Beispiellösungen zu Blatt 24

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1 µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen knn! Wir geen einfch für jedes n 6 eine Zerlegung n. Sei zunächst n = m eine gerde Zhl mit m 3. Dnn ist folgende Zerlegung eines jeden Qudrtes in m kleinere Qudrte möglich: m m Aildung : Eine Zerlegung für gerdes n (n = m) Dei liegen unten zw. rechts jeweils m kleine Qudrte der Seitenlänge m neeneinnder. Insgesmt hen wir ds Qudrt somit in m = n kleine Qudrte und ein größeres Qudrt (der Seitenlänge m ) zerlegt. Für ungerdes n = m + mit m 3 git es zum Beispiel folgende Zerlegung: m- m- Aildung : Eine Zerlegung für ungerdes n (n = m + ) Diesml hen die kleinen Qudrte die Seitenlänge, so dss wir insgesmt (m ) = n von ihnen erhlten. Ds ürig leiende große m Qudrt wird in vier Qudrte unterteilt. Dmit ist lles gezeigt. (Es git ntürlich noch viele weitere Möglichkeiten zum Zerlegen.)

2 Lösungen zu Bltt Aufge Kurz vor Weihnchten plnt der Weihnchtsmnn die Route, uf der er m Weihnchtsend mit seinem von Rentier Rudolf gezogenen Schlitten einige der 6 Häuser des Städtchens Schneeerg esuchen will. Er fährt entlng des Strßennetzes uf gerder Linie von Hus zu Hus und weiß us der Erfhrung der vergngenen Jhre, dss es, je leichter der Schlitten wird, immer schwerer wird, den Rentierschlitten mit dem immer enthusistischer werdenden Rudolf zuremsen. Deswegen muss er die Route so plnen, dss der Weg vom ktuellen zum nächsten Hus immer länger ist ls der Weg vom vorherigen Hus zum ktuellen. Wie viele verschiedene Häuser knn der Weihnchtsmnn uf diese Weise höchstens esuchen und wie lng ist sein Weg dei mximl? Aildung 3: Ds Strßennetz in Schneeerg (die Punkte stellen die Häuser dr) Entlng des Strßennetzes sind vertikle, horizontle und digonle Bewegungen möglich. Hierei können nur folgende Streckenlängen in Frge kommen, woei ls Einheit der Astnd zweier vertikl zw. horizontl direkt enchrter Häuser genommen wurde:,,,, 3,, 3, 5,, 6, 7, 5, 6, 7. Wie mn leicht nchrechnet, sind diese Längen schon nch wchsender Größe geordnet. Ein Weg mximler Länge knn diese Längen lso höchstens je einml enthlten, ist demnch höchstens so lng wie die Summe dieser Strecken, d. h. 8 ( + ). Nun wird gezeigt, dss ei einer erluten Route nicht lle der vier Streckenlängen 7, 5, 6, 7 vorkommen können. Kämen diese nämlich lle vor, so müssten sie in dieser Reihenfolge ufeinnder folgend vorkommen. Der letzte Weg hätte dher die Länge 7 ; er verliefe somit von einer Ecke Schneeergs zur digonl gegenüerliegenden Ecke. Der vorletzte und der drittletzte Weg könnten dnn er nur uf derselen Digonlen verlufen sein; der drittletzte Weg (der Länge 5 ) würde dnn insesondere in einem inneren Punkt (Nicht-Eckpunkt) der Digonlen eginnen. Es git er keinen Weg der Länge 7, der in einem solchen Punkt endet, denn die Länge 7 wird nur durch horizontle zw. vertikle Wege von einem Rnd des Ortes zum gegenüerliegenden Rnd relisiert. Also können

3 Lösungen zu Bltt 3 ttsächlich nicht lle vier der größtmöglichen Weglängen in einer Route vorkommen. Eine erlute Route esteht dher höchstens us 3 Wegen (und esucht Häuser) und ht höchstens die Länge 8 ( + ) 7 = + 8 (d wir mindestens einen der Wege der Länge 7 uslssen müssen, müssen wir von der Summe ller möglichen Teilstrecken mindestens die Länge 7 sutrhieren). Eine erlute Route mit diesen Werten wird im Folgenden ngegeen. Aildung : Eine Route der Länge + 8, die Häuser esucht Aufge 3 Untenstehendes Bild zeigt ein multipliktiv-mgisches Qudrt. Mn sieht, dss die Produkte der drei Zhlen in jeder Zeile, jeder Splte und den eiden Digonlen gleich sind, und zwr Diese mgische Konstnte 6 ist interessnterweise eine Kuikzhl, lso 6 = 3. Finde weitere multipliktiv-mgische Qudrte mit gnzzhligen Einträgen und estimme jeweils die mgische Konstnte! Versuche zu eweisen, dss diese mgische Konstnte immer eine Kuikzhl ist! Zunächst einige Beispiele von mgischen Qudrten:

4 Lösungen zu Bltt Angenommen, wir hen ein multipliktiv-mgisches Qudrt mit den gnzzhligen Einträgen is j wie in folgendem Bild und mit mgischer Konstnte N > 0: d g e h c f j Dnn gelten insesondere die folgenden Gleichungen: c = N ghj = N ej = N eh = N ceg = N. Multipliziert mn die letzten drei Gleichungen, so erhält mn: (c)(ghj)e 3 = N 3. Zusmmen mit den ersten eiden Gleichungen folgt drus direkt e 3 = N. Also ist N eine Kuikzhl. (Ürigens knn mn uf gnz nlogem Wege zeigen, dss die mgische Konstnte eines dditiv-mgischen Qudrtes durch 3 teilr ist.) Aufge Ein Rechteck, dessen Seiten und im Verhältnis : = (n+) : n stehen, woei n eine elieige ntürliche Zhl ist, nennen wir ein Zerlege-Rechteck. Zeige, dss mn jedes Zerlege-Rechteck in zwei Teile zerschneiden knn, die sich zu einem Qudrt zusmmenfügen lssen. Zunächst knn mn ein solches Zelege-Rechteck in (n+)n Rechtecke mit den Seitenlängen und unterteilen, indem mn die Seiten und in n + n+ n zw. n gleiche Teile teilt. Auf dem ddurch entstehenden Gitter zerschneide mn ds Rechteck in Treppenform, wie es in folgendem Bild für den Fll n = 3 ngedeutet ist:

5 Lösungen zu Bltt 5 n n+ Verschiet mn nun ds rechte Teil um eine Treppenstufe nch links unten, so erhält mn offenr ein neues Rechteck: Im Fll eines llgemeinen n ht dieses dnn die Seitenlängen n und n+ (n + ). Wegen = (n+) gilt n = (n + ). Dher ist ds us den n n n+ n eiden Teilen neu zusmmengesetzte Rechteck ein Qudrt. Stnd: 6. Ferur 003