Würfel-Pyramide-Rhombendodekaeder

Transkript

1 August 2010 Würfel-Pyrmide-Rhombendodekeder Michel Schmitz Zusmmenfssung In diesem kleinen Beitrg beginnen wir mit dem Flten eines Moduls für einen Würfel nch Mitsunobu Sonobe. Aus diesem Modul entwickeln wir ein Modul für eine Pyrmide mit qudrtischer Grundfläche. Modifiktionen dieses Moduls führen uns zu qudrtischen Pyrmiden mit verschiedenen Höhen. Dbei finden wir uch eine Pyrmide, deren Höhe der hlben Kntenlänge des Grundqudrtes entspricht, sodss sich mit sechs kongruenten Exemplren dieser ein Würfel zusmmensetzen lässt. Durch Umstülpen dieses Würfels kommen wir zum Rhombendodekeder. In diesem Beitrg wird besonderer Wert uf die Entwicklung eines Moduls zum Bu von Pyrmiden gelegt. Es wird nicht nur die Fltnleitung ngegeben, sondern uch der Weg dorthin steht im Mittelpunkt der Betrchtungen. Wir beginnen dmit, ein Würfelmodul von Mitsunobu Sonobe (vgl. [4]) zu flten. Die Fltnleitung ist dem Bild 1 zu entnehmen. Im Bild 1e ist ngedeutet, dss die beiden umgeflteten Dreiecke jeweils unter die gegenüberliegenden Rechtecke geschoben werden. Hben wir ds Modul bis Bild 1g gefltet, so gibt es zwei Möglichkeiten der Fortsetzung: Wir flten entlng der eingezeichneten Fltlinie entweder nch vorn oder nch hinten. Hier sollen beide Vrinten gezeigt werden. Zuerst flten wir nch vorn und fertigen weitere fünf dieser Module n. Vier von diesen werden entsprechend der Bildfolge us Bild 2 zusmmengesetzt. Dbei liegen die Steckverbindungen dnn im Inneren des Würfels. Die restlichen beiden Module werden nlog eingefügt, sodss der Würfel us Bild 3 entsteht.

2 Fertigen wir sechs weitere Module entsprechend der Fltnleitung us Bild 1 n und flten lle entsprechend der im Bild 1g eingezeichneten Fltlinie nch hinten, so können wir uch einen Würfel zusmmensetzen. Jetzt liegen llerdings die Steckverbindungen ußerhlb der Würfels. Der fertige Würfel ist im Bild 3b zu sehen. Beide Würfel gehen durch Umstülpen useinnder hervor, ds Innere des einen Würfels ist ds Äußere des nderen. Gehen wir für beide Würfel von einem qudrtischen Fltppier mit der Kntenlänge us, so hben beide Würfel jeweils die Kntenlänge 2. Folglich beträgt ds Volumen der Würfel V W = Dieses Ergebnis steht mit unserer Erfhrung im Einklng, dss ein Würfel mit der Kntenlänge in cht kongruente Würfel, jeweils mit der Kntenlänge 2, zerlegt werden knn. Fertigen wir cht solche Würfel mit der Kntenlänge 2 n, so können wir diese uch prktisch zu einem großen Würfel mit der Kntenlänge zusmmenlegen. Beim Zusmmenbu der ersten vier Würfelmodule (Bild 2c) fällt uns eine qudrtische Grundfläche uf, n der vier Dreiecke nschließen. Diese vier Dreiecke lssen sich ber nicht zu einer Pyrmide mit qudrtischer Grundfläche ufrichten. Wir können dies ber erreichen, indem wir die qudrtische Grundfläche zusmmengesteckt lssen, ber die drn nschließenden Dreiecke entflten, sodss Rechtecke entstehen (Bild 4). Nun werden diese Rechtecke zu gleichschenkligen Dreiecken, deren Bsis eine Knte der qudrtischen Grundfläche ist, gefltet. Dies ist im Bild 5 für ein Modul drgestellt. Nun lssen sich die vier Dreiecke zu einer gerden qudrtischen