2 Trigonometrische Formeln

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1 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 $Id: trig.tex,v /05/06 1:6:14 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die dditionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der dditionstheoreme der trigonometrischen Funktionen im Fll spitzer Winkel vorgeführt. Für Winkel 0 <, < π/ mit + < π/ htten wir gezeigt, dss sin( + sin cos + cos sin, cos( + cos cos sin sin, tn( + tn + tn 1 tn tn gelten. Um diese Formeln uch uf den Fll stumpfer Winkel uszudehnen, ist es sinnvoll erst einml die Formeln für die Sutrktion spitzer Winkel zu ehndeln. Wir eschränken uns dei uf Sinus und osinus, die Formeln für den Tngens knn mn dnn rechnerisch herleiten. Seien lso zwei Winkel 0 < < < π/ gegeen. Wir gehen ähnlich wie eim eweis der dditionsformeln vor und etrchten die folgende Figur: M D F E Wir eginnen wieder mit einem Viertelkreis mit Mittelpunkt M und Rdius 1. In diesem trgen wir den Winkel ei M, und in ihm enthlten dnn uch den kleineren Winkel. Seien und die Schnittpunkte dieser eiden Winkel mit dem Einheitskreis und fälle ds Lot von uf M. ezeichnet den Lotfußpunkt, so 8-1

2 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 können wir Sinus und osinus von im rechtwinkligen Dreieck M ls sin( und cos( M lesen. Fälle nun ds Lot von uf die untere egrenzung des Viertelkreises und erhlte den Fußpunkt F. Von F us fälle dnn die Lote uf M mit Fußpunkt D und uf mit Fußpunkt E. Wie eim eweis der dditionsformel ht ds Dreieck F E ei den Winkel. Nun ist F ED ein Prllelogrm, lso und sin( E E E DF cos( M MD + D MD + F E F cos MF sin sin cos cos sin MF cos + F sin cos cos + sin sin. Dies sind schon die eiden Sutrktionsformeln, und dmit steht lles ereit uch den Fll stumpfer Winkel zu untersuchen. Erinnern sie sich drn, dss wir Sinus und osinus durch die Formeln sin π : 1, cos π : 0, sin : sin(π und cos : cos(π für π/ < < π uf den Fll stumpfer Winkel usgedehnt htten. Weiter werden wir die Formeln für omplementärwinkel enötigen, lso die für 0 < φ < π/ gültigen Formeln sin φ cos φ und cos φ sin φ. Der erste noch zu ehndelnde Fll der dditionstheoreme sind jetzt zwei spitze Winkel die sich zu einem Rechten ergänzen. In dieser Sitution wird ds dditionstheorem für den Sinus zum Stz des Pythgors und ds des osinus ist klr. Seien nämlich 0 <, < π/ spitze Winkel mit + π/. Dnn sind und omplementärwinkel in einem rechtwinkligen Dreieck und somit gelten sin cos + cos sin sin sin + cos cos sowie cos cos sin sin cos sin sin cos sin + cos 1 sin( + cos sin sin cos 0 cos( +. 8-

3 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 Der letzte noch verleiende Fll in dem und spitze Winkel sind, ist die Sitution 0 <, < π/ mit einem stumpfen +, lso + > π/. In diesem Fll hen wir die eiden omplementärwinkel 0 < π/, π/ < π/ mit + π ( + < π, und es folgen und sin( + sin(π ( + sin cos +cos sin cos sin + sin cos cos( + cos(π ( + sin sin cos cos cos cos sin sin. Dmit sind lle Fälle ehndelt in denen, eides spitze Winkel sind. Es vereien dnn die Möglichkeiten π/ oder π/. D wir llerdings + < π hen müssen, können nicht eide lterntiven zugleich zutreffen, einer der eiden Winkel muss lso spitz sein. Durch eventuelles Vertuschen von und können wir dnn 0 < < π/ nnehmen. Für π/ werden dnn und sin( + sin cos( + cos ( + π sin ( π ( + π sin cos sin cos π + cos sin π ( + π ( ( cos π + π cos sin cos cos π sin sin π. Dmit sind wir eim llerletzten Fll ngelngt, dss lso 0 < < π/ spitz ist und π/ < < π stumpf ist. Weiter muss + < π gelten. Diesen Fll führen wir uf die Sutrktionsformel für spitze Winkel zurück, es sind 0 < < π < π/ und somit wird sin( + sin(π ( + sin((π sowie sin(π cos cos(π sin sin cos + cos sin cos( + cos((π cos(π cos sin(π sin cos cos sin sin. uch die Sutrktionsformel läßt sich für 0 < < < π entsprechend eweisen, d wir inzwischen gesehen hen ds diese eweise eher uchhltung sind, wollen wir hier druf verzichten dies im Detil vorzuführen. 8-3

