v P Vektorrechnung k 1

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1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische Gößen hen jedoch einen Betrg und eine Richtung: Z.B. Krft, Geschwindigkeit, Beschleunigung. Diese ektoriellen Größen werden durch einen feil drgestellt, dessen Länge den Betrg der Größe ngit: Q (Q) Eine Trnsltion ist ollständig durch Ange eines unktes und seines Bildes unter der Verschieung = () eschrieen: Ds k-fche einer Krft wird durch einen Vektor der k-fchen Länge drgestellt, die Gegenkrft durch einen feil gleicher Länge in entgegengesetzter Richtung. Greifen zwei Kräfte k und k in einem unkt n, dnn wirken sie gemeinsm wie eine einzige im unkt ngreifende Krft: k k res Mn knn lso sgen, entsteht us durch Anwendung on. Mn ezeichnet zwei Vektoren ls gleich, wenn sie gleiche Länge und gleiche Richtung hen: k w Die resultierende Krft ergit sich durch rlellogrmmkonstruktion. Umgekehrt lssen sich Kräfte genuso in Komponenten zerlegen. Vektoren in der eenen Geometrie Eine Trnsltion (rllelerschieung) in der euklidischen Eene E ist eine Aildung : E E die jeden unkt um eine festgelegt Strecke in eine gegeene Richtung erschiet. Vier unkte, Q, (), (Q) ilden ein rllelogrmm: Dei spielt der Anfngspunkt keine Rolle. Die Hintereinnderusführung w on zwei Trnsltionen ist wieder eine Trnsltion; den zugehörigen Trnsltionsektor ergit die rllelogrmmkonstruktion:

2 () w w w() w(()) =(w()) Der Ergenisektor ezeichnen wir ls + w. Aus der Figur entnimmt mn w = w und dmit + w = w+. Diese Eigenschft heißt Kommuttiität. Geometrisch knn mn uch die Eigenschft der Assozitiität lesen: w Dmit hen wir uch die Sutrktion on Vektoren eingeführt: w +( w) w Also ist w = + ( w) (u+)+w =u+(+w) u+ +w Den Vektor + ezeichnen wir mit ; er ht (für 0) die doppelte Länge on, er diesele Richtung. Entsprechend soll 3 = + = + sein, und n entspricht der n-fchen Ausführung der Trnsltion. Geometrisch können wir uch den Vektor 3 konstruieren: u Also gilt ( u + ) + w = u + ( + w). Die identische Aildung, die jeden unkt fest lässt, zählen wir uch zu den Trnsltionen, und den zugehörigen Trnsltionsektor ezeichnen wir ls Nullektor 0 (ht ls einziger Vektor keine Richtung). Trnsltionen sind umkehrr; den Trnsltionsektor der Umkehrildung on ezeichnet mn mit. Es gilt + ( ) = 0. ht lso gleiche Länge wie, er entgegengesetzte Richtung. Nch Konstruktion ist 3 ( 3 3 ) = 3 4