Pyrmide ufrichten. Diese Dreiecke hlten ber noch nicht zusmmen, d sie untereinnder noch nicht vernkert sind. Dies können wir erreichen, indem wir eines der m gleichschenkligen Dreieck überstehenden Dreiecke in eine Tsche verwndeln und ds ndere ls Lsche benutzen. Ds Vorgehen wird wieder nur für ein Modul in den Bildern 5b bis 5d gezeigt. Wir müssen druf chten, dss lle vier Module gleich behndelt werden, dmit m Ende lles gut zusmmenpsst. Bild 5b zeigt, wie ds linke Dreieck zu einer Tsche nch innen gefltet wird. Die zugehörigen Fltlinien sind bereits vorhnden, müssen nur entgegengesetzt gefltet werden. Im Bild 5c ist zu sehen, wie ds kleine überstehende Dreieck unter dem gegenüberliegenden Rechteck verschwindet. Nun wird ds rechte Dreieck, die Lsche, noch einml über ds gleichschenklige Dreieck und der überstehende Rest nch hinten gefltet. Dnn wird die Lsche wieder ufgefltet und ds Ergebnis ist im Bild 5d zu sehen. Nchdem die qudrtische Grundfläche wieder zusmmengefügt wurde (Bild 5e), können nun die Dreiecke nch oben ufgerichtet und untereinnder verbunden werden. Die fertige Pyrmide ist im Bild 6 zu sehen. Diese Pyrmide ht eine besondere Eigenschft, die wir erkennen, wenn wir bechten, dss sowohl die Höhe der dreieckigen Seitenflächen der Pyrmide ls uch die Knten der qudrtischen Grundfläche die Länge 2 hben. Betrchten wir nämlich die in Bild 7 drgestellte Pyrmide, so sehen wir, dss ds Dreieck LRS gleichseitig ist und die Seitenlänge 2 ht. Folglich ht der Neigungswinkel der Seitenflächen der Pyrmide gegenüber der Grundfläche eine Größe von Auch die Neigungswinkel zweier gegenüberliegender Seitenflächen ht eine Größe von Dmit können wir sechs solche Pyrmiden Seite n Seite um die Spitze S oder um eine Knte der Grundfläche zu einem Ring Seite 2

3 zusmmenlegen. Die Bilder 8 und 8b zeigen beide Möglichkeiten. (Etws Klebebnd hilft beim Zusmmenhlten der sechs Pyrmiden.) Nun bestimmen wir noch die Höhe h der Pyrmide im Dreieck SHR (Bild 7). Nch dem Stz des Pythgors erhlten wir h 2 = ( 2 )2 ( 4 )2, lso h = 4 3. Dmit können wir uch ds Volumen der Pyrmide berechnen: V P V P = = 1 3 A G h = 1 3 ( 2 )2 4 3, lso Abschließend berechnen wir noch die Länge s der Pyrmidenknten von der Spitze S zu eine Ecke der Grundfläche. Wir erhlten im Dreieck SHC: s 2 = h 2 +( AC 2 )2 = ( 4 3) 2 +( 4 2) 2 = , lso s = 4 5. Als nächstes bestimmen wir die Größe des Neigungswinkels zweier Seitenflächen der Pyrmide, die eine gemeinsme Knte hben. Wir betrchten dzu die beiden Seitenflächen ABS und BCS. Von A fällen wir ds Lot uf BS und bezeichnen den Lotfußpunkt mit X (Bild 9). D sich ds Dreieck ABS um BS so drehen lässt, dss A nch C geht, ist uch CX senkrecht zu BS. Um den gesuchten Neigungswinkel zu bestimmen, müssen wir die Größe des Winkels AXC bestimmen. D AX und CX senkrecht uf BS ist, ist uch die durch A, C und X bestimmte Ebene senkrecht zu BS. Folglich ist uch HX senkrecht uf BS und wir können BX mit Hilfe des Kthetenstzes im rechtwinkligen Dreieck SHB bestimmen: HB 2 = BX BS, lso BX = HB 2 s = 2 8s = Dmit können wir im rechtwinkligen Dreieck ABX die Länge von AX berechnen: AX 2 = AB 2 BX 2 = ( 2 )2 ( 10 5) 