12. Erweitern von Brüchen der kleinste gemeinsame Nenner
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- Leander Krämer
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1 D Alger II. Erweitern von Brühen der kleinste gemeinsme Nenner Erweitere den Bruh mit. Hinweis: Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselen Zhl zw. Vrilen. Der Wert des Bruhs leit eim Erweitern gleih. = 9 ) ) ) d) 9 Finde die Erweiterungszhl und vervollständige den Bruh. ) = ) 7 = ) = 8 d) 6 7 = 8 e) 9 = 8 Finde die Erweiterungsvrile und vervollständige den Bruh. = ) = ) = ) r = s d) y = z Ergänze durh Erweitern. ) = 6 ) t = 0 ) y = z d) 9 0 = 8 e) u = k f) i = t g) = r h) = y Ergänze durh Erweitern. Finde ds Lösungswort. ) = ) 7 = 7 ) 7m = 6 ) = ) = 6) u v = uw I T R N E U 0 m vw 7) 7m = 9 Lösungswort: 6 7 Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
2 D Alger II. Erweitern von Brühen der kleinste gemeinsme Nenner Lösungen ) ) ) d) 7 e) 7 ) 0 ) 6 ) d) e) ) ) ) rs d) yz ) ) t ) yz d) 0 e) ku f) it g) 6r h) y Turnier Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
3 D Alger II. Addieren und Sutrhieren mit Brühen Addiere zw. sutrhiere Hinweis: Brühe mit gleihem Nenner ddierst zw. sutrhierst du, indem du die Zähler ddierst zw. sutrhierst = 9 0 ) + = ) + + = ) + + = d)+ 7 + = 0 0 e) 8 8 = f) 9 = g) 8 = h) = i) 7 7 = Berehne + = ) + = ) = ) + = 7y 7y 9 9 d) + 8 = e) 7 e e + e = f) u 6 u 7 u = g) 8 t t + t = Berehne = 8 + Hinweis: Addiere zw. sutrhiere im Zähler nur Glieder mit gleihen Vrilen. ) v + v + d v + d v = ) 9e e + f f = ) 0 m + m m + m = UNGLEICHNAMIGE BRÜCHE Berehne Hinweis: Brühe mit vershiedenen Nennern musst du vor dem Addieren zw. Sutrhieren durh Erweitern uf gleihen Nenner ringen. + = + = 6 6 ) + = ) + = ) + = d) 7 = Moritz teilt einen Shultg ( Stunden) wie folgt ein: des Tges shläft er. des Tges sitzt er in der Shule. 6 des Tges enötigt er für den Shulweg, für Mhlzeiten und für sonstige Tätigkeiten. des Tges ruht er für Husüungen. Wie viel Stunden Freizeit leien Moritz m Tg? 6 Erweitere evor du rehnest. y + y y = y + y = y ) + = = ) = = 7 Addiere zw. sutrhiere ) w w = ) + = ) = d) + z 6 0 = e) + z = 6 f) 6u 7 u z = g) + z z = h) z = i) w w 0 = j) = Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
4 D Alger II. Addieren und Sutrhieren mit Brühen Lösungen ) ) e) f) 8 i) 7 ) e) ) g) ) 7 7y ) 9 8 f) 0 e) 7 e t 6 + 6d_ 7e + f v ) ) _ ) ) ) Freizeit: Stunden 6 ) ) ) 7 ) w ) ) 7z e) f) u_ 6 g) w i) j) 0 6 d) 8 h) 8 _ d) 0 + m 7 8 d) _ 0 6z_ d) h) 0 z 0 Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
5 D Alger II. Multiplizieren und Dividieren mit Brühen Multipliziere = 8 Zähler Zähler Nenner Nenner ) = ) 7 = ) 6 9 = Kürze evor du multiplizierst. = ) 9 0 = ) 8 9 = ) 0 8 = Roert möhte ein Fhrrd um 60 kufen. des Betrgs ht er ereits gesprt. Wie viel Euro fehlen ihm noh? Len ekommt zum Geurtstg 60 von ihren Eltern und Großeltern. 6 0 dvon git sie für Kleidung us und 0 für eine CD. Den Rest sprt sie. Welhen Bruhteil sprt Len und wie viel Euro sind ds? Von einer km lngen Strßensperre wird die Hälfte wieder frei gegeen. Wie viel Meter sind ds? 6 Berehne = 8 ) = ) = ) = d) = e) 6 = 7 y z 7 7 Multipliziere y 7 = 0y ) r t s = ) = ) y 7 = 8 Kürze evor du multiplizierst. Hinweis: Du knnst Zhlen und Vrile kürzen. 6 6 = = ) r s = ) y s r y y = ) = 9 Finde ds Lösungswort. ) 6 = 7 ) 8 = ) 8 = 9 ) 6m 0 = ) 7n m = 6) = 7) Lösungswort: = 8) 6r s s r = 9) r r = L H n S 6 C U B A 7 0 Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
