Hamburger Beiträge zur Angewandten Mathematik

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1 Hmurger Beiträge zur Angewndten Mthemtik Grundlgen der Lehre Hier: Die Strhlensätze R. Ansorge Nr April 016

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3 Grundlgen der Lehre Hier: Die Strhlensätze. R. Ansorge 1 Einleitung Owohl die Strhlensätze der eenen euklidischen Geometrie für grosse Teile der Mthemtik von grundlegender Bedeutung sind, findet mn in vielen Grundlgen-Lehrüchern, und zwr in älteren wie in neueren (siehe z.b. [1] und selstkritisch []), keine Beweise für die Strhlensätze. Und von der Schule her sind den Studierenden in der Regel eenflls keine Beweise eknnt. Grundlegend sind die Strhlensätze eknntlich z.b. für die Aussgen üer ähnliche Dreiecke und dmit für die trigonometrischen Funktionen, denn der Umstnd, dss z.b. der sinus eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck nur vom Verhältnis Gegenkthete Hypotenuse hängt und für lle ähnlichen Dreiecke gleich gross ist, ist eine Folge des. Strhlenstzes 1. Und die Bedeutung der trigonometrischen Funktionen für die Mthemtik und ihre Anwendungen ist gewiss uch den Erstsemestern in Anwendungsfächern (z.b. Ingenieuren) geläufig. Ein durch einen Beweis gestützten Hinweis uf die Bedeutung der Strhlensätze sollte deshl vor llem in den Anfängervorlesungen der Ingenieure, Physiker usw. mit Nchdruck präsentiert werden. Nchfolgend werden Beweise für den 1. und. Strhlenstz ls Beispiele für die Aufnhme in Lehrücher vorgeschlgen, die so islng wohl kum zu finden sind und u.. den Stz des Pythgors verwenden, dessen Beweis dnn wie uch die ürigen Teile der Beweise weder uf ähnliche Dreiecke noch uf trigonometrische Funktionen Bezug nehmen drf. Unter den vielen Beweisen des Stzes des Pythgors in der Menge der sogennnten Flächensätze 3 git es ntürlich uch einen, der diese Bedingungen erfüllt und um der Vollständigkeit willen im Anhng erneut vorgestellt wird. Er verwendet neen klssischen Flächenegriffen und deren Eigenschften lediglich ein von Hilert [3] formuliertes Axiom der euklidischen Geometrie, nämlich dss zwei Dreiecke kongruent sind, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel üereinstimmen. Und er verwendet die Aussge, dss die Winkelsumme im Dreieck eträgt, die zum Beweise lediglich ds Prllelenxiom, etw in der zu llen nderen Formulierungen des Axioms äquivlenten Formulierung zwei Gerden sind prllel, wenn n ihnen Stufenwinkel üereinstimmen enutzt. 1 ihn soll Thles von Milet (um 600 v.chr.) schon geknnt und für die Bestimmung der Pyrmidenhöhe per Schttenlängen genutzt hen. häufig ist es umgekehrt: der Stz des Pythgors wird vielfch mittels der Beziehungen zwischen ähnlichen Dreiecken und somit unter Eineziehung des. Strhlenstzes ewiesen 3 siehe z.b. WIKIPEDIA

4 Beweis des. Strhlenstzes In der Figur 1 seien die Strecken AC und BD prllel. Dnn gilt für die Streckenlängen der. Strhlenstz: SB = AC BD. (1) Beweis: S C E A D F B Fig. 1 Fläche(Dreieck C) + Fläche(Trpez ACBD) = Fläche(Dreieck SBD), d.h. AC SE + AC + BD EF = BD SF. () Dei sei SF senkrecht uf BD und dmit uch uf AC (Stufenwinkel n Prllelen). () liefert AC (SE + EF)=BD (SF EF), d.h. AC BD = SE SF. (3) Betrchtet mn nstelle des Dreiecks SBD ds Dreieck SBF, so gilt nlog AE BF = SE SF. (4)

5 3 Unter Verwendung des Pythgors folgt dnn ( ) SB BF = BF +SF BF = ( BF SF ) +1 ( BF SF ) und dher mit (4) ( AE SE ) +1 = ( AE SE ) ( ) SB BF oder ( ) (AE) +(SE) = SB (AE) BF, d.h. (mit Pythgors) ( ) () = SB (AE) BF, lso AE = SB BF AE oder BF = SB und erneut mit (4) SE SF = SB, sodss mit (3) die Behuptung folgt. 3 Korollr (1. Strhlenstz) Es gilt der 1. Strhlenstz AB = CD SC, (5) denn zunächst gilt ntürlich nlog zu (1) uch SC SD = AC BD,

6 4 d.h. mit (1) SD SC = SB oder SC+CD SC = +AB, lso 1+ CD SC =1+AB q.e.d. 4 Ein oft zitierter Strhlenstz-freier Beweis des Stzes des Pythgors Gegeen sei ds rechtwinklige Dreieck gemäss Figur mit den Ktheten und und der Hypotenuse c. c Fig. Wir etrchten dnn ds Qudrt mit der Kntenlänge + und zeichnen die 4 Eck-Dreiecke hinein gemäss Figur 3. Fig. 3

7 5 Jedes der 4 Dreiecke in Figur 3 ist nch dem in der Einleitung gennnten Hilert-Axiom kongruent mit dem gegeenen Dreieck der Figur, sodss die dritte Seite in diesen Dreiecken jeweils mit c üereinstimmt, und uch die Winkel entsprechen denen des Ausgngsdreiecks. Ds innere Viereck ist lso eine Rute. Es ist sogr ein Qudrt, denn d die Summe eider Bsiswinkel des rechtwinkligen Dreiecks (ufgrund der Dreieckswinkelsumme) 90 0 eträgt, ht uch die Summe der eiden n den Ecken zusmmenstossender Dreiecke uftretenden Winkel den Wert 90 0, der zwischen ihnen liegende Winkel lso eenflls diesen Wert. Dmit setzt sich die Fläche des grossen Qudrts zusmmen us der Fläche des inneren Qudrts plus den 4 Flächen der Eck-Dreiecke, m..w.: ( + ) = c +4 q.e.d. Litertur [1] Mngoldt, H.v., K. Knopp: Einführung in die höhere Mthemtik, 8. Aufl., Verlg S. Hirzel, Leipzig 1944 [] Ansorge, R., H.J. Oerle, K. Rothe, Th. Sonr: Mthemtik für Ingenieure, 4. Aufl., Verlg Wiley-VCH, Weinheim 010 [3] Hilert, D.: Grundlgen der Geometrie, Verlg Teuner, Leipzig 1903 R.Ansorge Augustinum Aumühle Mühlenweg 1, App Aumühle