3 Entsprechend definieren wir m für m. Schließlich definieren wir n m ( n m ) E und hen dmit einen Vektor mit der Richtung on er mit der n m -fchen Länge. Allgemein erstehen wir für c + unter c einen Vektor gleicher Richtung wie, er c-fcher Länge; ( c) soll der Gegenektor (c ) sein. Außerdem setzen wir 0 = 0. Dmit entspricht jeder Zhl t ein unkt der Gerden g, die durch Antrgen on t nd den unkt entsteht: 0 g O E Jetzt können wir jedem unkt on E ein Koordintenpr (, ) zuordnen. Wir schreien = (, ), mchen lso keinen Unterschied zwischen dem unkt und seinem Koordintenpr. Den Astnd zweier unkte = (, ) und Q = (y,y ) können wir us der Figur estimmen: y Q Umgekehrt entspricht jedem Q g eindeutig ein rmeterwert t mit Q = t. Bei dieser rmetrisierung entsprechen sich die unkte on g und die reellen Zhlen in eindeutiger Weise. Koordintendrstellung on unkten und Vektoren Krtesisches Koordintensystem: In der euklidischen Eene E zeichnen wir einen unkt O, den Nullpunkt oder Ursprung, us. Durch diesen legen wir eine gerde g, die erste Koordintenchse und wählen uf ihr im Astnd om Ursprung O einen Einheitspunkt E. Dnn ziehen wir durch O senkrecht zu g eine zweite Gerde g, die zweite Koordintenchse und wählen uf ihr einen Einheitspunkt E im Astnd om Ursprung O: 5 O d(,q) = y ( y ) + ( y ) Koordintendrstellung on Vektoren: Wir wählen ein krtesisches Koordintensystem in der Eene und hlten es im Folgenden fest. Ist ein Vektor, dnn können wir ihn im Ursprung ngreifen lssen und erhlten einen unkt = (, ) 6 mit = O

4 Wir eschreien durch die Koordintensplte = Die Spltenschreiweise ist schon ein Vorgriff uf die Mtrizenrechnung. e Aus der Figur entnehmen wir mit Hilfe des Strhlenstzes, dss ds c-fche des Vektors die Koordintendrstellung c c = c ht. Dmit finden wir für den Nullektor die Koordintenschreiweise 0 0 = 0 E O E e und ds Inerse des Vektors ist = Für die Vektoren und y mit Koordintensplten = und y = finden wir durch rllelogrmmkonstruktion: ( y y ) Aus der Figur entnimmt mn, dss = e + e mit e = OE und e = OE. Für die Einheitsektoren e, e schreien wir in Koordintenschreiweise e = und 0 e 0 = Jetzt müssen wir ds Vielfche c und die Hintereinnderusführung + y in Koordinten usdrücken. c 7 c c Also ist + y y y y + + y y = + y unkte und Vektoren: unkte und Vektoren in der Eene sind prinzipiell erschiedene Dinge. Sie sind er durch den Begriff des Ortsektors miteinnder erunden. Ist A = (, ) ein unkt der euklidischen Eene und = ein Vektor, so entsteht der unkt C = ( +, + ) us A durch Anwendung on. Insesondere entsteht A durch Anwendung des Vektors = uf den Ursprung 0. 8 y + y

5 heißt Ortsektor des unktes A. Der Ortsektor on C ist lso c = +. Für die Vektorrechnung reicht es us, sttt des unktes den Ortsektor eines unktes zu etrchten. Linere Ahängigkeit und Unhängigkeit: Zwei Vektoren und heißen liner hängig, wenn einer on ihnen ein Vielfches des nderen ist. So sind = (4, 6) und = ( 6,9) liner hängig, denn es gilt = 3 zw. = 3. 0 und 0 sind liner hängig, d 0 = 0. (Im Fll 0 ist er kein Vielfches on 0.) Wenn zwei Vektoren nicht liner hängig sind, heißen sie liner unhängig. Stz: Zwei Vektoren = ( ) A und = ( sind genu dnn liner hängig, wenn = 0. Beweis: ) = c = c = c = c = c = c 0 ) Für = und 0 ist = = =. Für 0 folgt genuso =. Für = = 0 ist = 0 = 0. Vektorrumiome Der Vektorrum : Dmit hen wir us geometrischen Üerlegungen lle Eigenschften geleitet, die einen Vektorrum chrkterisieren. Die Vektoren 9 ) C ilden im (und ürigens unerändert uch im n ) ezüglich der Addition eine elsche Gruppe. Seien, und c Vektoren im, so gilt: α) β) γ) δ) ε) + ist ein Vektor im + ( + c) = ( + ) + c + 0 = 0 + = + ( ) = ( ) + = 0 + = + innere Verknüpfung Assozitiität Eistenz eines neutrlen Elements Eistenz eines Inersen Kommuttiität Des weiteren hen wir schon die äußere Komposition kennengelernt: die Multipliktion eines Vektors im mit einem Sklr (einer reellen Zhl) liefert wieder einen Vektor im. Seien s,t und, Vektoren im, so gilt α) = Eistenz eines neutrlen Elements β) (s +t) = s +t Distriutiität γ) t( + ) = t +t Distriutiität δ) s(t) = (st) = t(s) Assozitiität Diese eiden Blöcke on Gesetzen heißen uch Vektorrumiome. Die Gesmtheit der Vektoren, die diese Gesetze erfüllen, ilden einen lineren Vektorrum üer dem Körper der reellen Zhlen. Sttt on der geometrischen Anschuung uszugehen, knn mn die gnze Vektorlger uf diesen Aiomen ufuen. Betrg on Vektoren In den Vektorrumiomen tucht die Länge eines Vektors nicht eplizit uf, sie rucht in einem strkten Vektorrum lso uch nicht zu eistieren. Für die Aildung + des Betrges gelten die Gesetze: α) 0 = 0 = 0 β) t = t t γ) + + Dreiecksungleichung Eistiert nun in einem Vektorrum eine Aildung mit diesen Eigenschften, so spricht mn on einem Vektorrum mit Norm (normierter Vektorrum). Der Asolutetrg on reellen Zhlen und der Betrg on Vektoren sind egrifflich 0

