Teil III. Reguläre Sprachen und endliche Automaten Teil 3: Die Nerode-Relation
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- Regina Weiner
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1 Teil III Reguläre Sprchen und endliche Automten Teil 3: Die Nerode-Reltion
2 Aleitungen und die Nerode-Reltion L Aleitung einer Sprche Sei Σ ein Alphet, L Σ, x Σ. Aleitung von L nch x: D x L := {z Σ xz L} Reguläre Sprchen Nerode-Reltion 1 / 6
3 Aleitungen und die Nerode-Reltion L Aleitung einer Sprche Sei Σ ein Alphet, L Σ, x Σ. Aleitung von L nch x: D x L := {z Σ xz L} Nerode-Reltion Sei Σ ein Alphet, L Σ, x, y Σ. x L y gdw. D x L = D y L Reguläre Sprchen Nerode-Reltion 1 / 6
4 Aleitungen und die Nerode-Reltion L Aleitung einer Sprche Sei Σ ein Alphet, L Σ, x Σ. Aleitung von L nch x: D x L := {z Σ xz L} Nerode-Reltion Sei Σ ein Alphet, L Σ, x, y Σ. x L y gdw. D x L = D y L x L y gdw. z Σ : (xz L yz L) Reguläre Sprchen Nerode-Reltion 1 / 6
5 Aleitungen und die Nerode-Reltion L Aleitung einer Sprche Sei Σ ein Alphet, L Σ, x Σ. Aleitung von L nch x: D x L := {z Σ xz L} Nerode-Reltion Sei Σ ein Alphet, L Σ, x, y Σ. x L y gdw. D x L = D y L x L y gdw. z Σ : (xz L yz L) Äquivlenzklssen von L L ist eine Äquivlenzreltion. Reguläre Sprchen Nerode-Reltion 1 / 6
6 Aleitungen und die Nerode-Reltion L Aleitung einer Sprche Sei Σ ein Alphet, L Σ, x Σ. Aleitung von L nch x: D x L := {z Σ xz L} Nerode-Reltion Sei Σ ein Alphet, L Σ, x, y Σ. x L y gdw. D x L = D y L x L y gdw. z Σ : (xz L yz L) Äquivlenzklssen von L L ist eine Äquivlenzreltion. [x] L := {y x L y} ([x] sttt [x] L erlut) index(l) : Anzhl der Äquivlenzklssen von L Reguläre Sprchen Nerode-Reltion 1 / 6
7 Areiten mit Aleitungen und L Lemm Sei Σ Alphet, L Σ. Für lle Σ und lle x, y Σ mit x L y gilt: [x] L = [y] L Reguläre Sprchen Nerode-Reltion 2 / 6
8 Areiten mit Aleitungen und L Lemm Sei Σ Alphet, L Σ. Für lle Σ und lle x, y Σ mit x L y gilt: Lemm [x] L = [y] L Sei Σ Alphet, sei A := (Σ, Q, δ, q 0, F ) vollständiger DFA und sei L := L(A). Für jedes x Σ sei der DFA A x definiert durch A x := (Σ, Q, δ, q x, F ), woei q x := δ(q 0, x). Für lle x Σ gilt: D x L = L(A x ). Reguläre Sprchen Nerode-Reltion 2 / 6
9 Areiten mit Aleitungen und L Lemm Sei Σ Alphet, L Σ. Für lle Σ und lle x, y Σ mit x L y gilt: Lemm [x] L = [y] L Sei Σ Alphet, sei A := (Σ, Q, δ, q 0, F ) vollständiger DFA und sei L := L(A). Für jedes x Σ sei der DFA A x definiert durch A x := (Σ, Q, δ, q x, F ), woei q x := δ(q 0, x). Für lle x Σ gilt: D x L = L(A x ). Korollr Für lle x, y Σ gilt: Aus δ(q 0, x) = δ(q 0, y) folgt x L y. Reguläre Sprchen Nerode-Reltion 2 / 6
10 Der Stz von Myhill und Nerode Myhill-Nerode-Stz Sei Σ ein Alphet und L Σ eine elieige Sprche. Dnn gilt: L ist genu dnn regulär, wenn index(l) endlich ist. Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 3 / 6
