Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Transkript

1 Automten un formle Sprhen Notizen zu en Folien 1 Grunlgen un formle Beweise Venn-Digrmme (Folie 6) Im oeren Digrmm er Folie 6 sin zwei Mengen ngegeen: A un B. Es ist explizit ein Element von A ngegeen, s kein Element von B ist. O B Elemente ht (un o es Ojekte git, ie Element von sowohl A ls uh von B sin) ist niht Explizit ngegeen. Im zweiten Digrmm ist A eine Teilmenge von B. Beispiele zu Mengenopertionen (Folie 7) Sei A = {1, 3, 5} un B = {, 3, 4}. Dnn gilt: A B = {1,, 3, 4, 5} A B = {3} A \ B = {1, 5} B \ A = {, 4} Beispiele zur Potenzmenge (Folie 8) P({, }) = {, {}, {}, {, } } P({1,, 3}) = {, {1}, {}, {3}, {1, }, {1, 3}, {, 3}, {1,, 3} } P(P( )) = P({ }) = {, { }} Bemerkung: es ist für lle Mengen A er Fll, ss A un A A. Ds heißt, ss es immer er Fll ist, ss P(A) un A P(A). Beispiele zum Kreuzproukt (Folie 10) {1, 3} {, 4} = {(1, ), (1, 4), (3, ), (3, 4)} {,, } {1} = {(, 1), (, 1), (, 1)} A = (für lle Mengen A) Beispiele zu Reltioneneigenshften (Folien 1 un 14) () () () () 1

2 Reltion () ist reflexiv, trnsitiv un symmetrish. Sie ist eswegen uh eine Qusi-Ornung un eine Äquivlenzreltion. Die Reltion ist niht ntisymmetrish un eshl keine Ornung. Reltion () ist symmetrish. (Sie ht keine er neren gennnten Eigenshften.) Reltion () ist trnsitiv un ntisymmetrish. (Sie ht keine er neren gennnten Eigenshften.) Reltion () ist trnsitiv un ntisymmetrsih. (Sie ht keine er neren gennnten Eigenshften.) Beispiele zu Funktionen (Folie 15) Sei A = {,, } un B = {1,, 3}. Gegeen seien: f 1 = { (, 1), (, 1), (, ) } f = { (, 1), (, ), (, 3) } f 3 = { (, 1), (, ), (, 1), (, ) } f 4 = { (, 1), (, ) } Die Reltion f 1 un f sin Funktionen von A nh B; f 1 ist weer injektiv noh surjektiv, er f is sowohl injektiv ls uh surjektiv. Die Reltion f 3 ist keine Funktion von A nh B, enn es git zwei y B so ss (, y) f 3, nämlih 1 un. Die Reltion f 4 ist uh keine Funktion von A nh B, enn es git keine y B so ss (, y) f 4 (es wir uh gesgt: h ist niht uf efiniert). Beispiel (Qurtfunktion): Sei ie Funktion f folgenermßen efiniert: f : Z N, f(n) = n Dnn ist f eine Funktion, weil es für jee z Z genu eine n N git, mit f(z) = n. Zum Beispiel: f( 3) = 9 f(1) = 1 f( ) = 4 f(0) = 0 f() = 4 f( 1) = 1 f(3) = 9 Whrheit un Gültigkeit (Folie 17) In er Mthemtik git es einen sutilen Untershie zwishen Whrheit un Gültigkeit. Eine mthemtishe Aussge ist whr, wenn sie mit er Wirklihkeit üereinstimmt. (Mit er Frge ws ie Wirklihkeit für einen Mthemtiker ist, eshäftigen wir uns in ieser Vorlesung niht.) Eine mthemtishe Aussge ist gültig, wenn wir sie eweisen können. Gültigkeit ist lso eine stärkere Eigenshft ls Whrheit: wenn eine Aussge gültig ist, ist sie uh whr. Seit Göel wissen wir er, ss es whre Aussgen git, ie niht eweisr sin. Trotzem, wir in er Mthemtik eine Aussge im Allgemeinen erst für whr ngenommen, wenn wir sie eweisen können. In ieser Vorlesung ist er Untershie zwishen whr un gültig niht weiter von Beeutung; wir weren eswegen ie Worte ls synonym etrhten.

