Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester Sprachen. Grammatiken (Einführung)

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1 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein Alphet ist eine endliche Menge. Wort Ein Wort ist eine endliche Zeichenkette mit Symolen us Σ. Die Menge ller Wörter üer Σ wird mit Σ ezeichnet. Ds leere Wort (ds Wort der Länge 0) wird mit ε ezeichnet. Die Menge ller nicht-leeren Wörter üer Σ wird mit Σ + ezeichnet. Sprchen Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 1 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 53 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Grmmtiken (Einführung) Sprche Sei Σ ein Alphet. Eine (formle) Sprche L üer Σ ist eine elieige Teilmenge von Σ (L Σ ). Sprchen sind im llgemeinen unendlich: sie enthlten unendlich viele Wörter. Wir ruchen endliche Drstellungen Grmmtiken Grmmtiken für ntürliche Sprchen Ein Mittel, lle syntktisch korrekten Sätze nzugeen Grmmtiken in der Informtik Endlich viele Regeln, um lle Wörter in der Sprche nzugeen Zum Beispiel: Σ = {der, die, ds, kleine, issige, große, Hund, Ktze, jgt}. Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 54 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 55

2 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Grmmtiken (Einführung) Stz Sujekt Prädikt Ojekt Sujekt Artikel Attriut Sustntiv Artikel ε Artikel der Artikel die Artikel ds Attriut ε Attriut Adjektiv Attriut Adjektiv Attriut Adjektiv kleine Adjektiv issige Adjektiv große Sustntiv Hund Sustntiv Ktze Prädikt jgt Ojekt Artikel Attriut Sustntiv Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Grmmtiken (Definition) Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 56 Sprchen und Grmmtiken Grmmtiken (Einführung) Sujekt Stz Prädikt Ojekt Artikel Attr. Sust. Artikel Attr. Sust. Adj. Attr. Adj. Adj. der kleine issige Hund jgt die große Ktze Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 57 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Grmmtiken (Definition) Grmmtiken esitzen Regeln der Form linke Seite rechte Seite Sowohl uf der linken, ls uch uf der rechten Seite können zwei Typen von Symolen vorkommen: Nicht-Terminle (die Vrilen, us denen noch weitere Wortestndteile geleitet werden sollen) Terminle (die eigentlichen Symole) Definition (Grmmtik) Eine Grmmtik G ist ein 4-Tupel G = (V, Σ, P, S), ds folgende Bedingungen erfüllt: V ist eine endliche Menge von Nicht-Terminlen zw. Vrilen Σ ist ds (endliche) Alphet zw. die Menge der Terminl(symol)e. (Es muss gelten: V Σ =, d.h., kein Zeichen ist gleichzeitig Terminl und Nicht-Terminl.) P ist eine endliche Menge von Regeln zw. Produktionen mit P (V Σ) + (V Σ). S V ist die Strtvrile. Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 58 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 59

3 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Grmmtiken (Definition) Sprchen und Grmmtiken Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Grmmtiken (Beispiel) Sprchen und Grmmtiken Wie sehen Produktionen us? P (V Σ) + (V Σ) Eine Produktion us P ist ein Pr (l, r) von Wörtern üer V Σ. Eine Produktion wird zumeist l r geschrieen wird. Dei gilt: Sowohl l ls uch r estehen us Vrilen und Terminlsymolen. l drf nicht leer sein. (Eine Regel muss immer zumindest ein Zeichen ersetzen.) Konventionen: Vrilen: A, B, C,..., S, T,... Terminlsymole:,, c,... und 0, 1,... Beispiel-Grmmtik G = (V, Σ, P, S) mit V = {S, B, C} Σ = {,, c} P = {S SBC, S BC, CB BC, B, B, C c, cc cc} Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 60 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Grmmtiken (Aleitungen) Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 61 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Grmmtiken (Aleitungen) Wie werden die Produktionen eingesetzt, um Wörter us der Strtvrile S zu erzeugen? Definition (Aleitung) Sei G = (V, Σ, P, S) eine Grmmtik und seien u, v (V Σ) Wörter. Es gilt: u G v (u geht unter G unmittelr üer in v), flls u, v folgende Form hen: u = xly und v = xry, Konventionen: Wörter us (V Σ) werden mit Kleinuchsten us der hinteren Hälfte des Alphets ezeichnet: u, v, w, x, y, z,... Die Konktention zweier Wörter u, v wird mit uv ezeichnet. Sttt u G v schreit mn uch u v, wenn klr ist, um welche Grmmtik es sich hndelt. woei x, y (V Σ) und l r eine Regel in P ist. Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 62 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 63

