Das geteilte Quadrat

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1 1 Ds geteilte Qudrt Puzzles from round the world by Dik Hess 19. Juli 001 Gegeben sei ein Qudrt mit der Seitenlänge. Ds Qudrt soll in zwei untershiedlihe Rehteke geteilt werden, wobei ds kleine Rehtek genu in ds große Rehtek pssen soll, wie in Abbildung 1 drgestellt. In welhen Verhältnis : muß ds Qudrt geteilt werden? Abbildung 1: Bild zur Aufgbenstellung

2 ? O Lösungsorshlg I on Feli Wolfheimer, Rosbh Wir werden die Aufgbe lgebrish mittels dreier Gleihungen lösen. Die Hilfsgrößen y und z, die bei der Berehnung uftreten, sind in der folgenden Skizze des Problems eingezeihnet., H A E A?, H A E A? Abbildung : Skizze des Problems mit den Hilfsgrößen y und z Ohne Einshränkung der Allgemeinheit werden wir im folgenden den Wert 1 [Längeneinheit] zuweisen. Es seih druf hingewiesen, dß sih ds Verhältnis : niht ändert, wenn ds Qudrt ergrößert oder erkleinert wird. Wir werden nun drei Gleihungen ufstellen, die den Zusmmenhng zwishen den Größen, z und y beshreiben. Dieses nihtlinere Gleihungssystem wird sodnn nh der Größe ufgelöst und drus ds gesuhte Verhältnis berehnet. Die erste Gleihung, die wir ufstellen können beshreibt den Zusmmenhng zwishen y und z. Mit dem Stz des Pythgors folgt z y Mit 1 gilt folglih z 1 y (1) Die zweite Gleihung folgt us der Ähnlihkeit der zwei rehtwinkligen Dreieke, die in der Skizze mrkiert sind. D die Dreieke ähnlih zueinnder sind, müssen die Verhältnisse der Seitenlägen in Dreiek 1 und Dreiek gleih sein. Dmit folgt y {{{{ z Dreiek1 Dreiek

3 3 Setzt mn für 1 und für z den Wert us Gleihung 1, so erhält mn 1 y 1 1 y () Die nähste Gleihung ergibt sih wie shon die orherige us den Ähnlihkeitssätzen. Nur setzen wir dieses Ml ndere Seiten der beiden Dreieke ins Verhältnis. Es folgt {{ z y {{ Dreiek1 Dreiek Setzt mn wieder 1 ein, so folgt, wenn mn ußerdem noh für z den Wert us Gleihung (1) einsetzt 1 1 y 1 y Löst mn Gleihung (3) nh y uf, so ergibt sih (3) y (4) Nun eliminieren wir ls letztes y us Gleihung (), indem wir den unter (4) gefundenen Ausdruk einsetzen. Es folgt 1 1 ( 1 1+ ) Dies ist die Bestimmungsgleihung für, die es nun zu lösen gilt. Der Lösungsweg soll mit den unten orgeführten Shritten grob skizziert werden T (1+ ) : (1 + ) ( ) (1 ) , ± 3 D ntürlih < 1 gelten muß, ist die Lösung 3 die einzig sinnolle Lösung. Ds gesuhte Verhältnis ist dher 1 3

4 4 Lösungsorshlg II Wir bezeihnen die Abshnitte uf den Rehtekseiten wie folgt: y u u y Abbildung 3: Bild zur Aufgbenstellung Vier Gleihungen lssen sih unmittelbr us Abbildung blesen: u + y (1) + () + y (3) u + (4) Bei gegebenen enthlten diese ier Gleihungen fünf Unbeknnte. Um eine eindeutige Lösung zu erzielen, wird noh ein fünfte Bedingung benötigt. Betrhtet mn ds goße Dreik mit den Seiten y, u, und ds kleine Dreiek mit den Seiten,,, so stellt mn fest, ds es sih um ähnlihe Dreiek hndelt (gleih große Innenwinkel!). Sie sind um 90 zueinder gedreht. Dmit ergibt sih ls fünfte Gleihung:

5 5 u y u y (5) Weiterhin knn us dem Flähenäquilent on Qudrt, den Dreieken und den beiden Rehtekstreifen eine Beziehung bgeleitet werden: + + u y (6) Zur Auflösung des Gleihungssystems wird ein Computerlgebrprogrmm wie Derie, MpleV oder Mthemti benutzt. In Mthemti erhält mn ls Lösungsmenge für Gleihung... 6 : Sole[{gl, gl3, gl4, gl5, gl6, {, y, u,, ] {{ y 0, u,, 0, {, y, u 3, + 3, 1 ) ) ( + 3, 1 ( 3 3, { y, u 3, 3, 1 ) ( 3, 1 ( ), { y i ), u + i ), 0, i ), + i ), { y + i ), u i ), 0, + i ), i ), {y, u, 0, 0, 0, Der erste Fll mit bedeutet, ds ds Qudrt im Verhältnis 1 1 geteilt wird. Lut Aufgbenstellung soll ds Qudrt in zwei untershiedlih große Rehteke zerlegt werden. Die Lösung mit + 3 und u 3 kommt niht in Betrht, d < sein muß und lle Streken größer Null sein müssen. Die kompleen Lösungsnteile sind nur im Bereih der theoretishen Mthemtik on Bedeutung. Die letzte Teillösung mit y und 0 heißt, dss ds Rehtek zur Linie entrtet. Als einzige sinnolle Lösung erbleibt dmit: ( 3) (7) ( 3 3) (8) ( 3) (9) u 3 y (10) (11) In Abbildung 3 ist ds Qudrt mit einer Seitenlänge on 6 m und dem Teilungserhältnis 1 3 drgestellt.

6 6 Lösungsorshlg III Während der orn gezeigte Lösungsweg uf ein kompliziertes Gleihungssystem führt soll nun eine Lösung gezeigt werden, die mit elementren Geometriekenntnissen uskommt. Als Lösungsskizze dient Abbildung 4. Es lssen sih folgende Beziehungen blesen: G D A d d H K F E C B Abbildung 4: Skizze zur zweiten Lösung ABC DEF F E (1) + () Ds HGD ist dem HKF ähnlih (gleihe Innenwinkel). Ds Verhältnis der Dreieksseiten muß dher gleih sein. GD, HD HK 1 HF (3) Der Stz des Pythgors im HKF liefert shließlih die Lösung: + ( ) + ( ) (4) ( 3) (5)