6 dssele: Sie sttten den zugrundeliegenden Rum mit einem Entfernungsegriff us, sodss dieser zu einem Spezilfll eines metrischen Rumes wird. Wir erwenden für den Betrg eines Vektors die euklidische Norm: Der Betrg on = ist dmit = + und der Astnd zweier unkte A, B ist der Betrg der Differenz der Ortsektoren und : d(a,b) = = ( ) + ( ) Die Dreiecksungleichung ist dmit nschulich klr: + Sie knn später leicht mit der Cuchy-Schwrzschen Ungleichung ewiesen werden. Vektorrechnung im n Vektoren im dreidimensionlen Rum 3 : Wir führen im dreidimensionlen euklidischen Rum ein krtesisches Koordintensystem ein. Ddurch können wir jeden unkt des Rumes durch sein Koordintentripel (,, 3 ) eschreien, kurz = (,, 3 ). Jede gerichtete Größe = esitzt ezüglich dieses Koordintensystems eine Koordintendrstellung; ist durch einen Koordintenektor = 3 gegeen. Wie im unterscheiden wir nicht zwischen dem unkt = (,, 3 ) und seinem Ortsektor. Rechnen mit Vektoren im n : Wir definieren den n-dimensionlen Rum ls Gleichheit on Vektoren: n n = { =.,,..., n } y y n n. =. = y, = y,..., n = y n Addition on Vektoren und Multipliktion mit einem Sklr: y + y c. +. =. und c. =. n + y n n c n n y n 3 O Die Rechenregeln ergeen sich wie in us den Vektorrumiomen. Zur geometrischen Interprettion: Gerden und Eenen Den n-dimensionlen Rum für n > 3 knn mn sich zwr nicht orstellen, er dennoch lssen sich geometrische Zusmmenhänge uf höhere Dimensionen üertrgen. Gerden: Ist 3 nicht der Nullektor und ist 3, so eschreit g = { +t t } eine Gerde im Rum. Anlog definiert mn im n die Gerde durch mit Richtungsektor durch g = { +t t }

