Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.

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1 Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität. Anders usgedrükt leit der Quotient der eiden Größen konstnt. Die grphishe Drstellung im Koordintensystem ergit eine Ursprungsgerde. Beispiel: 100g Slmi kosten 1, 200g kosten 2, 40g kosten 0,40. Der Msse m wird derpreis p zugeordnet. Es hndelt sih um eine direkte Proportionlität mit der Zuordnungsvorshrift m p oder m m mit ls Proportionlitätskonstnten p 1 10 m 100g 1kg Drstellung im Koordintensystem: Der Kreisumfng ist direkt proportionl zu seinem Rdius. 1.2.Indirekte Proportionlität Bei der indirekten Proportionlität x y gilt: Wird x n ml so groß, so muss y durh n geteilt werden. Ds Produkt us x und y leit lso gleih, mn spriht uh von Produktgleihheit. Die Zuordnungsvorshrift lutet x, x woei x y gilt. Beispiel: Für die Streke s 100m enötigt mn die Zeit t 10s ei einer Geshwindigkeit v von 10m/s. Hier sind t und v indirekt proportionl mit der 100m Zuordnungsvorshrift t. v Drstellung im Koordintensystem: Der Grph heißt Hyperel.

2 Gymso Funktion und Term Definition: Eine Zuordnung x y, die jedem Wert für x genu einen y Wert zuordnet, heißt Funktion. Shreiweisen: x f(x) oder x y oder y f(x), woei mit f(x) der Funktionswert gemeint ist. Als Definitionsmenge D werden die erluten Einsetzwerte x ezeihnet. Die möglihen Funktionswerte werden in der Wertemenge W zusmmengefsst. Beispiel: x f(x) oder x x² oder f(x) x² oder y x² mit der Definitionsmenge Q und der Wertemenge Q + 0 Drstellung im Koordintensystem: Umfng U des Kreises: U(r) 2πr oder r 2πr Fläheninhlt A des Kreises: A(r) πr² oder r πr² Näherungswert für π 3, Linere Funktionen Definition: Eine Funktion x mx + t wird linere Funktion gennnt, m y ist die Steigung und t der x y Ahsenshnitt. Beispiel: y - 2x + 4 m y 4 2 x 2 t knn direkt us der Zeihnung ls Shnittpunkt mit der y- Ahse gelesen werden. Den Shnittpunkt mit der x-ahse ezeihnet mn ls Nullstelle. Eine Gerdengleihung knn us zwei Punkten ufgestellt werden. Dzu erehnet mn erst die Steigung m und setzt in die entstehende Gleihung einen der eiden Punkte ein um t zu erhlten. y y A yb Beispiel: A(2/3), B(6/1). m. y -1/2 x + t ergit für x x A xb eingesetzt 3-1/2 2 + t. Dmit erhält mn für t 4. Die Funktion ht dmit die Gestlt x -1/2 x + 4. Linere Ungleihungen werden shrittweise genu so gelöst wie linere Gleihungen, ei der Multipliktion zw. der Division mit einer negtiven Zhl dreht sih jedoh ds Ungleihheitszeihen um. Beispiel: -25 x 1 > x > - 50 : (-25) x < 2 L ]- ; 2[