2 = = 2 5, lso AX = 5 5 und dmit uch CX = 5 5. Nun können wir mit Hilfe des Kosinusstzes die Größe ϕ des gesuchten Winkels im Dreieck ACX bestimmen: AC 2 = AX 2 + CX 2 2 AX CX cosϕ. Wir erhlten mit den bisher berechneten Werten: ( 2 2) 2 = cosϕ worus cosϕ = 1 4, lso ϕ 104, 480 folgt. Dmit ist klr, dss diese Pyrmide kein Rumfüller ist. Die eben gefltete Pyrmide verwenden wir zum Bu eines neuen Körpers. Unsere Pyrmide ht nämlich die Eigenschft, dss ihre Grundfläche zu den Seitenflächen des Ausgngswürfels kongruent ist. Dher können wir sechs solche Pyrmiden uf die Seitenflächen der Würfels setzen, wodurch ein neuer, sternförmiger Körper entsteht. Im Bild 10 sehen wir drei uf den Würfel ufgesetzte Pyrmiden. Wir sehen, dss n einer Würfelknte zwei Seitenflächen von Pyrmiden zusmmentreffen. Dher müsste es möglich sein, diesen sternförmigen Körper direkt us Modulen ufzubuen. Diese Module entstehen us dem bisher geflteten Pyrmidenmodul (Bild 5 bis 5d). Wir müssen nur die untere Hälfte, die bisher die Grundfläche der Pyrmide ergb, so wie die obere Hälfte flten, die dnn ein weiteres Dreieck ergibt. Dieses Modul ist im Bild 10b gezeigt. Nun können wir us 12 solchen Modulen den sternförmigen Körper zusmmenstecken. Bild 10c zeigt den fertigen Körper, der von 24 kongruenten gleichschenkligen Dreiecken begrenzt wird. Als nächstes stellen wir uns die Frge, ob wir in ähnlicher Weise wie oben uch Pyrmiden herstellen können, die eine ndere Höhe hben. Dzu müssen wir ds qudrtische Fltppier durch rechteckiges ersetzen. Bechten müssen wir, dss im unteren Teil die Fltung us Bild 5 bis d erhlten bleibt, dmit sich die qudrtische Pyrmidengrundfläche bilden lässt. In den Bildern 11 bis 11j ist die Fltnleitung für ein DIN A5 Bltt gezeigt. Seite 3

4 Nchdem wir die Fltung bis Bild 11j durchgeführt hben, flten wir die Lsche wieder useinnder. Bild 11k zeigt ein Foto des fertig geflteten Moduls. Wir schneiden noch oben n der Lsche einen Teil entsprechend der Mrkierung b, dmit ds Zusmmenstecken der dreieckigen Seitenflächen möglich wird. Bild 11m zeigt die fertige Pyrmide. Ntürlich können wir hier uch ds Volumen dieser Pyrmide, Neigungswinkel von Flächen,... berechnen. Aber vielleicht ist es wichtiger, dieses Modul von den Schülern selbst entwickeln zu lssen. Die Fltnleitung us Bild 11 bis 11j eignet sich ntürlich uch für ndere Rechteckformte. Lediglich bei den Lschen müssen wir bechten, dss die Module gut zusmmenpssen. Wir setzen mit einer weiteren Pyrmide fort. Dzu betrchten wir in einem Würfel (Bild 12) die Rumdigonlen. Ddurch wird der Würfel in sechs kongruente Pyrmiden eingeteilt. Eine diese Pyrmiden ist im Bild 12b drgestellt. D sechs dieser Pyrmiden zu einem Würfel zusmmengesetzt werden können und mit Würfeln der Rum schlicht und lückenlos usgefüllt werden knn, ist diese Pyrmide uch ein Rumfüller, im Gegenstz zu der m Anfng betrchteten Pyrmide. Wir wollen im Folgendem uch diese Pyrmide us geflteten Modulen herstellen und dnn mit sechs solcher Pyrmiden einen Würfel zusmmensetzen. Dzu müssen wir uns zuerst überlegen, wie groß ds rechteckige Fltppier sein muss, ds entsprechend der obigen Beschreibung des