7 Eenen: Zwei Vektoren u, n heißen liner unhängig, wenn keiner on ihnen ein Vielfches des nderen ist. Für liner unhängige Vektoren u, und n heißt E = { + s u +t s,t } die on u und ufgespnnte Eene durch den unkt. Diese Drstellungen on Gerde und Eene heißen rmeterdrstellung. Ds Sklrprodukt im n : Wir führen jetzt für Vektoren ein inneres rodukt, ds Sklrprodukt, und ein äußeres rodukt, ds Vektorprodukt ein. Die reelle Zhl (Sklr) y n k= k y k für n y =., y =. heißt Sklrprodukt. Es dient dzu, Winkel- und Längenmessung uf den n zu üertrgen. Die Eigenschften des Sklrproduktes sind: α) β) = ( + c) = + c γ) λ( ) = (λ ) = (λ ) δ) 0 = 0 = 0 y n Symmetrie (Kommuttiität) Distriutiität Bilinerität (Homogenität) ositiität Diese Eigenschften lssen sich direkt us der Definition des Sklrprodukts lesen. Der Betrg eines Vektors lässt sich nun ls Wurzel us dem Sklrprodukt des Vektors mit sich selst drstellen: γ c= Wegen des Kosinusstzes gilt für die Länge on c, ds dem Winkel γ gegenüerliegt: = c = + cosγ Jetzt ersetzen wir die Betrgsqudrte durch die Sklrprodukte ( ) ( ) = + cosγ Aus den Rechenregeln des Sklrproduktes folgt dnn und dmit + = + cosγ = cosγ Für 0 ist dnn die orthogonle rojektion des Vektors uf die Richtung des Vektor : = = n k k= γ Im euklidischen Rum können wir ds Sklrprodukt y ls rodukt der Beträge on und y und des Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren usdrücken: y = y cos (, y) 0 ϕ = (, y) π Wir können ds zeigen, indem wir die Differenz der Vektoren und etrchten: 3 cos γ Zwei nichterschwindende Vektoren, sind lso genu dnn orthogonl, wenn ihr Sklrprodukt null ist: = 0, 0 4

8 Mit dieser Interprettion des Sklrproduktes lässt sich ds Distriutigesetz β) leicht geometrisch zeigen: (+). c c + (. c) c (. c) c Die Cuchy-Schwrzsche Ungleichung: Für, y n ist y y und Gleichheit tritt genu dnn ein, wenn und y liner hängig sind. Beweis: ) Ist y = 0, dnn ist y = 0 = y, und und y sind liner hängig. ) Ist y 0, dnn etrchten wir den Vektor z = y y y Es folgt direkt Dmit wird z y = y y 0 z z ( y z y y ) y y y = 0 = z ( y ) 0 = y y = = y y y = y y 5 c lso 0 y y Ds Gleichheitszeichen tritt genu für z = 0 uf, lso für = λ y mit λ = y y. Unter den Eigenschften der Norm eines Vektors hen wir schon die Dreiecksungleichung + y < + y kennengelernt. Sie folgt leicht us der Cuchy-Schwrzschen Ungleichung: + y = ( + y) ( + y) = + y + y + y y + y + y = ( + y ) Ds Gleichheitszeichen gilt hier genu dnn, wenn y = y, lso für y 0 wenn = λ y. Ds Vektorprodukt im 3 : Für die Vektoren =, = 3 3 definieren wir ds Vektorprodukt oder Kreuzprodukt durch 3 3 = 3 3 Merkhilfe der hysiker (unter Vorgriff uf Determinnten): e e y e z = 3 3 = e 3 3 e 3 y 3 + e 3 3 z = 3 3 Es gilt: ) und sind genu dnn liner unhängig, wenn 0. ) Sind und liner unhängig, so sind die zu und zu senkrechten Vektoren gerde die Vielfchen on. c) Für 0, 0 gilt = sinϕ = 6