4 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Grmmtiken (Aleitungen) Sprchen und Grmmtiken Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Grmmtiken und Sprchen Sprchen und Grmmtiken Aleitung Eine Folge von Wörtern w 0, w 1, w 2,..., w n mit w 0 = S und w 0 G w 1 G w 2 G G w n heißt eine Aleitung von w n (us S). Die w i dürfen sowohl Terminle ls uch Vrilen enthlten. Solche Wörter werden Stzform gennnt. Mn schreit in diesem Fll uch w 0 G w n. Die von einer Grmmtik erzeugte Sprche Die von einer Grmmtik G = (V, Σ, S, P) erzeugte (drgestellte, definierte) Sprche ist L(G) = {w Σ S G w}. In nderen Worten: Die von G erzeugte Sprche esteht genu us den Wörtern, die in einem oder mehreren Schritten us S geleitet werden können und nur us Terminlen estehen. Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 64 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Welche Sprche erzeugt die Beispiel-Grmmtik? Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 65 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Grmmtiken und Sprchen Beispiel-Grmmtik G = (V, Σ, P, S) mit V = {S, B, C} Σ = {,, c} P esteht us: S SBC B B CB BC S BC C c cc cc Die vorherige Beispiel-Grmmtik G erzeugt die Sprche Bemerkung: Aleiten ist kein deterministischer, sondern ein nichtdeterministischer Prozess. Für ein Wort u (V Σ) knn es entweder gr kein, ein oder mehrere v geen mit u G v. In nderen Worten: G ist keine Funktion. Dieser Nichtdeterminismus knn durch zwei verschiedene Effekte verurscht werden.... L(G) = { n n c n n 1}. Dei ist n = }. {{.. }. n-ml Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 66 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 67

5 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Grmmtiken und Sprchen Grmmtiken und Sprchen Zwei verschiedene Regeln sind nwendr: In der Beispiel-Grmmtik: SBC BC BCBC Weitere Bemerkungen: Es knn elieig lnge Aleitungen geen, die nie zu einem Wort us Terminlsymolen führen: S SBCBC S SBC SBCBC SBCBCBC... BC SBBC C Eine Regel ist n zwei verschiedenen Stellen nwendr. In der Beispiel-Grmmtik: SBBC CBC Mnchml können Aleitungen in einer Sckgsse enden, d.h., owohl noch Vrilen in einer Stzform vorkommen, ist keine Regel mehr nwendr. S SBC BCBC CBC cbc SBCBCBC SBCBBC C Ein Wort wird von der Grmmtik erzeugt, flls es mindestens eine Aleitung des Wortes git. Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 68 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Die Chomsky-Hierrchie Chomsky-Hierrchie Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 69 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Die Chomsky-Hierrchie ε-sonderregel Wir klssifizieren nun Grmmtiken nch der Form ihrer Regeln: Chomsky-Hierrchie für Grmmtiken Chomsky-Typ 0: Jede Grmmtik ist vom Typ 0. (Keine Einschränkung der Regeln.) Chomsky-Typ 1: Für lle Regeln l r gilt: l r. Chomsky-Typ 2: Für lle Regeln l r gilt zusätzlich, dss l V. (D.h. l ist eine einzelne Vrile.) Chomsky-Typ 3: Für lle Regeln l r gilt zusätzlich, dss r = oder r = B, für Σ und B V. ε-sonderregel (Für Typ-1-, Typ-2- und Typ-3-Grmmtiken) Wenn S ds Strtsymol ist, drf S ε vorkommen, wenn S nicht uf der rechten Seite einer Regel vorkommt. Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 70 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 71