6 0 Shreie den Kehrwert des Bruhs n. Hinweis: Beim Kehrwert werden Zähler und Nenner vertusht.. Multiplizieren und Dividieren mit Brühen s s ) n ) ) d) Dividiere, indem du mit dem Kehrwert des zweiten Bruhs multiplizierst. 7 : 9 = 7 9 = 6 = ) : = ) : 8 = ) : 7 = Dividiere : = = = Hinweis: Kürze, wenn möglih, vor dem Multiplizieren. ) 8 : 6 0 = ) : 9 = ) 7 : 0 = d) : 8 = e) 6 : = f) 6 8 : 7 = Dividiere : 6 = 6 6 = ) : = ) 9 : u = ) 0 7 : = d) y 6 : = 0 e) m n : m 6n = f) t uv : t uv = g) : 0 = 7 Vervollständige den Stz. ) 7 : 8 = ) : 0 6 = ) : ) 8 : 0 = 6) : = 6 9) : = ) : 7 7) 0 : = Lösungswort: 0 der ändert sih ds 6s 7) : s 8t = ) : = = 8) 9 0 : = 7 0) : 9 6 = ) : = ) fg : g 6 = = ) mn y : m = ) 6 : = 0 8) : = 9) : = u u 6 6) : = 0 uf dem A Ä E H I M K N R S T W t 7 = 7 f n y oder es leit wie es ist. Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
7 D Alger II. Multiplizieren und Dividieren mit Brühen Lösungen ) 0 ) 90 ; km = 7 m 8 6 ) e) 7 ) 8 ) 7z rt _ 8s ) ) ) ) ) ) 7 ) 9 8 ) 6_ ) 0 ) d) 6 6 y 6y 6 9 ABSCHLUSS 0 ) ) n ) ) ) 8 ) ) e) ) e) ) ) f) 6 ) f) d) _ 8 d) u ) 0 d) y g) KRÄHT DER HAHN AUF DEM MIST, ÄNDERT SICH DAS WETTER ODER ES BLEIBT WIE ES IST. Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
8 D Alger II. Gleihungen Prtnerreit: Zhlenrätsel Die erste Person rehnet ds Rätsel und git die Lösungen n. Die zweite Person soll nun die gedhte Zhl finden und den Lösungsweg nshreien. Wehselt euh. ) Denke dir eine Zhl und multipliziere sie mit. Welhe Zhl erhältst du? ) Denke dir eine Zhl und ddiere 0. Welhe Zhl erhältst du? ) Denke dir eine Zhl und multipliziere sie mit und zähle dzu. Welhe Zhl erhältst du? Formuliere einen Rätseltet und finde die gedhte Zhl. ) 6 = 6 ) + = 0 ) + 0 = 0 d) 7 = 0 Berehne den Wert der Vrilen. Hinweis: Du musst uf eiden Seiten der Gleihung diesele Zhl sutrhieren zw. ddieren. + 9 = 9 = 6 Forme die Gleihung so um, dss die Vrile llein uf einer Seite steht. ) = + ) + 0 = 0 ) = 7 d) = e) + 8 = 67 f) m 7 = 00 g) + = 0 h) = y 7 Kontrolliere dih selst. Vergleihe deine Lösungen mit den ngegeenen Lösungen. Hinweis: Auh eine negtive Zhl knn eine Lösung sein. ) 7 = 9 ) + = ) 9 = d) + 7 = e) 0 = f) 7 + = g) = 0 h) + = 0 = 6 = 0 = = 8 = 9 = = 6 = Löse die Gleihung. Hinweis: Ahte druf, dss die Vrile ein positives Vorzeihen ht. Durh ds Multiplizieren mit ( ) ändern sih lle Vor- und Rehenzeihen der Gleihung. = 6 ) u = 0 ) + = 9 ) w + = 0 = ( ) d) t = e) = 7 f) = 6 = g) p 0 = h) 0 = i) s = Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
9 . Gleihungen 6 Dividiere eide Seiten der Gleihung durh diesele Zhl. 7 = : 7 ) 8y = 6 ) 7 = 6m ) 7k = 7 = 6 d) 9 = 6 e) 0 = k f) = r Hinweis: Ahte uf die Vorzeihen. 7 Zwei Brüder kufen ein Geurtstgsgeshenk für ihre Mutter um. Der ältere ezhlt um mehr. Wie viel Euro ezhlt jeder? Hinweis: Shreie ls Gleihung n. Löse die Gleihung. 8 Mrtin und Frnzisk kufen gemeinsm ein PC-Spiel um 60. Berehne den jeweiligen Anteil. Shreie ls Gleihung n. ) Die eiden teilen sih die Kosten. ) Mrtin ezhlt um mehr ls Frnzisk. ) Frnzisk zhlt nur des Kufpreises. 9 Multipliziere eide Seiten der Gleihung mit derselen Zhl. Hinweis: Eine Division knnst du immer uh ls Bruh nshreien. 9 = 9 = ) y 7 = 0 d) u 6 = e) z ) = ) m = = 9 f) s 89 = 0 Bemle die Kästhen mit der rihtigen Fre. Rot = PLUS, Grün = MINUS, Blu = MAL, Gel = DIVIDIERT Drei Begriffe leien ürig, erkläre ihre Bedeutung. ) vermehrt ) drei ml so groß ) vergrößert d) ist e) vermindert f) ds Doppelte g) ergit sih h) multipliziert i) verringert j) erhält mn k) hliert l) sutrhiert m) die Hälfte n) ddiert o) ds Drittel p) ds Viertel Berehne die gesuhte Zhl mit Hilfe einer Gleihung. Ds Fünffhe einer Zhl ergit 60. = 60 : = Ds Viertel einer Zhl ergit 80. = 80 = 0 ) Ds Dreifhe einer Zhl ergit 7. ) Ds Doppelte einer Zhl ist 8. ) Ds Zehnfhe einer Zhl ist 000. d) Die Hälfte einer Zhl ergit. e) Ds Drittel einer Zhl ergit 0. f) Ds Fünftel einer Zhl ist 9. Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