9 Beweis: ) Wir zeigen: und sind genu dnn liner hängig, wenn lle Determinnten = 3 3 = = Null sind. Sind und liner hängig, lso = λ, dnn folgt unmittelr = = 3 = 0. Sei = = 3 = 0. Ist = 0, so sind und liner hängig. Ist 0, z.b. 3 0, dnn folgt us = 0 und = 0 c) sin ϕ = ( cos ϕ) = = ( + + 3)( + + 3) ( ) = = ( 3 3 ) + ( 3 3 ) + ( ) = = 3 3, = 3 3, sowie ohnehin 3 = Beim Vektorprodukt hndelt es sich lso um den Vektor Also ist = 3 3. Für 0 ist genuso =, für 0 ist =. ) Dss und senkrecht zu sind, folgt us = sinϕ e 0 ϕ = (, ) π ( ) = ( 3 3 ) + ( 3 3 ) + 3 ( ) = 0 ( ) = ( 3 3 ) + ( 3 3 ) + 3 ( ) = 0 Seien umgekehrt,. D und liner unhängig sind, ist eine der Determinnten,, 3 on Null erschieden, z.b Die Bedingungen = 0 und = 0 luten komponentenweise woei e ein Einheitsektor ist, der so uf und senkrecht steht, ds,, e in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem ilden (wie Dumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hnd) = 0 + = = 0 + = 3 3 Lösen wir dieses Gleichungssystem mithilfe der Crmerschen Regel (für Gleichungssystem + =, + = ist die Lösung = ( )/D, = ( )/D flls D = 0), so ergit sich = = 3 3, = = 3 3 und zusmmen mit dem triilen 3 = ergit sich = 3 3 Die Fälle 0 und 0 werden nlog ehndelt. 7 Geometrisch entspricht die Länge des Vektorprodukts = sinϕ der Fläche des on und ufgespnnten rllelogrmms: 8

10 h = c cosϕ erechnet: γ ϕ c ϕ h Eigenschften des Vektorproduktes: α) = β) (λ + µ ) c = λ c + µ c (λ + µ c) = λ + µ c Schiefsymmetrie (Antisymmetrie) Linerität in jedem Argument γ) ( ) c = ( c) ( c) Grssmnnscher Entwicklungsstz δ) ( ) c + ( c) + +( c ) = 0Jcoi-Identität α und β folgen direkt us der Definition des Vektorproduktes, δ folgt leicht us γ. γ ergit sich durch Rechnung. Die linke Seite der Eigenschft γ heißt doppeltes Vektorprodukt; γ wird ls Entwicklungsstz für ds doppelte Vektorprodukt ezeichnet, weil die rechte Seite (eine einfche Vektorsumme) eine deutliche Vereinfchung drstellt. Vorsicht: Für ds Vektorprodukt gilt kein Assozitigesetz: ( ) c ( c). Wegen γ liegt der Vektor uf der linken Seite in der (, )-Eene, der uf der rechten Seite in der (, c)-eene. Schließlich git es noch die Möglichkeit, ds Vektorprodukt mit dem Sklrprodukt zu kominieren: Ds rodukt V (,, c) = ( ) c wird Sptprodukt gennnt. Geometrisch entspricht sein Betrg dem Volumen des on den Vektoren, und c ufgespnnten rllelepipeds; ds folgt, wenn mn ds Volumen V des rllelepipeds ls Grundfläche F = ml Höhe 9 D es gleichgültig ist, welche Seite des rllelepipeds wir ls Grundfläche etrchten, ändert sich ds Sptprodukt ei zyklischer Vertuschung der Vektoren nicht: V (,, c) = ( ) c = ( c) = ( c ) Bei ntizyklischer Vertuschung ändert V sein Vorzeichen. V (,, c) = ( ) c = ( c ) = ( c) Mn ezeichnet es dher ls seudosklr. Litertur: Helmut Fischer, Helmut Kul, Mthemtik für hysiker, Bnd : Grundkurs, 5. Auflge, Teuner, Stuttgrt 005. Wolfgng Nolting, Grundkurs: Theoretische hysik,. Klssische Mechnik, 3. Auflge, Verlg Zimmermnn-Neufng, Ulmen 993. Gerhrd Berendt, Eelyn Weimr, Mthemtik für hysiker, Bnd Anlysis und Alger,. Auflge, VCH, Weinheim