4 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5. Verdoppelungs- und Hlierungsformeln ls Verdoppelungsformeln ezeichnet mn die Formeln für die Werte der trigonometrischen Funktionen ei verdoppelten Winkel, lso für sin(, cos( und tn(, und die Hlierungsformeln sind dnn entsprechend die Formeln für die hlierten Winkel. Mn knn ll diese Formeln ntürlich durch Spezilisieren der dditionstheoreme uf erhlten, lso etw sin( sin( + sin cos, cos( cos( + cos sin cos 1 1 sin, tn( tn( + tn 1 tn, sie lssen sich er uch geometrisch n einer geeigneten Figur gewinnen. Wir etrchten einen Hlkreis mit Rdius 1 und Mittelpunkt M und ezeichnen den unteren Durchmesser dieses Hlkreises ls. Dnn ist M der Mittelpunkt von und es ist. Weiter sei ein Winkel 0 < < π/ gegeen und trge diesen im Hlkreis ei. ezeichnet den entstehenden Schnittpunkt mit unserem Hlkreis, so ht ds Dreieck nch dem Stz von Thles 1.Stz 1 ei einen rechten Winkel. Die Seitenlängen in diesem Dreieck sind dnn in den Stndrdezeichnungen gegeen ls sin, cos und c. M P Ziehen wir jetzt die Verindungsstrecke M, so entsteht ein weiteres Dreieck M. Der Winkel von M ei M ist der Mittelpunktswinkel der Seknte unseres Hlkreises und unser gegeener Winkel ist der Perepheriewinkel dieser Seknte ei, der Winkel von M ei M ist nch dem Perepheriewinkelstz 1.Stz.( lso gleich. Fällen wir lso ds Lot von uf und ezeichnen den Fußpunkt mit P, 8-4

5 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 so sind sin( P und cos( MP d die Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks MP ein Rdius unseres Hlkreises ist und dmit die Länge M 1 ht. Dem rechtwinkligen Dreieck P entnehmen wir sin P sin(, lso sin( sin cos cos und wir hen eine geometrische egründung der Verdoppelungsformel des Sinus. Eenflls im Dreieck MP sehen wir cos P 1 + MP 1 + cos( cos, lso cos( cos 1 und dies ist eine der eiden Verdoppelungsformeln des osinus. uch die ndere Vrinte dieser Formel können wir n unserer Figur sehen. Dzu echten wir zunächst ds ds Dreieck M ei M gleichschenklig ist, lso sind die Winkel in diesem Dreieck nch ufge (9. ei und gleich, etw, und wir erhlten π + (+, lso π/. Im rechtwinkligen Dreieck P liegt dmit ei der Winkel π/ n, und es ergit sich lso uch sin P P sin, cos( MP 1 P 1 sin. Wir können n unserer Figur weiter uch zwei Gleichungen für den Tngens von sehen. Im rechtwinkligen Dreieck P erhlten wir tn P P und eenso liefert ds rechtwinklige Dreieck P tn P 1 + MP sin( 1 + cos(, P P 1 MP P 1 cos(. sin( Setzen wir in diese eiden Formeln noch θ ein, so ergit sich die Hlierungsformel des Tngens in ihren eiden Vrinten tn θ sin θ 1 + cos θ 1 cos θ. sin θ Mit derselen Sustitution ergeen sich us cos( cos 1 1 sin dnn uch die Hlierungsformeln für Sinus und osinus, us und cos θ cos θ 1 folgt cos θ 1 + cos θ cos θ 1 sin θ ergit sin θ 1 cos θ. 8-5

6 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen In diesem schnitt wollen wir uns einige der exkt erechenren Werte von Sinus, osinus und Tngens nschuen und uns für diese uch jeweils eine geometrische Herleitung üerlegen. D die Werte für π/ direkt vorgegeen sind, eginnen wir mit 60. Wir etrchten ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge c > 0. Nch ufge (9. sind dnn uch lle Winkel in gleich, lso γ und somit hen wir 3 π eziehungsweise π/3. Eenflls nch ufge (9. stimmen in die Seitenhlierende und die Höhe h uf üerein, und der Stz des Pythgors 1.Stz 1 im rechtwinkligen Dreieck liefert ( + h, lso h 3. Nun können wir Sinus, osinus und Tngens in lesen und erhlten sin π 3 cos π 3 tn π 3 h 1 3, 1 1, h 1 3. Nun kommen wir zu einem Winkel von 45. Genuso wie sich die Werte des Winkels π/3 durch etrchtung eines gleichseitigen Dreiecks ergen, müssen wir diesml ein gleichseitiges Viereck untersuchen. Gegeen sei ein Qudrt D der Seitenlänge > 0. Dnn ziehen wir die Digonle und etrchten D ds rechtwinklige Dreieck. D dieses Dreieck ei gleichschenklig ist, sind die eiden Winkel ei und nch ufge (9. gleich, etw. Es folgt π/, lso ist π/4. Mit dem Stz Pythgors 1.Stz 1 folgt für die Länge der Digonle im Qudrt uch, lso. Dmit können wir unsere gesuchten trigonometrischen Werte in lesen und es ergeen sich sin π 4 1 1, h cos π 4 1, tn π