10 . Gleihungen Shreie den Tet ls Gleihung und erehne die gesuhte Zhl. Vermindere eine Zhl um 6, so erhältst du. 6 = + 6 = 8 Vermehre eine Zhl um 7, so erhältst du. + 7 = 7 = 7 ) Verringert mn eine Zhl um 0, so ergit sih 7. ) Sutrhiert mn von einer Zhl, so erhält mn. ) Addiert mn zu einer Zhl 6, so ergit sih 7. d) Vermehrt mn eine Zhl um 6, so ergit sih. e) Vergrößert mn eine Zhl um 00, so erhält mn 90. Löse die Gleihung. 9 + = 9 = 8 : 9 = ) = 69 ) 0 = ) + = d) m = Löse die Gleihung. 6 = = = ) y + 0 = r ) ) t + = 8 9 d) u = 7 Löse die Gleihung. ) + 7 = ) e) t + = f) = 00 ) 7 = g) z 7 6 = d) y + 7 = 0 h) = 96 6 Kontrolliere dih selst. Vergleihe deine Lösungen mit den ngegeenen Lösungen. ) = ) + 9 = ) + 8 = 8 d) + = 8 e) + = 7 = = 0 = 9 = = 0 Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
11 . Gleihungen 7 Berehne 7 = = = 7 ) Bringe lle uf eine Seite und lle Zhlen uf die ndere Seite. ) Berehne. ) 7 = d) + = ) 6 = e) 9 = + ) + = f) 6 = 9 8 Vereinfhe zuerst und löse dnn shrittweise. ) + = ) = + 8 ) 6 = 0 d) = Löse die Gleihung und führe die Proe durh. y = y + y = 6y : 6 9 = y ) Setze für die Proe in die linke Seite für y den errehneten Wert ein und erehne. LS: 9 = 7 ) Setze in die rehte Seite ein. RS: 9 = 7 ) LS = RS 7 = 7 ) 7 = + ) + y = 6y ) + = 0 Berehne die gesuhte Zhl mit Hilfe einer Gleihung. ) Vermehre ds Doppelte einer Zhl um und du erhältst. Wie heißt die Zhl? ) Vermindere ds Dreifhe einer Zhl um 7 und du erhältst 0. Wie heißt die Zhl? ) Vermehre die Hälfte einer Zhl um, so ergit sih 6. Wie heißt die Zhl? Welhes Sprihwort ergit sih? ) + = 8 ) = ) + = + 7) = 6 9) = 0 ) 6 6 = 0 Lösungswort: ) + = 7 ) = 6) = 8) = + 0) 9 = 6 ) = + A = E = O = R = S = 6 T = 7 WER 6 DER Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
12 D Alger II. Gleihungen Lösungen ) = 6 ) = ) = d) = 7 ) = ) = 0 ) = d) = 68 e) = 9 f) m = 7 g) = h) y = 8 ) u = 8 ) = ) w = 8 d) t = e) = f) = g) p = 8 h) = i) s = 6 ) y = 7 ) m = ) k = d) = e) k = f) r = 7 Ältere: 7, Jüngere: 0 8 ) M: 0, F: 0 ) M: 6, F: ) M: 0, F: 0 9 ) y = 70 ) = ) m = d) u = e) z = 8 f) s = 89 ) 9 ) 9 ) 00 d) e) 0 f) ) 7 ) 7 ) d) 6 e) 0 ) = 9 ) = ) = d) m = ) y = 8 ) r = 80 ) t = 7 d) y = 0 ) = ) = 0 ) = d) y = e) t = 6 f) = 9 g) z = 77 h) = 9 7 ) = ) = ) = d) = e) = f) = 8 ) = ) = ) = d) = 9 ) =, Proe: ) y =, Proe: 6 ) =, Proe: 0 ) z + = ; z = ) z 7 = 0; z = 9 ) z + = 6; z = WER RASTET DER ROSTET Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
13 D Alger II 6. Umformen von Formeln Gi die rihtige Formel n. Formeln sind llgemein gültige Gleihungen. ) Deltoid A =... ) Rehtek A =... B A f e C D A B ) Qudrt A =... d) Prllelogrmm A =... D C D C h A B A B e) Rute A =... f) rehtwinkliges Dreiek A =... D C A D C f e h A B g) Trpez A =... D C C B h) llgemeines Dreiek A =... C d h h A B A B Lösungshilfe: A = h A =. A = ( + ) h A = A = h A = h A = e f A = oder A = e f Berehne die gesuhte Größe im Kopf. Gi dnn eine Formel n. ) Rehtek: A = m, = m, =.. llgemein: =.. ) Prllelogrmm: A = m, h = 8 m, =. llgemein: =. Forme die Formel um. Gi die Umformungsshritte n. rehtwinkliges Dreiek: A = =? =? =? A = A = : = A =? A = A = : = A ) Löse den Bruh uf ( ). ) Die gesuhte Größe soll llein uf einer Seite stehen. Dividiere durh zw.. ) Deltoid: A = e f ; e =? f =? ) llgemeines Dreiek: A = h ; =? h =? Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
