Abb. 1: Klassische Rhombenfigur

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1 Hns Wlser, [216931] Rhombenfiguren 1 Worum geht es Es wird ein Beispiel einer Rhombenfigur vorgestellt, bei der im grfentheoretischen Sinne jeder Punkt den Grd 4 ht. 2 Problemstellung: Grd 4 Die Abbildung 1 zeigt eine klssische Rhombenfigur. Abb. 1: Klssische Rhombenfigur Im Zentrum hben wir einen Punkt vom Grd 14. Es kommen dort 14 Knten zusmmen. Die Punkte im nächsten Ring hben den Grd 3. Dnn kommen mehrere Ringe mit Punkten vom Grd 4. Die äußersten Punkte hben nur den Grd 2. Die Frge ist nun, ob es eine Rhombenfigur gibt, bei welcher sämtliche Punkte den Grd 4 hben. Ds einfchste Beispiel dzu ist ds ins Unendliche usgedehnte Schchbrettmuster. Wir geben ein Beispiel mit nur endlich vielen Rhomben.

2 Hns Wlser: Rhombenfiguren 2 / 1 3 Ds Beispiel In einem Qudrtrster zeichnen wir 16 Punkte ein (Abb. 2). Abb. 2: 16 Punkte im Qudrtrster Diese Punkte verwenden wir ls Eckpunkte von Rhomben (Abb. 3). Jeder Knoten ht den Grd 4. Die Figur ist endlich. Die bluen Rhomben hben ein Digonlenverhältnis 2:1. Die roten Rhomben hben ein Digonlenverhältnis 3:1. Ds Umriss-Achteck ist zwr gleichseitig, ber nicht gleichwinklig. Es ist lso nicht regelmäßig.

3 Hns Wlser: Rhombenfiguren 3 / 1 Abb. 3: Rhomben D die Rhomben sich überlppen, können wir nicht mehr von einer Zerlegung oder einem Prkett sprechen.

4 Hns Wlser: Rhombenfiguren 4 / 1 Die Abbildung 4 zeigt die Überlppung ller Rhomben. Abb. 4: Überlppung der Rhomben

5 Hns Wlser: Rhombenfiguren 5 / 1 4 Drstellung im Rum Die Überlppungen versuchen wir räumlich drzustellen. Dzu denken wir uns verschiedene Höhen zu den einzelnen Knoten. Wir verwenden ds Niveu und die Niveus + und. Die Abbildung 5 zeigt die mit Höhen versehenen Knoten. Abb. 5: Niveus Bei jedem Rhombus ist eine Digonle uf dem Niveu null, lso horizontl. Die ndere Digonle steigt vom Niveu uf ds Niveu + n. Dmit ist sichergestellt, dss die vier Eckpunkte in einer Ebene liegen und der Rhombus nch wie vor ls ebene Figur existiert. Ds Niveu knn beliebig gewählt werden. In den folgenden Abbildungen 6 und 8 ist = 3.

6 Hns Wlser: Rhombenfiguren 6 / 1 Die Abbildung 6 zeigt die Sicht von oben sowie eine llgemeine Ansicht. Aus den Überlppungen werden gegenseitige Durchdringungen. Die Rhomben lso solche sind nicht mehr gut erkennbr. Abb. 6: Räumliches Modell

7 Hns Wlser: Rhombenfiguren 7 / 1 Die Abbildung 7 zeigt eine ndere Möglichkeit die Niveus zu setzen. Abb. 7: Andere Niveusetzung

8 Hns Wlser: Rhombenfiguren 8 / 1 Die Abbildung 8 zeigt ds zugehörige räumliche Modell. Abb. 8: Räumliches Modell 5 Qudrte In der Abbildung 4 erkennen wir uch cht Qudrte. Allerding sehen wir in den Abbildungen 5 und 7, dss die vier Eckpunkte dieser Qudrte nicht in einer Ebene liegen. Wir können sie lso nicht ls ebene Rhomben in unsere Modelle einbuen. 6 Topologie 6.1 Euler-Weg. Rösselsprung Wegen dem Grd 4 ist der Grf der Abbildung 4 ein geschlossener Euler-Weg. Jede Strecke knn ls Rösselsprung uf einem Schchbrett gesehen werden (Abb. 9).

9 Hns Wlser: Rhombenfiguren 9 / 1 Abb. 9: Rösselsprung 6.2 Eulersche Chrkteristik Unsere Figur ht 16 Knoten, 32 Knten und 16 Rhomben. Die Eulersche Chrkteristik ist lso null, wie beim Torus. Unser Modell ist ber kein Torus. 7 Knuthsche Figur Die Abbildung 4 enthält im Zentrum die Knuthsche Figur (Abb. 1) (Hoehn und Wlser 23). ) b) Abb. 1: Knuthsche Figur Die Knuthsche Figur enthält ds pythgoreische Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3:4:5 in verschiedenen Größen (Abb. 1b).

10 Hns Wlser: Rhombenfiguren 1 / 1 Ds größte dieser Dreiecke finden wir uch in der erweiterten Knuthschen Figur der Abbildung 4. 8 Vierdimensionler Hyperwürfel Die Abbildung 11 zeigt eine isometrische Projektion des vierdimensionlen Hyperwürfels. Ds Umriss-Achteck ist nun regelmäßig. Alle Rhomben sind kongruent. Viele unserer Überlegungen hätten wir uch n diesem Grfen durchführen können. Abb. 11: Vierdimensionler Hyperwürfel Litertur Hoehn, Alfred und Wlser, Hns (23): Gittergeometrie und pythgoreische Dreiecke. Prxis der Mthemtik (5/45),