Pyrmidenmoduls gebrucht wird. D die Länge der Grundknte der zu buenden Pyrmide wieder 2 sein soll, muss ds rechteckige Fltppier die Breite hben. Die Höhe dieses Rechtecks setzt sich us zwei Teilen zusmmen: Der untere Teil, us dem dnn die Grundfläche der Pyrmide entstehen soll, muss die Höhe 2 hben. Der obere Teil, der dnn eine Seitenfläche der Pyrmide bildet, ht die Höhe SR (Bild 12b). Dies entspricht der Länge der Höhe einer Seitenfläche der Pyrmide. Wir berechnen zuerst diese Höhe. Dzu benutzen wir die Bezeichnungen us Bild 12b. D die Pyrmide durch die Rumdigonlen des Würfels (Bild 12) gebildet wird, ist sofort klr, dss für die Höhe der Seite 4

5 Pyrmide h = 4 gilt. Im rechtwinkligen Dreieck SMR berechnen wir RS 2 = h 2 + MR 2 = ( 4 )2 +( 4 )2, lso RS = 4 2. Weil , 85 < ist, können wir mit qudrtischem Fltppier der Kntenlänge beginnen, ds wir in einer Richtung uf die Kntenlänge ( ) 2 kürzen, wie es im Bild 13 gezeigt ist. Nun flten wir entsprechend der Überlegungen von oben. Die entsprechende Fltreihenfolge ist in den Bildern 14 bis 14g drgestellt. Bild 14h zeigt ds fertige Modul und Bild 14i die us vier Modulen zusmmengesetze Pyrmide. Wir müssen llerdings druf hinweisen, dss bei dieser Pyrmide die Seitenflächen nicht so gut zusmmenhlten, wie bei der vorhergehenden. Ds liegt drn, dss sich die Pyrmidenmodule nicht so gut ineinnder vernkern. Etws Klebestreifen hilft bei diesem Problem. Um us einem qudrtischen Fltppier mit der Kntenlänge ein Rechteck zu mchen, bei dem ein Pr prlleler Knten die Länge ( ) 2 ht, genügt es für unsere Fltrbeiten einfch 0, 85 uszurechen und dies uf ds qudrtische Fltppier zu übertrgen. Aber ntürlich wollen wir uch wissen, wie wir dies llein durch Flten erreichen können. Gehen wir lso von einem qudrtischen Fltppier ABCD mit der Kntenlänge us (Bild 15), dnn ist die Frge, wie wir die Linie EF durch Flten bestimmen können, sodss die in Bild 15 gezeigten Mße entstehen. Dbei bezeichnen N, G und H die Mittelpunkte der entsprechenden Seiten. Die Punkte E und F sind gesucht, sodss EF GH und HF = 4 2 ist. Die Grundidee ist schnell gefunden: Eine Strecke der Länge 4 2 knn ufgefsst werden ls eine Digonle in einem Qudrt mit der Seitenlänge 4. Ein solches Qudrt lässt sich im Ausgngsqudrt leicht erzeugen. Dzu flten wir C uf N, wodurch die Fltlinie U V entsteht (Bild 15b). Nun flten wir C uf GH, sodss die Fltlinie durch H geht, C ist dbei der Bildpunkt von C beim Flten. Diese Fltline geht ntürlich uch durch N, und C ist der Mittelpunkt des Qudrtes. Seite 5

6 Die Fltlinie UV schneidet die Fltlinie HN im Punkt X und die Fltlinie GH in J. Weil HJX ein bei J rechtwinkliges gleichschenkliges Dreieck mit der Kthetenlänge 4 ist, folgt HX = 4 2. Nun müssen wir nur noch HX uf HC von H us übertrgen. Dies können wir ber leicht mit einer Spiegelung n der Winkelhlbierenden von CHN erreichen. Dzu flten wir C so uf HN, dss die Fltline durch H geht (Bilde 15c). C ist der zugehörige Bildpunkt. Mit W bezeichnen wir den Schnittpunkt dieser Fltline mit CD. Nun müssen wir nur noch durch X so flten, dss W uf HW zu liegen kommt. Diese Fltlinie schneidet BC im gesuchten Punkt F. Abschließend