14 6. Umformen von Formeln Berehne ei den Aufgen is 0 die gesuhte Größe zuerst llgemein und dnn mit den gegeenen Werten. Forme zuerst die Formel um. Berehne dnn die gesuhte Größe. ) Umfng eines Qudrts: u = ; =?; u = 6 m ) Umfng eines gleihseitigen Dreieks: u = ; =?; u = m ) Umfng eines gleihshenkligen Dreieks: u = + ; =?; = 6 m, u = m Gi eine Formel für die Höhe des Trpezes n und erehne sie. A = m = 8 m = m h =? A = h =? ( + ) h ( + ) h A = A = ( + ) h : ( + ) A = h ( + ) h = 8 + h = = h = m ) A = 6 m, = m, = 9 m ) A = 98,0 m, = 7, m, =,9 m 6 Berehne die Länge der Seite und den Umfng des Rehteks. ) A = 08 m, = 9 m; =?, u =? ) A = m, = m ; =?, u =? 7 Ein qudrtisher Krton ht einen Umfng von m. ) Wie lng ist eine Qudrtseite? ) Wie groß ist der Fläheninhlt? 8 Der Fläheninhlt eines rehtwinkligen Dreieks eträgt 78 m. Berehne die Länge der Seite, wenn die Seite m lng ist. 9 Von einem Deltoid kennt mn den Fläheninhlt und die Digonle f. A = 0 m², f = m Berehne die Länge der fehlenden Digonle. 0 Von einem Dreiek kennt mn den Fläheninhlt und die Länge einer Seite. Berehne die Länge der dzugehörigen Höhe. ) A =, m² =, m ) A =, dm² =, dm ) A = 7,8 m² = 0, m Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
15 D Alger II 6. Umformen von Formeln Lösungen ) = 6 m, = A _ ) = m, = A h ) e = f A _, f = A_ A e ) =, h = A h ) = u, = 6 m ) = _ u, = 7 m ) = u, = 9 m ) h = 6 m ) h = 8,8 m (8,7 ) 6 ) = A _, = m, u = m 7 = 6 m, A = 969 m² 8 = A, = m ) = 9 m, u = 8 m 9 e = f A, e = 0 m 0 ) h =,8 m ) h = 6,8 dm ) h = 7, m Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
16 E Die Stzgruppe des Pythgors 8. Der pythgoräishe Lehrstz Der pythgoräishe Lehrstz wird ei rehtwinkligen Dreieken ngewendet. Ziehe rehtwinklige Dreieke mit Fre nh. Mrkiere den rehten Winkel. Der pythgoräishe Lehrstz ) Zeihne ein rehtwinkliges Dreiek mit den Kthetenlängen = m, = m und γ = 90. ) Errihte üer den eiden Ktheten Qudrte (siehe Skizze). Berehne die eiden Fläheninhlte und ddiere sie (² + ²). ) Miss die Länge der Seite. Errihte üer der Hypotenuse ein Qudrt und erehne den Fläheninhlt. Ws fällt dir uf? ) C ) ) A B A C C = = 9 = = 6 + = = = Der pythgoräishe Lehrstz esgt: In jedem rehtwinkligen Dreiek ist die Summe der eiden Kthetenqudrte flähengleih dem Hypotenusenqudrt: ² + ² = ² B A B Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
17 8. Der pythgoräishe Lehrstz Berehne die Länge der Hypotenuse. Runde uf Zehntel. = m =! + = 6, m =! + 6, = 6,7 =? 6, m ) = 6,8 m =, m ) = 0 m = 6 m Berehne die Länge der zweiten Kthete. = m =! = 6, m =!6,69 = 6,78 =? 6, m ) = 8 m = 0 m ) =, m = 7, m Zeihne ds gegeene rehtwinklige Dreiek in dein Heft. Berehne die fehlende Seite. Üerlege, o die Hypotenuse oder eine Kthete gesuht ist. Üerprüfe die Länge der erehneten Seite mit deiner Zeihnung. ) ) ) 70 mm 66 mm mm 0 mm 70 mm 8 mm 6 Berehne Umfng und Fläheninhlt des rehtwinkligen Dreieks. Hinweis: Ermittle zuerst die Länge der fehlenden Seite. =, m =, m =? u =? A =? =! + =!, +, = = u = + + u =, +, + = 9,6 u = 9,6 m A =,, A = =,8 A =,8 m ) = 7, m, = 9, m ) = 8, m, = 8 m ) = m, = 600 m 7 Zeihne ein rehtwinkliges Dreiek. Kthetenlängen: = m und =, m ) Zeihne die Höhe uf ein. Miss sie. ) Berehne den Fläheninhlt uf zwei Arten.. Art: A =. Art: A = h ) Üerlege, wrum die Ergenisse untershiedlih sein können. h Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