3 Gymso Linere Gleihungssysteme Beispiel: Gleihung I: x + 2y 8 Gleihung II: 3x - 4y 4 Grphishe Lösung: Der Shnittpunkt S der eiden Gerden ht die Koordinten (4/2). Einsetzverfhren: I: x + 2y 8 II: 3x - 4y 4 I : x 8 2y in II: 3(8-2y) 4y y 4 y 2 x Additionsverfhren: 2 I + II 2x + 3x x 20 x 4 in I: 4 + 2y 8 y 2 Gleihsetzungsverfhren: I: y 4-0,5x II: y ,75x 4-0,5x ,75x 5 1,25x x 4 y 2 2.Stohstik: Lple-Experimente Die Menge ller möglihen Ergenisse eines Zufllsexperiments heißt Ergenismenge oder Ergenisrum Ω. Beispiel einmliger Würfelwurf: Ω {1,2,3,4,5,6,} Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergenisrums. Zählprinzip: Zieht mn us k vershiedenen Mengen mit m 1, m 2,..., m k Elementen jeweils ein Element, so git es insgesmt m 1 m 2... m k Möglihkeiten. Beispiel: Wie viele dreistellige Zhlen knn mn us den Ziffern 3,4 und 5 ilden? Antwort: 3³. Beispiel: Wie viele vershiedene Zhlen knn mn us den Ziffern 3,4 und 5 ilden? Antwort: Bumdigrmm Unter einem Lple Experiment versteht mn ein Zufllsexperiment dessen Ergenisse lle die gleihe Whrsheinlihkeit esitzen. Die Whrsheinlihkeit A P ( A) eines Ereignisses A erhält mn, in dem mn die Anzhl der für A Ω günstigen Ergenisse durh die Gesmtzhl ller möglihen Ergenisse teilt. Für die Anzhl der Ergenisse in einem Ereignis A shreit mn kurz A. Beispiel zweifher Würfelwurf: Ω {(1,1),(1,2),(1,3),...(6,4),(6,5),(6,6)} mit Ω 36. Alle Ergenisse treten gleihwhrsheinlih mit 1/36 uf.

4 Gymso 4 3.Elementr gerohen-rtionle Funktionen Terme ei denen im Nenner eine Vrile uftritt heißen Bruhterme. Funktionen, deren Funktionsterm ein Bruhterm ist, heißen gerohen rtionle Funktionen. D der Nenner nie 0 sein drf, müssen lle Zhlen für die der Nenner 0 wird us der Definitionsmenge usgeshlossen werden. 2 Beispiel: x D Q {-3/5} 5x + 3 Stellen, die us der Definitionsmenge usgeshlossen werden, nennt mn Definitionslüken. Gerden, n die sih der Grph elieig genu nnähert, nennt mn senkrehte zw. wgrehte Asymptoten. Im Beispiel hndelt es sih um die Gerden y 0 und x -2/3. Beim Rehnen mit Bruhtermen geht mn vor wie eim Rehnen mit Brühen. Beim Addieren zw. Sutrhieren von Bruhtermen muss eventuell vorher der Huptnenner ermittelt werden ( x 1) 3x 2x 2 3x) x 2 Beispiel: x x 1 x( x 1) ( x 1) x x( x 1) x( x 1) Um den Shnittpunkt zweier Hypereln estimmen zu können, stellt mn eine Gleihung uf in der uf eiden Seiten ein Bruhterm ersheint. Zur Lösung der Gleihung multipliziert mn eide Seiten mit dem Huptnenner ller vorkommenden Bruhterme. Beispiel: Die Definitionsmenge für die folgende Bruhgleihung lutet: D Q {2} 3 x Huptnenner: -2(2-x) 2 x 2x 4 3 ( 2) (2 x) x ( 2) (2 x) Kürzen (2 x) ( 2) (2 x) 6 x Die Proe durh Einsetzen liefert für die linke und die rehte Seite 3/8. Grphishe Lösung:

5 Gymso 5 4.Potenzen mit gnzzhligen Exponenten n 1 Definition: n und 0 1 für jede rtionle Zhl 0 Rehengesetze: n k n+k n : k n k ( n ) m nm () n n n (:) n n : n 5.Strhlenstz und Ähnlihkeit 5.1.V - Figur ' ' 5.2.X - Figur ' ' ' ' ' ' ' + ' Ähnlihkeit Zwei Figuren F und G sind ähnlih wenn mn G zw. F so vergrößern oder verkleinern knn, dss die eiden Figuren kongruent sind. Für ähnlihe Figuren gilt, dss entsprehende Seiten ds gleihe Längenverhältnis hen. Für ähnlihe Figuren gilt, dss entsprehende Winkel gleih groß sind. Sind die Seitenlängen der Figur K k-ml so lng wie die entsprehenden Seiten der Figur F, so ht K den k² - fhen Fläheninhlt.