wolfgng Schreiner 34/38 Konstruktion eines determin. Automten Sei M = (Q, Σ, δ, S, F ) ein nichtdeterministischer endlicher Automt. Wir konstruieren einen deterministischen endlichen Automten M Zustände von M sind Mengen von Zuständen von M. M = (Q, Σ, δ,, F ). Q = P(Q) δ (, α) = p δ(p, α) (= δ(, α)) = S F = { Q F } Es gilt L(M ) = L(M), d für jedes Wort x = α... α n Σ gilt: x L(M) δ(s, x) F Für gewisse Zustände,..., n in Q gilt dher δ(, α ) =,..., δ( n, α n ) = n, n F. Für gewisse Zustände,..., n in Q (Teilmengen von Q) gilt dher,..., n n δ (, α ) =,..., δ ( n, α n) = n, n F. δ (, x) F x L(M ) Wolfgng Schreiner 35/38 Beispiel,, 3 4, 3,, 3, 4,, 2 2,, 4, 2, 3,,, 2, 4, 2, 3, 4 Wolfgng Schreiner 36/38

10 Anwendung nichtdetermin. Automten Anwendung nichtdetermin. Automten Die Modellierung und Verifiktion neenläufiger Systeme. Systemkomponente ls nichtdeterministischer Automt. Client() reuest nswer Server nswer reuest Client(2) Wolfgng Schreiner 37/38 Wolfgng Schreiner 38/38