FK03 Mathematik I: Übungsblatt 1; Lösungen

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1 FK03 Mthemtik I: Übungsbltt 1; Lösungen Verständnisfrgen: 1. Woher stmmen die Objekte in einer Menge? Die Objekte einer Menge entstmmen unserer Anschuung und unserem Denken. 2. Welche Drstellungen von Mengen eistieren? Es eistieren die ufzählende Drstellung durch Angbe ller Elemente und die beschreibende Drstellung mittels des Mengebildungsopertors. 3. Wie ist die Mächtigkeit einer Menge definiert? Die Mächtigkeit M einer Menge M gibt die Anzhl der Elemente der Menge M n. 4. Ws wäre je ein Beispiel für eine Teilmenge und eine echte Teilmenge? Die Menge ller Dckel ist eine echte Teilmenge der Menge ller Hunde. Die Menge ller Qudrte ist eine Teilmenge der Menge ller Vierecke mit vier gleich lngen Seiten und einem 90 Winkel. 5. Ws ergibt (A B) A? (A B) A A. Wofür steht ds Rechteck in einem Venn-Digrmm? In einem Venn-Digrmm steht ds Rechteck für die Obermenge (G) us der jeweils die untersuchten Teilmengen gewählt werden. 7. Ws definieren die Peno-Aiome? Die Peno-Aiome definieren die ntürlichen Zhlen. 8. Wie luten die Peno-Aiome? () 1 N n N n N gennnt der Nchfolger von n. (c) 1 ist nie Nchfolger (d) n, m N : n m n m (e) (Ds Induktionsprinzip) Sei M N gegeben, mit 1 M und n M n M. Dnn gilt M N. 9. Welche Rechengesetze gelten für die Multipliktion in N? Es gelten ds Assozitivgesetz, ds Kommuttivgestz und ds Gesetz von der Eistenz des neutrlen Elements. 10. Wnn nennt mn eine Menge M bzählbr? Eine Menge heißt bzählbr, flls es eine surjektive Abbildung von N nch M gibt. 11. Ws bedeutet es, dss die ntürlichen Zhlen diskret liegen? Die Differenzen zweier ntürlicher Zhlen sind gnzzhlige Vielfche von Welche der Ihnen beknnten Rechengesetze gelten in Z nicht? In Z gilt nicht ds Gestez der Eistenz des multipliktiven Inversen. 13. Wie knn mn die Menge Z \ N noch schreiben? Z \ N Z 0 1

2 14. Wie bezeichnet mn Q zusmmen mit den geltenden Rechengesetzen (AG, KG, EN, EI, DG) für die Multipliktion und Addition? Q wird zusmmen mit den gennnten Rechengesetzen ls belscher Körper bezeichnet. 15. Zusätzlich zu den Rechengesetzen in Q gelten noch vier Vereinbrungen zu den Rechengesetzen. Um welche hndelt es sich? Es hndelt sich um die folgenden Schreibweisen b : b 1 : 1 ( 0) + ( b) : b 1 b : b (b 0) 1. Wie lutet die Dezimlbruchdrstellung von 2 1? 17. Wie liegen die Elemente in Q? Die Elemente in Q liegen dicht , Welche Elemente enthält die folgenden Menge R \ Q? Die Menge R \ Q enthält lle irrtionlen Zhlen us R. 19. Ws bedeutet es, dss R wohlgeordnet ist? Wohlgeordnet bedeutet, dss für zwei Zhlen, y R immer nur genu eine der drei folgenden Reltionen richtig ist: > y < y y 2

3 Aufgben: 1. Stellen Sie die folgenden Mengenbeziehungen jeweils ls Venn-Digrmm dr (A, B, C G ). () (A C) \ ((B A) B) A ((B \ C) (A C)) 2. Zeigen Sie, dss die Menge der Qudrtzhlen bzählbr ist und geben Sie für diese Menge eine Mengendrstellung in beschreibender Form n. Sei M q die Bezeichnung für die Menge der Qudrtzhlen: mit der Zuordnungsvorschrift q(n) n 2, n N M q { q N q n 2 n N } 3. Zeigen Sie, dss die Menge der gerden Zhlen und die der ungerden Zhlen gleich viele Elemente enthlten. Wie viele sind es? Für beide Mengen eistiert eine surjektive Abbildung mit den ntürlichen Zhlen ls Definitionsmenge: Die gerden Zhlen: g : 2n, n N Die ungerden Zhlen: u : 2n 1, n N Beide Mengen enthlten dmit bzählbr unendlich viele Elemente. 4. Zeigen Sie, dss für jede Zhl n us folgender Menge { Z 10 99} gilt, dss mn, wenn mn die Quersumme von n bildet und diese von n subtrhiert, eine durch 9 restlos teilbre Zhl erhält. 3

4 Sei E die Einerziffer der Zhl n und Z deren Zehnerziffer. n Z 10 + E n (Z + E) 9 Z. 5. Zeigen Sie nhnd der Definition des Absolutbetrgs durch direkte Verifiktion, dss y y gilt. > 0 y > 0 y y y < 0 y > 0 y () y y > 0 y < 0 y ( (y)) y < 0 y < 0 y () ( (y)) y 0 y 0 y 0 y. Zeigen Sie nun, dss : y : y gilt. y y y (y 0) y y : y y 7. Rechnen Sie die folgenden Dezimlbrüche in Brüche um: 0, Im Detil:, mit 0, , , , , , , , ( , 123 ) , , , :

5 8. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion: () k 2 IA : IV : IS : 1 k 2 1 k 2 n+1 k 2 1(1 + 1)(2 + 1) k 2 + (n + 1) 2 + (n + 1) 2 ( ) n(2n + 1) + (n + 1) (n + 1) (n + 1)(n + 2)(2n + 3) (c) i0 q i 1 qn+1 1 q selber (2k 1) n 2 selber 9. Beweisen Sie die folgenden elementren Beziehungen für die reellen Zhlen (, b, c, d R) nur unter Zuhilfenhme der Rechengesetze des Körpers und der Nottionsvereinbrungen: () b 0 0 b 0 b 0 0 b ( 1 ) b 1 b b 0 b 0 b 0 (b 1 b) b 1 b b (c) b c d c (b, d Q \ {0}) b c d 1 b 1 c1 d c b ± c d ± bc (b, d Q \ {0}) d b ± c d 1 b 1 ± c1 d 1 (d ± bc) 1 5