18 8. Der pythgoräishe Lehrstz 8 Ein Drhe ht eine 0 m lnge Shnur, die m Boden efestigt ist. Der Wind treit den Drhen 0 m. Wie hoh shwet nun der Drhe üer dem Erdoden, wenn die Shnur gespnnt ist? 0 m 0 m 9 Berehne die Länge der gesuhten Streke. Wegen eines Hindernisses knn eine Streke niht direkt gemessen werden. ) ) 6 m 0 m 80 m m 0 In einem Gelände wird die Streke AC von einem Teih unterrohen. Berehne die Länge der Streke AC. ) AB = 6 m, BC = m ) AB = 7 m, BC = 6 m ) AB = 68 m, BC = 6 m A C B In einer Muereke soll eine Alge us Holz montiert werden. ) Berehne, wie viel m Holz dfür enötigt wird. ) An der sihtren Außenknte soll eine Spitzenorte ngerht werden. Wie lng muss diese sein? 8 m 6 m Eine vom Einsturz edrohte Muer wird mit einem 6 m lngen Pfosten gestützt. Wie weit vor der Muer muss der Pfosten vernkert werden, wenn er in einer Höhe von, m n der Muer efestigt wird? 6 m, m Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
19 E Die Stzgruppe des Pythgors 8. Der pythgoräishe Lehrstz Lösungen ) = 8, m ) =, m ) = 6 m ) = 7, m ) = 76, mm ) = 6, mm ) = 99 mm 6 ) = 9,8 m u = 6, m A = 80, m² ) = 9,8 m u = 6 m A = 7,8 m² ) = 7 m u = 808 m A =,6 h 7 ) h = 8 mm ) A = 8, m, = 6,0 m, h =,8 m 8,8 m 9 ) 0 m ) 9,7 m 0 ) 66 m ) 9 m ) 780 m ) A = 0,8 m ) = 07 m m Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
20 E Die Stzgruppe des Pythgors 9. Eene Figuren Anwendung des pythgoräishen Lehrstzes I Digonlen in Rehtek und Qudrt Mit Hilfe des pythgoräishen Lehrstzes lssen sih die Längen der Digonlen in einem Rehtek und in einem Qudrt erehnen. ) Zeihne ein Rehtek mit = 6 m und = m in dein Heft. Beshrifte die Seiten. Zeihne eine Digonle ein und eshrifte sie mit d. Ddurh entstehen rehtwinklige Dreieke. Bemle ein rehtwinkliges Dreiek mit Fre. Gi eine Formel zur Berehnung der Länge der Digonle n. d d =... ) Zeihne nun ein Qudrt mit = m in dein Heft. Gehe wie eim Rehtek vor. d Gi eine Formel zur Berehnung der Länge der Digonle n. d =... Konstruiere ds Rehtek. Zeihne eine Digonle ein und erehne ihre Länge. Üerprüfe durh Messen. d =! + ) = 6 m, =, m ) = 7, m, =,9 m ) = 8 mm, = 7 mm Konstruiere ds Qudrt. Zeihne eine Digonle ein und erehne ihre Länge. Üerprüfe durh Messen. d =! + ) = m ) = 9 mm ) = 7,9 m d) = mm Ein rehtekiges Grtentor wird durh ein digonl efestigtes Brett verstärkt. In welher Länge muss ds Brett zugeshnitten werden? Ds Grtentor ist m lng und, m reit. Auf einer Bustelle wird der Grundriss eines Wohnhuses vermessen. Um rehte Winkel zu erhlten, werden zusätzlih jeweils die Digonlen gemessen. d 6m Wie lng müssen die Digonlen d und d sein? d 9m Runde die Ergenisse uf Zehntel. 0 m Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet. m
21 9. Eene Figuren Anwendung des pythgoräishen Lehrstzes I 6 Berehne den Mindestdurhmesser des Bumstmmes. Aus einem Bumstmm wird ein Blken mit d qudrtisher Quershnittsflähe geshnitten. ) = m 7 ) = 8 m ) = m Aus einem Bumstmm soll ein Pfosten (6 m 8 m) herusgesägt werden. Berehne den Mindestdurhmesser des Bumstmmes. Vernshulihe mit einer Skizze. Fmilie Hofer ht eim Tishler einen Kühentish estellt. Er ist, m lng und m reit. Tishpltte, m Knn die Tishpltte digonl Tür durh die Kühentür (90 m 8 m) 90 m 8 geshoen werden? m 9 Berehne die fehlenden Größen. Runde uf eine Dezimlstelle. ) Rehtek = 7,8 m =, m u= A= d= 0 8 m ) Qudrt ) Qudrt =, m = u= A= d= u = 8 m A= d= d) Rehtek = 8,9 m = u = m A= d= e) Rehtek = = 8, m u= A = 70 m d= f) Qudrt = u= A = 6 m d= Konstruiere ds gleihshenklige Dreiek und zeihne die Höhe h ein. Berehne die Höhe h. Runde ds Ergenis uf Zehntel. = = 7, m = m h =? Skizze: = h =!! h =!7, = 7, h 7, m h ) = = m = m ) = = 8 mm = 0 mm ) = = 9 mm = mm Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
