Polynominterpolation (Varianten)

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1 HTL Slfelden Polynominterpoltion Seite von Wilfried Rohm Polynominterpoltion (Vrinten) Mthemtishe / Fhlihe Inhlte in Stihworten: Lösen von Gleihungssysteme, Mtrizenrehnung, Mthd-Progrmm Kurzzusmmenfssung Ausgehend von einer einfhen Aufgenstellung, ei der eine Polynomfunktion 2.Grdes zu Interpoltionszwekeen gesuht wird, wird gezeigt, wie dieses Prolem mit steigender Allgemeinheit in Mthd gelöst werden knn. Shließlih wird ein kleines Progrmm vorgestellt, mit dem ein Interpoltionspolynom elieigen Grdes erstellt werden knn. Auh die mthdspezifishen Funktionen werden vorgestellt. Der Artikel sollte sih zum Selststudium (uh für Shüler!) eignen. Lehrplnezug (zw. Gegenstnd / Ateilung / Jhrgng): Angewndte Mthemtik,. /.Jhrgng Mthd-Version: erstellt mit Mthd Anmerkungen zw. Sonstiges: Ds Einstiegseispiel stmmt us dem HTL-Lehruh Timishl/Kiser, Bnd. Der Krftstroffverruh eines PKW pro 00 km wurde für drei Geshwindigkeiten festgestellt: 6,0 Liter ei km/h,, Liter ei km/h und 9,9 Liter ei 20 km/h. Berehne durh ein geeignetes Interpoltionspolynom näherungsweise den Treistoffverruh für eine Geshwindigkeit von 00 km/h. Dieses Beispiel dient ls Ausgngspunkt für die Lösung des Prolems nh vershiedenen Methoden. Ziel ist, durh zunehmende Allgmeinheit der Methode zw. des Lösungsverfhrens shließlih einen Weg zu finden, wie nh Einge einer völlig nderen Mtrix die Lösung utomtish ermittelt wird Mit dem Lösungslok vorge - suhen (speziell uf ds Beispiel zugeshnitten) Mit Mtrizenrehnung (er uh uf ds spezielle Beispiel zugeshnitten) Mit Mtrizenrehnung - llgemeine Formulierung Mit einem kleinen Mthdprogrmm, ds elieige Eingemtrizen erlut Mit Hilfe der eingeuten Mthd-Funktionen regress und interp p 20 px p 0 p Wir legen ls Interpoltionsfunktion eine Polynomfunktion 2 Grdes durh die Punkte x0 00

2 HTL Slfelden Polynominterpoltion Seite 2 von Vrinte : vorge-suhen Vrinte Lösung eines Gleihungssystems in normler (usführliher) Shreiweise. Nhteil: Unflexiel ei Änderungen oder mehr Punkten et. Vorge Vrinte : vorge-suhen Suhen(,, ) gleit, poly( x) x 2 + x + Ds gesuhte Polynom poly( 00). Die gesuhte Lösung für 00 km/h Ermittlung des Ergenisses durh symolishe Rehnung - Ausge numerish mit 2 Nhkommstellen. Vrinte 2: Mtrizenrehnung Vrinte 2 Lösung des (lineren) Gleihungssystems mit Mtrizenrehnung: Kürzere Shreiweise, er sonst ähnlih wie Vrinte A 2 B A B Vrinte 2: Mtrizenrehnung poly x ( ) x 2 + x + Ds gesuhte Polynom poly( 00). Die gesuhte Lösung für 00 km/h Vr. : Mtrizenr.(llgemeiner) Vrinte Verllgemeinerung der Vrinte 2 - d.h. die Punkte (er niht deren Anzhl!) können oen geändert werden ( px 0 ) 2 ( ) 2 A px px B ( px 2 ) 2 Vr. : Mtrizenr.(llgemeiner) px 0 px 2 A B poly( x) x 2 + x + Ds gesuhte Polynom poly( x0). Lösung für x0 km/h

3 HTL Slfelden Polynominterpoltion Seite von Grfishe Lösung: Allgemeine Foormulierung der Lufvrilen: px px 0 2 x px, px +.. px poly( x) poly( x0) xpx,, x0 Vrinte : Allgemeine Rehnung - Bestimmung der Mtrizen üer kleine Mthd-Progrmme Zur Demonstrtion werden 2 vershiedene Punktmtrizen definiert, um die Anpssungsfähigkeit zu zeigen. Üer Mus-rehts können die einzelnen Ausdrüke ktiviert oder dektiviert werden. p Mthd-Progrmm für Vrinte p 20 px p 0 x x p n länge( px) grd n n grd Allgemeine Ermittlung des Grdes des Interpoltionspolynoms A for for return i 0.. grd j 0.. grd A px i, j ( i) j A Allgemeine Berehnung der Koeffizientenmtrix und des Vrilenvektors in Ahängigkeit von der Anzhl der Punkte, die eingegeen wurde. Diese estimmt j die Dimension des Polynoms! Auf der rehte Seite wird der Vrilenvektor mit der jeweiligen Potenz der Uneknnten x erzeugt. Xx ( ) for i 0.. grd X x i i return X

4 HTL Slfelden Polynominterpoltion Seite von x.9 A Xx ( ) x x x Ermittlung des Lösungsvektors mit l A Hilfe der Mtrizenrehnung l px ( ) l X( x) px ( ) gleit, x. 0 - x x x Hier wird gezeigt, dss mit unserer Methode ttsählih ds "rihtige" Gleihungssystem gelöst wurde px0 ( ) 6.2 Die Lösung! A X( x) + 0 x + 0 x x x + 0 x x x x + x + 0 x x x + x + 00 x x x + 20 x + 00 x x x..9.. px px 0 grd x px, px +.. px grd Mthd-Progrmm für Vrinte px ( ) px0 ( ) xpx,, x0

5 HTL Slfelden Polynominterpoltion Seite von Vrinte : Mthd-Funktionen Vrinte : Verwendung fertiger Funktionen Es wird ds Funktionenpr regress - interp verwendet. Dmit werden eigentlih Regressionsfunktionen ermittelt, jedoh knn eine Interpoltionsfunktion ls Regressfunktion ufgefßt werden, wenn der Grd der Regressionsfunktion gleih der Anzhl der Punkte - (lso wie oen: n-) ist. vs regress( px,, grd) yx ( ) interp( vs, px,, x) Diese Funktion regress erzeugt den neenstehenden Vektor vs Ws ermittelt regress? vs 0 vs vs 2 n vs ist Ergenis einer regress-funktion und niht etw einer Spline-Funktion Der Index innerhl von vs, dem die Polynomkoeffizienten stehen Ordnung der Anpssung (Grd des Polynoms) vs Die Koeffizienten des Polynoms px px 0 grd x px, px +.. px grd yx ( ) xpx, Vrinte : Mthd-Funktionen