3 Beispiel eines Beweises (Folie 4) Stz. Sei A eine Menge, un A A eine Qusi-Ornung uf A. Definiere ie Reltion wie folgt: x y flls x y un y x. Dnn ist eine Äquivlenzreltion. Beweis. Nh Definition müssen wir zeigen, ss eine Äquivlenzreltion ist, s heißt, ss reflexiv, symmetrish un trnsitiv ist. Reflexiv. Nehme n, ss A. Weil eine Qusi-Ornung ist, ist reflexiv. Deswegen gilt (un nersum). Wir shließen, ss. Weil für ein elieiges A, ist ie Reltion reflexiv. Symmetrish. Nehme n, ss, A un. Nh Definition folgt us, ss un. Drus folgt, ss un, un eswegen gilt uh. Weil ies gilt für elieige, A, shließen wir, ss symmetrish ist. Trnsitiv. Nehme n, ss,, A, un. Nh Definition folgt us ss un. Außerem folgt nh Definition us ss un. Weil eine Qusi-Ornung ist, ist sie trnsitiv. Deswegen folgt us un, ss. Außerem folgt us un, ss. Weil un gilt nh Definition, ss. Dies gilt für elieige,, A, un eswegen können wir shließen, ss trnsitiv ist. Weil reflexiv, symmetrish un trnsitiv ist, ist sie eine Äquivlenzreltion. Beispiel eines Beweises üer Mengen (Folie 7) Stz. Für Mengen A, B, C gilt: Beweis. Es git zwei Rihtungen zu eweisen: (A B) C = (A C) (B C) Nehme n, ss x (A B) C. Nh Definition, gilt entweer x (A B) oer x C. Wenn x (A B), nn gilt, ss x A un x B. Aus x A folgt, ss x (A C). Aus x B folgt, ss x (B C). Weil x (A C) un x (B C) gilt, ss x (A C) (B C). Wenn x C, nn gilt nh Defintion, ss x (A C) un x (B C). Weil x (A C) un x (B C) gilt, ss x (A C) (B C). Weil wir in eien Fällen x (A C) (B C) geleitet hen, gilt x (A C) (B C). Nehme n, ss x (A C) (B C). Nh Definition von heißt s, ss x (A C) un x (B C). Aus x (A C) folgt, ss entweer x A oer x C. Nehme n, ss x A. Wegen x (B C) git es zwei Möglihkeiten: Wenn x B, nn hen wir wegen x A, ss x (A B). Deswegen gilt, ss x (A B) C. Wenn x C, nn gilt sofort, ss x (A B) C. In eien Fällen gilt x (A B) C, un eswegen können wir x (A B) C shließen. Nehme n, ss x C. Dn folgt sofort, ss x (A B) C. In eien Fällen gilt x (A B) C, un eswegen können wir x (A B) C shließen. 3

4 Beispiel eines Wierspruhseweises (Folie 8) Stz. ist irrtionl, s heißt, es git keine p, q Z, so ss p q =. Beweis. Wir nehmen ie Negtion er zu eweisenen Aussge n un leiten einen Wierspruh. Wir nehmen lso n, ss es gnze Zhlen p un q git, so ss p q =. Weil wir p un q urh gemeinsme Teiler teilen können, können wir, ohne Beshränkung er Allgemeinheit, von usgehen, ss p un q teilerfrem sin. Beie Seiten mit q multiplizieren liefert un qurtieren liefert p = q, p = q. Ds heißt, ss p eine gere Zhl ist. Weil s Qurt einer ungeren Zhl immer ungere ist, muss p uh eine gere Zhl sein. Ds heißt, ss für eine gnze Zhl. Drus folgt teilen urh liefert p = q = p = () = 4 ; q =. Sowohl q ls uh q sin lso uh gere Zhlen. Dss p un q eie gere sin, ist er im Wierspruh zur Ttshe, ss p un q teilerfrem sin ( ist Teiler eier Zhlen). Unsere Annhme wr lso flsh, un eswegen shließen wir, ss es keine gnze Zhlen p un q git, so ss p/q =. Beispiel eines Beweises urh Inuktion (Folie 30) Stz. Für lle n > 0 gilt, n =. Beweis. Wir eweisen en Stz mit vollstäniger Inuktion. 1 Inuktionsnfng. Für n = 1 gilt: 1 (1 + 1) = 1 = 1 = i (Bemerkung: n i ist Kurznottion für n.) 1 Vollstänige Inuktion ist Inuktion uf en ntürlihen Zhlen. 4

5 Inuktionshritt. Nehme n, ss n i =. (Dies ist ie Inuktionsvorussetzung.) Dnn gilt: n+1 n i = i + (n + 1) = + (n + 1) (IH) (n + ) = + = n + 3n + (n + 1) (n + ) = Der mit (IH) geshrifteten Shritt folgt us er Inuktionsvorussetzung. Wegen vollstäniger Inuktion, gilt er Stz. Sprhen un Grmmtiken Sprhen (Zu Folie 54) Sei Σ = {(, ), +,,, /, }, so können wir ie Sprhe EXPR er korrekt geklmmerten Ausrüke efinieren. Es gilt eispielsweise: ( ) + /( + ) EXPR ((())) EXPR ((+) ( EXPR Anere Sprhen (üer einem elieigem Alphet Σ): Σ, ie Sprhe ller Wörter üer Σ, ie leere Sprhe {ɛ}, ie Sprhe, ie nur s leere Wort ɛ enthält. Bemerkung: {ɛ}!!! Typishe Sprhen üer em Alphet Σ = {, }: L 1 = {w Σ w enthält ls Teilwort} L = { n n n N} n eeutet: s Symol, n ml Wieerholt. Im Allgemeinen eeutet w n, wo w ein Wort ist, w n Ml wieerholt. Beispiel: 5 =, () 3 =. Beispielleitung in einer Grmmtik (Zu Folie 63) Eine Aleitung es Wortes in er Grmmtik er Folie 40: S SBC BCBC BBCC BCC CC C Ds heißt, L(G). 5