22 9. Eene Figuren Anwendung des pythgoräishen Lehrstzes I Berehne die Länge der Dhknte (). C, m 9, =!... M+ M- % 9 : = 0 =... =... 9, m Ein Turmdh soll mit Kupferleh neu gedekt werden. Die Adekung esteht us 6 gleihshenkligen Dreieken. ( =, m, = =, m) Wie viel m² Bleh enötigt mn mindestens? Hinweis: A = h h Konstruiere ein gleihseitiges Dreiek. Zeihne die Höhe ein und erehne sie. Kontrolliere deine Rehnung durh Messen. Runde ds Ergenis uf Gnze. = mm h ) = 6,8 m h =! 7 = h = 6,7 h 7 mm ) = mm h =!! ) = 0 mm Berehne die fehlenden Größen. Hinweis: Wenn du eine Formel niht mehr weißt, knnst du in der Formelsmmlung uf Seite 7 nhshuen. ) rehtwinkliges Dreiek = 9,8 m =, m ) gleihseitiges Dreiek =, m ) gleihseitiges Dreiek = 7,9 m d) gleihshenkliges Dreiek = = 8,9 m = m e) gleihshenkliges Dreiek = = m = m = h = h = h = h = u= u= u= u= u= A= A= A= A= A= Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
23 E Die Stzgruppe des Pythgors 9. Eene Figuren Anwendung des pythgoräishen Lehrstzes I Lösungen ) Rehtek: d =! ) d = 6,8 m ) d = 8,96 m ) d = 9, mm ) d = 7,07 m ) d = mm ) d =, m d =, m d =, m d = 6, m 6 ) d =,9 m 7 d =, m 8 J, d = 08 m 9 ) ) ) d) e) f) ; + ) d =, m ) Qudrt: d =! + d) d = 7 mm ) 7 m u = 0, m A = 7,9 m² d = 8, m u = 0,8 m A = 7 m² d = 7, m = m A = m², d = 7 m =, m A = 7,6 m d = 9, m = 0 m u = 7 m d =,7 m = 8 m u = m d =, m 0 ) h =,8 m ) h = 80, mm ) h = 9,6 mm =,7 m h =,06 m, A =, m; 7, m Bleh ) h = 8 mm ) ) ) d) e) ) h = 9 mm ) h = 9 mm =, m u = 6, m A = 6 m² h =, m u =,6 m A =,7 m³ h = 6,8 m u =,7 m, A = 7 m² h =,8 m u =,8 m A = 6 m² h = 6, m u = 8 m A = 87 m² Österreihisher Bundesverlg Shuluh GmH & Co. KG, Wien 0 Mh mit Mthemtik ISBN Alle Rehte vorehlten. Von dieser Drukvorlge ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrihtsgeruh gestttet.
2.2. Aufgaben zu Figuren
2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeihne ds Dreiek ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erehne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und C(8
Muss der Umfang (u) oder der Flächeninhalt (A) berechnet werden? Kreuze an! Der Umfang (u) ist die Länge des Weges um eine Fläche herum.
9 Rettungsring Umfng und Fläheninhlt von Figuren Begriffe: Umfng und Fläheninhlt 1 Muss der Umfng (u) oder der Fläheninhlt () erehnet werden? Kreuze n! u B C D E F G H Zun eines Grundstüks Rsenflähe eines
Geometrische Figuren und Körper
STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper Geometrishe Figuren und Körper Welhe Shreiweisen geen den Winkel β des neenstehenden reieks PQR rihtig wieder? β = Qrp β = rp β = PQR R β = QRP β = pq q p P r Q
Die Satzgruppe des Pythagoras
7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen
01 Proportion Verhältnis Maßstab
5 Ähnlihkeit und Strhlensätze LS 01.M1 01 Proportion Verhältnis Mßst 1 Lies die folgende Informtion sorgfältig. Mrkiere wihtige egriffe und Formeln. ) Proportionle Zuordnung ei einer proportionlen Zuordnung
Ein Winkel zwischen 0 und 90 heißt spitzer Winkel, ein Winkel zwischen 90 und 180 heißt stumpfer Winkel.