flten wir C uf BF, sodss die Fltlinie durch F geht. Auf diese Weise entsteht uf AD der Punkt E. Jetzt können wir ds qudrtische Ausgngsppier entlng EF kürzen und erhlten ds pssende, rechteckige Fltppier für ds Pyrmidenmodul. Beim Einzeichnen der Strecke EF fällt uns uf, dss diese Strecke scheinbr durch C geht. Flls unsere Vermutung richtig ist, verkürzt sich unsere Fltnleitung zur Bestimmung der Strecke EF erheblich. Diese Vermutung werden wir jetzt überprüfen, indem wir von C ds Lot uf CD fällen und dessen Länge h bestimmen. Diese Länge muss dnn mit F C = = 4 (2 2) verglichen werden. Zur Bestimmung von h betrchten wir ds Dreieck NC W. Dieses Dreieck ist bei C rechtwinklig und wegen CHN = 45 0 ist uch C NW = Dmit ist ds Dreieck NC W gleichschenklig mit C N = C W = r. Wegen der Fltung von C nch C ist uch CW = r. Mit dem Stz des Pythgors erhlten wir im Dreieck NC W : r 2 + r 2 = ( 2 r)2. Drus ergibt sich eine qudrtische Gleichung für r: r 2 + r 2 4 = 0. Diese Gleichung ht die beiden Lösungen r 1/2 = 2 ± 2. D r positiv ist, entfällt die negtive Lösung der qudrtischen Ausgngsgleichung und wir erhlten r = = 2 ( 1 + 2). Nun können wir h berechnen. Weil NC W ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ist, können wir dieses ls ein hlbes Qudrt uffssen, in dem NW eine Digonle ist. Dnn ist h die hlbe Länge der nderen Digonle dieses Qudrtes. Es gilt demzufolge h = 1 2 r 2 = ( 1 + 2) 2 = 4 (2 2) = F C. Dmit stimmt ttsächlich h mit F C überein und unsere Vermutung ist bewiesen. Dmit können wir die Linie EF in unserem qudrtischen Fltppier schneller bestimmen: Zuerst wird die Linie HN gefltet (Bild 15). Anschließend flten wir C so uf HN, dss die Fltlinie durch H geht. Dbei entsteht uf HN der Punkt C. Nun flten wir CD so prllel um, dss die Fltline durch C geht, womit wir die gesuchte Linie EF schon gefunden hben. Betrchten wir noch einml Bild 15c und dvon ds rechte obere Viertel C HCN vergrößert im Bild 15d. C HCN ist ntürlich ein Qudrt mit der Seitenlänge 2. Bezeichnen wir nun noch den Fußpunkt des Lotes von C uf CN mit Z und den Schnittpunkt von F C und NC mit Y, dnn sind die beiden Dreiecke Y C Z und ZNC kongruent zueinnder. Beide Dreiecke stimmen in NC und den beiden dort nliegenden Winkeln überein. Folglich ist uch Y C = h. Ds heißt: Flten wir eine Ecke (hier C) eines Qudrtes mit der Seitenlänge 2 uf die gegenüberliegende Digonle (hier HN), so ht die umgefltete Ecke (hier C ) von zwei Qudrtknten, die sich in einem Endpunkt der betrchteten Digonle treffen, jeweils gleichen Abstnd. Der kürzere dieser beiden Abstände ist unser gesuchter Abstnd h. Übertrgen wir diese Überlegung (Streckung mit dem Fktor 2) uf unser Ausgngsqudrt ABCD mit der Seitenlänge (Bild 16) und flten B uf die Digonle AC. Dnn ht der Bildpunkt B von B uf AC insbesondere von CD den Abstnd 2h. Wir müssen lso nur noch CD prllel so umflten, dss die umgefltete Knte durch B geht. Die zugehörige Fltlinie ist unsere gesuchte Strecke EF. Dmit hben wir ber noch eine weitere Vrinte gefunden, ds rechteckige Fltppier für unser Pyrmidenmodul herzustellen. Als nächstes flten wir ein Pyrmidenmodul us einem qudrtischen Fltppier, in dem die Fltlinie Seite 6