7 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 Winkel von 36, lso π/5, sind etws komplizierter, dher stellen wir diese erst einml zurück und schuen uns 30 n. Genuso wie π/3 mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun htte und π/4 entsprechend mit einem Qudrt, werden wir für π/6 ein gleichseitiges Sechseck etrchten und eginnen dher mit einer Voremerkung üer gleichseitige n-ecke. In ufge ( htten wir ein konvexes n-eck für eine ntürliche Zhl n 3 ls ein Tupel 1... n etrchtet ei dem die Punkte 1,..., n den Rnd des n- Ecks ufeinnderfolgend im Gegenuhrzeigersinn umlufen. Dieser Rnd setzt sich dnn us den n Knten 1, 3,..., n 1 zusmmen, und mn nennt gleichseitig wenn diese lle diesele Länge hen, wenn lso : 1 n 1 gilt. Die Zhl heißt dnn die Kntenlänge des gleichseitigen n-ecks. Ein gleichseitiges n-eck muss nicht symmetrisch sein, zum eispiel muss ein gleichseitiges Viereck noch kein Qudrt sein, es knn sich uch um ein Prllelogrm hndeln. D Dies ist llerdings uch die einzige Möglichkeit, d.h. ein gleichseitiges Viereck D ist ein Prllelogrm. Um dies einzusehen ezeichne die Kntenlänge des Vierecks und sei der Winkel des Vierecks ei. Die Dreiecke D und D sind kongruent, lso ht unser Viereck uch ei den Winkel. Weiter ist D ei gleichschenklig, lso stimmen die Winkel dieses Dreiecks ei und D üerein und somit hen D und D ei und D stets denselen Winkel. Insesondere ist + π und dmit schneidet die Gerde die eiden Seiten und D eide im Winkel π, lso sind und D prllel. nlog sind uch D und prllel, wir hen lso ein ttsächlich ein Prllelogrm. Durch die Kntenlänge und den Winkel ist ds gleichseitige Viereck is uf Kongruenz festgelegt. Ein gleichseitiges Viereck, und erst recht ein gleichseitiges n-eck, muss lso nicht symmetrisch sein, dies ist nur im Dreiecksfll n 3 so. Die symmetrischen gleichseitigen n-ecke nennen wir regulär. 8-7

8 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 Definition.1 (Reguläre n-ecke Sei n N mit n 3. Ein konvexes n-eck heißt dnn regulär wenn es gleichseitig ist und lle seine Innenwinkel gleich sind. Hen wir ein reguläres n-eck mit Innenwinkel, so ist n die Summe ller Innenwinkel lso liefert ufge ( uch n (n π, d.h. n n In Üungsufge (15 werden sie zeigen ds ein gleichseitiges n-eck genu dnn regulär ist wenn es einen Umkreis esitzt, wenn es lso einen Kreis git der lle Eckpunkte des n-ecks enthält. Nch dieser Voremerkung kommen wir nun zu den Werten der trigonometrischen Funktionen für den Winkel π/6. Ntürlich könnten wir uch einfch die Hlierungsformeln des vorigen schnitts uf den schon erledigten Winkel π/3 nwenden, wir wollen uns hier er eine direkte geometrische Herleitung nschuen. Wir strten mit einem regulären Seckseck der Kntenlänge > 0. Zeichne den Umkreis des Sechsecks mit Mittelpunkt M und Rdius R > 0. Die γ 360 ei M werden in sechs gleiche Teile zerlegt R und somit ht unser eingezeichnetes Dreieck M h ei M den Winkel π/6 π/3. Der Innenwinkel des Sechsecks ist nch unserer oigen Formel M P gleich 4π/6 π/3. Weiter ist ds Dreieck M kongruent zu M, und insesondere sind die Winkel dieser Dreiecke ei gleich, d.h. M ist die Winkelhlierende des Innenwinkels unseres Sechsecks ei. Insesondere ht ds Dreieck M ei den Winkel / π/3, d.h. lle Winkel in diesem Dreieck sind gleich. Dmit ist M ein gleichseitiges Dreieck und insesondere ist R, d.h. Umkreisrdius und Kntenlänge sind gleich. In diesem gleichseitigen Dreieck ilden wir nun die Höhe durch und wie schon früher gesehen ist diese gleich h ( 3/. D weiter die Höhe uch gleich der Winkelhlierenden von M ei ist, erhlten wir ein ei P rechtwinkliges Dreieck MP mit Winkel γ / π/6 ei. Lesen wir die Werte der trigonometrischen Funktionen in diesem Dreieck, so ergeen sich π. sin π 6 cos π 6 tn π 6 / 1, h 1 3, / h

9 Mthemtische Proleme, SS 016 Freitg 6.5 Wie schon erwähnt knn mn diese Werte uch rechnerisch uf die schon ehndelten Werte zurückführen, entweder üer die Hlierungsformel sin π 6 1 cos π und nlog für osinus und Tngens, oder etws rffinierter sin π 6 sin π sin π 3 cos π 3 cos π sin π 3 cos π 3 1. Den Winkel π/5 36 werden wir im nächsten schnitt ehndeln, erwrtungsgemäß hängt dieser eng mit dem regulären Fünfeck zusmmen. 8-9