Geometrie 1 3 Winkelsummen Der von zwei Nhrseiten eines Vieleks geildete Winkel heißt Innenwinkel. Die Summe der Innenwinkel eines Dreieks eträgt 180. + + = 180 Die Summe der Innenwinkel eines Viereks
Pythagoras. Suche ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. ... c Roolfs
Pythgors Suhe ein rehtwinkliges Dreiek mit gnzzhligen Seitenlängen..... 1 Pythgors Für ein Dreiek mit den Seitenlängen = 3 und = 4 (in m) gilt vermutlih = 5. Weise diese Vermutung nh. Tipp: Bestimme den
M 2 - Übungen zur 2. Schularbeit
M - Üungen zur. hulreit ) erehne ds Ergenis! ) ( ) + ) ( ) ) ( ) ( ) + 0 ) erehne! )( ) + ( ) ) ( + ) )( ) ( ) + ) hreie ds Ergenis ls gemishte Zhl! (Kürze ereits vor dem Multiplizieren!) ) ) ) Löse die
Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B
Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lernzirkel / Stationenlernen: Höhensätze (Pythagoras und Euklid)
Unterrihtsmterilien in digitler und in gedrukter Form uszug us: Lernzirkel / Sttionenlernen: Höhensätze (Pythgors und Euklid) Ds komplette Mteril finden Sie hier: Downlod ei Shool-Soutde SHOOL-SOUT Lernzirkel
Wir haben ein Koordinatensystem mit der x-achse und der y-achse. Nun wird ein Kreis gebildet mit dem Radius r=1.
Trigonometrie In diesem Themenereih wenden wir uns den Winkeln im rehtekigen Dreiek zu. Du hst uf deinem Tshenrehner siher shon die Tsten sin, os und tn gesehen. Doh ws edeuten sie? Ds wollen wir herusfinden.
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10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck
10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn
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Symmetrien und Winkel
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Checkliste Sinus, Kosinus, Tangens
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Besondere Linien und Punkte im Dreieck
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2 Die Bildsprache Der relevante Winkel im grünen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel 180 :
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Der Begriff der Stammfunktion
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5.6 Gleichsetzungsverfahren
.6 Gleihsetzungsverfhren Verfhren: Beide Gleihungen des Gleihungssystems werden nh derselen Vrilen ufgelöst und die entsprehenden Terme werden einnder gleihgesetzt. Beispiele (G x ) ) () x + y () x - y
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010
R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl
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Umstellen von Formeln und Gleihungen. Ds Zusmmenfssen von Termen edeutet grundsätzlih ein Ausklmmern, uh wenn mn den Zwishenshritt niht immer ufshreit. 4 6 = (4 6) =. Steht eine Vrile, nh der ufgelöst
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR
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KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, III
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Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck
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Inhlt: 1 Seiten und Winkel im rehtwinkligen reiek edienen des Tshenrehners erehnungen in rehtwinkligen reieken 4 erehnungen in llgemeinen reieken 5 erehnungen in Vieleken 6 erehnungen mit Prmetern Exkurs:
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0.05.0 Geometrie und Trigonometrie ) Spezielle Winkel ei shneidenden Gerden und Prllelen 4 4 Sheitelwinkel sind gleih (z.. zw. ) Neenwinkel ergänzen sih zu 80 0 (z.. + 80 0 ) Stufenwinkel sind gleih (z..
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Downlod Mihel Frnk sis Mthe Flähenerehnung Flähe von Rehtek, Qudrt, Drhen, Rute, Prllelogrmm, Dreiek Downloduszug us dem Originltitel: sis Mthe Flähenerehnung Flähe von Rehtek, Qudrt, Drhen, Rute, Prllelogrmm,
Mathematik Trigonometrie Einführung
Mthemtik Trigonometrie Einführung Ws edeutet ds Wort Trigonometrie und mit ws eshäftigt sih die Trigonometrie? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Ek'
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
qwertyuiopsdfghjklzxcvnmqwerty uiopsdfghjklzxcvnmqwertyuiopsd fghjklzxcvnmqwertyuiopsdfghjklzx Aufgen M-Beispielen cvnmqwertyuiopsdfghjklzxcvnmq Vorereitung uf die. Schulreit wertyuiopsdfghjklzxcvnmqwertyui
ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE
Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt.
Quadratische Gleichungen. Aufgabe 1: Lösen von Gleichungen ohne Lösungsformel
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Ws? Multiplizieren 9er-Finger-Einmleins Wozu? Ds kleine 9er-Einmleins mit den 10 Fingern lernen. 1. Beide Hände mit usgestrekten Fingern zeigen nh oen. 2. Die Dumen zeigen nh ußen (Hndflähen zum Gesiht).
H Dreiecke und Vierecke
H Dreieke und Viereke 1 eziehungen zwishen Seiten und Winkeln im Dreiek In einem Dreiek liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüer. Umgekehrt liegt dem größten Winkel uh die längste Seite gegenüer.
Muss der Umfang (u) oder der Flächeninhalt (A) berechnet werden? Kreuze an! Der Umfang (u) ist die Länge des Weges um eine Fläche herum.