7 EF nch Bild 16 gefltet wurde. Allerdings trennen wir jetzt ds schmle Rechteck nicht b. Dmit lösen wir gleichzeitig des obige Problem der Vernkerung der Pyrmidenmodule untereinnder. Die Bilder 17 bis 17k zeigen die neue Fltreihenfolge, wobei wir mit einem Qudrt, ds nch Bild 16 vorbereitet wurde, strten. Im Bild 17m ist ds fertige Modul zu sehen und im Bild 17n ist dieses Modul ufgerichtet, so wie es nschließend verbut wird. In diesem Bild ist uch deutlich der Anker zu sehen, der die Seitendreiecke der Pyrmide dnn gut zusmmenhält. Bild 17o zeigt schließlich die fertige Pyrmide. Der Zusmmenbu von vier solchen Modulen zu einer Pyrmide ist etws kniffelig, insbesondere ds Einführen der letzten Lsche, um die Pyrmide zu schließen. Hier können wir notflls etws schummeln, indem wir von der letzten Lsche den Anker einfch nch hinten umflten, so wie es im Bild 17p zu sehen ist. Diese Lsche lässt sich nun problemlos in die Tsche des entsprechenden Seitendreiecks einführen, ohne ds eine Vernkerung mit dem druffolgenden Seitendreieck erfolgt. Die Pyrmide hält trotzdem gut zusmmen. Nun erinnern wir uns wieder drn, weshlb wir eigentlich diese Pyrmide gebut hben. Sie ist etws besonderes, denn sechs solche Pyrmiden lssen sich um die Pyrmidenspitze so zusmmenlegen, dss ein Würfel entsteht. Um dies zu verdeutlichen fertigen wir fünf weitere Pyrmiden dieser Art n. Die Grundflächen dieser sechs Pyrmiden lssen sich nun zu einem Würfelnetz zusmmenlegen, wie es im Bild 18 gezeigt ist. Wir nutzen Klebepunkte, um zwei neinnderstoßende Grundflächen wie mit einem Schrnier zu verbinden. Nun können wir ds Würfelnetz zu einem Würfel mit der Kntenlänge 2 zusmmenflten, wie es im Bild 18b zu sehen ist. Die Pyrmidenspitzen treffen sich im Würfelmittelpunkt. Bild 18c zeigt unseren Würfel, der us Pyrmiden zusmmengesetzt ist im Vergleich zu dem Würfel, den wir m Anfng gebut hben. Die Pyrmide, die wir hier verwenden, ht ufgrund ihrer Konstruktion die folgenden Eigenschften: - Die Größe des Neigungswinkels von zwei gegenüberliegenden Seitendreiecken beträgt Die Größe des Neigungswinkels von zwei benchbrten Seitendreiecken beträgt Die Größe des Neigungswinkels eines Seitendreiecks gegenüber der Grundfläche beträgt Seite 7

8 Ntürlich können wir ds Würfelnetz us Bild 18 nicht nur so zum Würfel zusmmenflten, dss die sechs Pyrmiden im Innern des Würfels liegen. Wir können ds Würfelnetz uch so zum Würfel zusmmenflten, dss die sechs Pyrmiden nch ußen zeigen (Bild 19). Bild 19b zeigt den kompletten Körper, der sich drus ergibt. Wir sehen, dss zwei Seitendreiecke, die eine Würfelknte gemeinsm hben, in einer Ebene liegen und einen Rhombus bilden. Dies liegt n der oben gennnten Pyrmideneigenschft, dss die Größe des Neigungswinkels jedes Seitendreiecks gegenüber der Grundfläche 45 0 beträgt. D unser neues Polyeder durch 6 4 = 24 kongruente gleichschenklige Dreiecke begrenzt wird, von denen je zwei einen Rhombus bilden, entsteht ein Körper der durch 12 kongruente Rhomben begrenzt wird. Dieser Körper wird Rhombendodekeder gennnt und er entsteht durch ds Umstülpen eines Würfels mit den inneren