11 Der Stz von Myhill und Nerode Myhill-Nerode-Stz Sei Σ ein Alphet und L Σ eine elieige Sprche. Dnn gilt: L ist genu dnn regulär, wenn index(l) endlich ist. Beweisidee : Folgt us Korollr Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 3 / 6
12 Der Stz von Myhill und Nerode Myhill-Nerode-Stz Sei Σ ein Alphet und L Σ eine elieige Sprche. Dnn gilt: L ist genu dnn regulär, wenn index(l) endlich ist. Beweisidee : Folgt us Korollr Korollr (Wdh.) Für lle x, y Σ gilt: Aus δ(q 0, x) = δ(q 0, y) folgt x L y. Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 3 / 6
13 Der Stz von Myhill und Nerode Myhill-Nerode-Stz Sei Σ ein Alphet und L Σ eine elieige Sprche. Dnn gilt: L ist genu dnn regulär, wenn index(l) endlich ist. Beweisidee : Folgt us Korollr : Äquivlenzklssenutomt Korollr (Wdh.) Für lle x, y Σ gilt: Aus δ(q 0, x) = δ(q 0, y) folgt x L y. Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 3 / 6
14 Der Stz von Myhill und Nerode Myhill-Nerode-Stz Sei Σ ein Alphet und L Σ eine elieige Sprche. Dnn gilt: L ist genu dnn regulär, wenn index(l) endlich ist. Beweisidee : Folgt us Korollr : Äquivlenzklssenutomt Korollr (Wdh.) Für lle x, y Σ gilt: Aus δ(q 0, x) = δ(q 0, y) folgt x L y. Äquivlenzklssenutomt Huptidee: Verwende Äquivlenzklssen von L ls Zustände eines DFA A L. Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 3 / 6
15 Der Äquivlenzklssenutomt Sei L Σ Sprche, für die index(l) endlich Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 4 / 6
16 Der Äquivlenzklssenutomt Sei L Σ Sprche, für die index(l) endlich Äquivlenzklssenutomt DFA A L := (Σ, Q, δ, q 0, F ) mit Q := { [x] x Σ }, Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 4 / 6
17 Der Äquivlenzklssenutomt Sei L Σ Sprche, für die index(l) endlich Äquivlenzklssenutomt DFA A L := (Σ, Q, δ, q 0, F ) mit Q := { [x] x Σ }, q 0 := [ε], Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 4 / 6
18 Der Äquivlenzklssenutomt Sei L Σ Sprche, für die index(l) endlich Äquivlenzklssenutomt DFA A L := (Σ, Q, δ, q 0, F ) mit Q := { [x] x Σ }, q 0 := [ε], F := { [x] x L }, Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 4 / 6
19 Der Äquivlenzklssenutomt Sei L Σ Sprche, für die index(l) endlich Äquivlenzklssenutomt DFA A L := (Σ, Q, δ, q 0, F ) mit Q := { [x] x Σ }, q 0 := [ε], F := { [x] x L }, δ([x], ) = [x] für lle x Σ, Σ. Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 4 / 6
20 Der Äquivlenzklssenutomt Sei L Σ Sprche, für die index(l) endlich Äquivlenzklssenutomt DFA A L := (Σ, Q, δ, q 0, F ) mit Q := { [x] x Σ }, q 0 := [ε], F := { [x] x L }, δ([x], ) = [x] für lle x Σ, Σ. Zu zeigen: A L ist wohldefiniert Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 4 / 6
21 Der Äquivlenzklssenutomt Sei L Σ Sprche, für die index(l) endlich Äquivlenzklssenutomt DFA A L := (Σ, Q, δ, q 0, F ) mit Q := { [x] x Σ }, q 0 := [ε], F := { [x] x L }, δ([x], ) = [x] für lle x Σ, Σ. Zu zeigen: A L ist wohldefiniert L(A L ) = L Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 4 / 6