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Konstruktion mit Zirkel und Lineal
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RESULTATE UND LÖSUNGEN
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. Zhlen. Die Qudrtwurzel Die Qudrtwurzel ist die positive Lösung der Gleihung Ein Teil der Qudrtwurzeln sind rtionle Zhlen. 0! z.b. 9, 0,0 0, oder, 0 0! 9 heißt Rdiknd ndere dgegen irrtionle Zhlen z. B.,
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3 Punkte, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren. Zunächst im 2-dimensionalen: A 4 1 , C 2 4. und D 3 1 Koordinatensystem. in einem kartesischen
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10. Lineare Gleichungen mit zwei Variabeln Eine lineare Gleichung in 2 Variablen... 19
Alger Vorlesung (.Teil) Mg. Dniel Zeller INHALTSVERZEICHNIS 0. Linere Gleihungen mit zwei Vrieln... 9 Eine linere Gleihung in Vrilen... 9 Geometrishe Deutung einer lineren Gleihung in Vrilen... Gleihungssystem
Konstruktion des regulären Fünfecks mit dem rostigen Zirkel (rusty compass)
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MITTLERER SCHULABSCHLUSS AN DER MITTELSCHULE 2015 MATHEMATIK. 24. Juni :30 Uhr 11:00 Uhr. Platzziffer (ggf. Name/Klasse):
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Rund um den Satz des Pythagoras
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Formelsmmlung Mthemtik Inhlt Mßumwnlungen... Längenmße... Flähenmße... Rum- un Hohlmße... Zeitmße... Rehtek... Qurt... llgemeines Dreiek... 4 Rehtwinkeliges Dreiek... 4 Gleihshenkliges Dreiek... 5 Gleihseitiges
x a 2 (b 2 c 2 ) (a + b 4 + a + weil Klammern nicht geschlossen oder Operationszeichen keine Terme verbinden.
Termnlyse Mthemtik. Klsse Ivo Blöhliger Terme Ein wihtiger Teil es mthemtishen Hnwerks esteht rin, Terme umzuformen. Dzu müssen einerseits ie Rehengesetze er reellen Zhlen verinnerliht sein, un nererseits
Das geteilte Quadrat
1 Ds geteilte Qudrt Puzzles from round the world by Dik Hess 19. Juli 001 Gegeben sei ein Qudrt mit der Seitenlänge. Ds Qudrt soll in zwei untershiedlihe Rehteke geteilt werden, wobei ds kleine Rehtek
Dreiecke und Vierecke
reieke un Viereke Viereke Welhe esoneren Viereke sin eknnt, ws zeihnet esonere Viereke us? Impuls uf Seiten, Winkel, Symmetrie!.) s Qurt: Ein Qurt esitzt folgene Eigenshften: lle Seiten sin gleihlng. (
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5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
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Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen
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Lineare Gleichungssysteme mit 3 und mehr Variablen
Linere Gleihungssysteme mit un mehr rilen Beispiel 1 mit rilen: 11 Zunähst estimmt mn ie rile, ie mn ls Erste eliminieren will. In iesem Fll soll von hinten nh vorn vorgegngen weren,.h. zuerst soll rile
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN
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Brüche gleichnamig machen
Brüche gleichnmig mchen L Ds Erweitern von Brüchen (siehe L ) ist lediglich ein Instrument, ds vorwiegend eingesetzt wird, um Brüche mit unterschiedlichem Divisor gleichnmig zu mchen. Brüche gleichnmig
Repetitionsaufgaben: Trigonometrische Funktionen
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18. Algorithmus der Woche Der Euklidische Algorithmus
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750 + 142,50 = 892,50 Nettopreis Umsatzsteuer Bruttopreis
2.7 Verminderter und vermehrter Grundwert 41 Beispiel: Bruttobetrg, Nettobetrg, Umstzsteuer Profirdfhrer Klus kuft sih ein Mountinbike. Ds Fhrrd kostet einshließlih 19 % Umstzsteuer 892,50. Ds Finnzmt
5 Vierecke. 1 Quadrat
Viereke Shüleruhseite ((nm: Seitenereihe folgen in. Korr)) Viereke uftkt Seiten 8, 9 Seite 8 Qurt Viereksformen Seiten 0, Seite 0 Einstieg rotes Vierek: Rehtek lues Vierek: Rute grünes Vierek: Prllelogrmm
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Mit Würfeln Quader bauen 14
3 1 Quder uen Ein Spiel zu zweit Würfelt wehslungsweise mit einem Spielwürfel und fügt die gewürfelte Anzhl Holzwürfel den vorhndenen Würfeln hinzu. In jeder Spielrunde versuht ihr, us llen vorhndenen
Die Näherung ist umso genauer, je kleiner die Zellen sind. Der Grenzwert ist
Höhere Mthemtik Mehrfhintegrle sind Integrle üer eiete R n Zweifhintegrle treten B ei der Berehnung des Fläheninhltes und von Flähenträgheitsmomenten uf Dreifhintegrle kommen ei der Berehnung des Volumeninhltes
Ober- und Untersummen, Riemann Integrale
Oer- und Untersummen, Riemnn Integrle 1. Ds Prolem des Fläheninhlts Ausgngspunkt für die Entwiklung des Integrlegriffs wren vershiedene Frgestellungen, u.. ds Prolem der Messung des Fläheninhltes eines
Seite 50. Einstieg. 1 a) α und γ sind Scheitelwinkel. b) α und α sind Stufenwinkel. c) β und δ sind Scheitelwinkel. d) β und δ sind Wechselwinkel.
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