Pyrmiden. Ds Rhombendodekeder ht 14 Ecken, dvon sechs Pyrmidenspitzen und cht Würfelecken. Dmit gibt es uch zwei Sorten von Ecken: In den sechs Pyrmidenspitzen treffen jeweils vier Rhomben (mit dem spitzen Winkel) und in den cht Würfelecken treffen jeweils drei Rhomben (mit den stumpfen Winkeln) zusmmen. Weil die Neigungswinkel zweier benchbrter Rhomben immer eine Größe von hben, ist ds Rhombendodekeder uch ein Rumfüller. Weiterhin können wir us unserer Konstruktion sofort blesen, dss ds Rhombendodekeder eine Inkugel besitzt, deren Mittelpunkt der Würfelmittelpunkt ist und die jede Rhombenfläche im Kntenmittelpunkt des Würfels berührt. Der Würfelmittelpunkt ist uch der Mittelpunkt der Umkugel des Rhombendodekeders. Weil die Kntenlänge des Rhombendodekeders gleich der Länge der hlben Rumdigonlen des Würfels ist, geht diese Umkugel durch lle 14 Körperecken. Ds Volumen des Rhombendodekeders ist gleich dem doppelten Volumen des einbeschriebenen Würfels. D der Würfel us qudrtischem Fltppier der Kntenlänge entstnden ist und dmit eine Kntenlänge von 2 ht, ist ds Würfelvolumen V W = Folglich ist ds Volumen des Rhombendodekeders gleich V Rh = Weil die Kntenlänge s des Rhombendodekeders gleich der hlben Länge der Rumdigonlen eines Würfels mit der Seitenlänge 2 ist, ist s = Drus folgt = 4 3 3s. Für ds Volumen VRh erhlten Seite 8

9 wir dmit V Rh = 1 4 ( 4 3 s 3) 3 = s 3. Somit hben wir ds Volumen eines Rhombendodekeders in Abhängigkeit von seiner Kntenlänge bestimmt. Weitere interessnte Eigenschften und Anwendungsmöglichkeiten zum Rhombendodekeder findet mn in [1] und [2]. Ntürlich können wir durch Modifiktion unseres Pyrmidenmoduls uch ein Modul für ein Rhombendodekeder herstellen. Wir müssen nur in der Fltnleitung nch Bild 17-17k die untere Hälfte des Moduls genu so flten wie die obere, d.h. insbesondere müssen wir uch von der unteren Qudrtknte (Bild 17) den Abstnd h btrgen. Die Bilder 20 und 20b zeigen ds fertige Modul. Aus 12 dieser Module lässt sich ein Rhombendodekeder zusmmenstecken, ds in Bild 20c gezeigt ist. An dieser Stelle soll uch noch uf ein Modul für ein Rombendodekeder us [3] hingewiesen werden. Dieses Modul wird us einem DIN A4-Ppier hergestellt. Auch rhombische Tetreder und Pyrmiden werden dort gebut. Litertur [1] Fejes Tóth, László: Wht the bees know nd wht they do not know. Bulletin of the Americn mthemticl Society, Bnd 70, 1964, S [2] Hemme, Heinrich: Die Mthemtik der Bienenwbe. In: Spektrum der Wissenschft - Mthemtische Unterhltung, DIGEST 2/2002, S [3] Mitchell, Dvid: Mthemticl Origmi. Trquin Publictions, [4] Multinho, Pulo: Pfiffiges Origmi. Knuer, Schlussbemerkung Die hier gezeigten Fltbeispiele sollen Anregungen geben, im Mthemtikunterricht unserer Schulen ds Flten von Ppier zu nutzen, um mthemtische Inhlte entdecken zu lssen, einzuführen oder zu üben. Die Möglichkeiten dzu sind vielfältig. Auf der Internetseite findet mn weitere Beispiele. Ich würde mich freuen, von Ihnen Hinweise, Anregungen oder Erfhrungsberichte zu dieser Themtik zu erhlten. Schreiben Sie mir eine E-Mil ([email protected]) oder benutzen Sie ds Forum uf der oben gennnten Internetseite. Seite 9