22 Beispiel für den Äquivlenzklssenutomten Beispiel Σ := {, } [ε] [] L := { } Äquivlenzklssen: 1 [ε] = {ε,,...} 2 [] = {,,...} 3 [] = {,,,,...}, [] Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 5 / 6
23 Beispiel für den Äquivlenzklssenutomten Beispiel Σ := {, } [ε] [] L := { } Äquivlenzklssen: 1 [ε] = {ε,,...} 2 [] = {,,...} 3 [] = {,,,,...}, [] Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 5 / 6
24 Beispiel für den Äquivlenzklssenutomten Beispiel Σ := {, } [ε] [] L := { } Äquivlenzklssen: 1 [ε] = {ε,,...} 2 [] = {,,...} 3 [] = {,,,,...}, [] Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 5 / 6
25 Beispiel für den Äquivlenzklssenutomten Beispiel Σ := {, } [ε] [] L := { } Äquivlenzklssen: 1 [ε] = {ε,,...} 2 [] = {,,...} 3 [] = {,,,,...}, [] Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 5 / 6
26 Beispiel für den Äquivlenzklssenutomten Beispiel Σ := {, } [ε] [] L := { } Äquivlenzklssen: 1 [ε] = {ε,,...} 2 [] = {,,...} 3 [] = {,,,,...}, [] Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 5 / 6
27 Beispiel für den Äquivlenzklssenutomten Beispiel Σ := {, } [ε] [] L := { } Äquivlenzklssen: 1 [ε] = {ε,,...} 2 [] = {,,...} 3 [] = {,,,,...}, [] Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 5 / 6
28 Beispiel für den Äquivlenzklssenutomten Beispiel Σ := {, } [ε] [] L := { } Äquivlenzklssen: 1 [ε] = {ε,,...} 2 [] = {,,...} 3 [] = {,,,,...}, [] Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 5 / 6
29 Beispiel für den Äquivlenzklssenutomten Beispiel Σ := {, } [ε] [] L := { } Äquivlenzklssen: 1 [ε] = {ε,,...} 2 [] = {,,...} 3 [] = {,,,,...}, [] Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 5 / 6
30 Beispiel für den Äquivlenzklssenutomten Beispiel Σ := {, } [ε] [] L := { } Äquivlenzklssen: 1 [ε] = {ε,,...} 2 [] = {,,...} 3 [] = {,,,,...}, [] Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 5 / 6
31 Die Fooling-Set-Methode Beochtung Direkt mit Äquivlenzklssen zu reiten ist oft unngenehm frickelig. Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 6 / 6
32 Die Fooling-Set-Methode Beochtung Direkt mit Äquivlenzklssen zu reiten ist oft unngenehm frickelig. Fooling-Set-Lemm Sei Σ Alphet, L Σ. Angenommen, es existiert eine unendliche Folge ((x i, z i )) i N üer Σ Σ mit 1 für lle i N ist x i z i L, und Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 6 / 6
33 Die Fooling-Set-Methode Beochtung Direkt mit Äquivlenzklssen zu reiten ist oft unngenehm frickelig. Fooling-Set-Lemm Sei Σ Alphet, L Σ. Angenommen, es existiert eine unendliche Folge ((x i, z i )) i N üer Σ Σ mit 1 für lle i N ist x i z i L, und 2 für lle i, j N mit j i ist x i z j / L. Dnn ist L nicht regulär. Reguläre Sprchen Myhill-Nerode-Stz 6 / 6
2 2 Reguläre Sprachen. 2.6 Minimale DFAs und der Satz von Myhill-Nerode. Übersicht
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