6 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Die Chomsky-Hierrchie Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Die Chomsky-Hierrchie Chomsky-Hierrchie Chomsky-Hierrchie Grmmtiken Typ 0 Typ 1 Typ 2 Typ 3 keine Einschränkung l r l V r = oder r = B Nmen von Grmmtikklssen Typ 0:... Typ 1: Kontextsensitive Grmmtiken, Monotone Grmmtiken Typ 2: Kontextfreie Grmmtiken Typ 3: Reguläre Grmmtiken Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 72 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Die Chomsky-Hierrchie Chomsky-Hierrchie Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 73 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Die Chomsky-Hierrchie Chomsky-Hierrchie Grmmtiken Sprchen Chomsky-Hierrchie für Sprchen Eine Sprche L Σ heißt vom Typ i (i {0, 1, 2, 3}), flls es eine Typ-i-Grmmtik G git mit L(G) = L (d.h., L wird von G erzeugt.) Nmen von Sprchklssen Typ 0: semi-entscheidre Sprchen, rekursiv ufzählre Sprchen Typ 1: kontextsensitive Sprchen Typ 2: kontextfreie Sprchen, lgerische Sprchen Typ 3: reguläre Sprchen Typ 0 Typ 0 Typ 1 Typ 1 Typ 2 Typ 2 Typ 3 Typ 3 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 74 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 75

7 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Die Chomsky-Hierrchie Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Die Chomsky-Hierrchie Chomsky-Hierrchie Bckus-Nur-Form Grmmtiken Sprchen Alle Sprchen Wir werden für kontextfreie und reguläre Grmmtiken oft die folgende kürzere Schreiweise enützen (die sogennnte Bckus-Nur-Form). Typ 0 Typ 0 Wenn es Regeln Typ 1 Typ 1 Typ 2 Typ 2 A w 1. A w n Typ 3 Typ 3 git, schreien wir uch A w 1 w n Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 75 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Wortprolem für kontextsensitiven Sprchen Wortprolem Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 76 Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Wortprolem für kontextsensitiven Sprchen Wortprolem für Typ-1-Sprchen Wortprolem Gegeen sei eine Grmmtik G (von elieigem Typ) und ein Wort w Σ. Entscheide, o w L(G). Entscheidrkeit des Wortprolems (Stz) Ds Wortprolem ist entscheidr für Typ-1-Grmmtiken (und dmit uch für reguläre und kontextfreie Grmmtiken). Ds heißt: es git ein Verfhren, ds entscheidet, o w L(G) gilt. Algorithmus zum Lösen des Wortprolems für Typ-1-Sprchen: git true us genu dnn, wenn w L(G). input (G, w) T := {S} repet T := T T := T {u u w und u u, für ein u T } until w T or T = T return w T Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 77 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 78

8 Reguläre Sprchen Reguläre Sprchen Endliche Automten Reguläre Sprchen Endliche Automten Wir eschäftigen uns jetzt einige Wochen mit regulären Sprchen. deterministische und nicht-deterministische endliche Automten reguläre Ausdrücke eweisen, dss eine Sprche nicht regulär ist: Pumping Lemm Minimlutomten und Äquivlenzreltionen Aschlusseigenschften und Entscheidungsverfhren In diesem Aschnitt eschäftigen wir uns mit regulären Sprchen, er zunächst unter einem nderen Blickwinkel. Sttt Typ-3-Grmmtiken etrchten wir zustndssierte Automtenmodelle, die mn uch ls Sprchkzeptierer etrchten knn. Deterministische endliche Automten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 80 Reguläre Sprchen Endliche Automten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 81 Reguläre Sprchen Endliche Automten Aluf eines deterministischen endlichen Automten Grphische Nottion: Zustnd: z Anfngszustnd: z 0 Endzustnd: z E Üergng: z 1 z 2 Einge: Beispiel: (Σ = {, }) Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 82 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 83

9 Reguläre Sprchen Endliche Automten Reguläre Sprchen Endliche Automten Aluf eines deterministischen endlichen Automten Aluf eines deterministischen endlichen Automten Einge: Einge: Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 83 Reguläre Sprchen Endliche Automten Aluf eines deterministischen endlichen Automten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 83 Reguläre Sprchen Endliche Automten Aluf eines deterministischen endlichen Automten Einge: Einge: Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 83 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 83

10 Reguläre Sprchen Endliche Automten Reguläre Sprchen Endliche Automten Aluf eines deterministischen endlichen Automten Aluf eines deterministischen endlichen Automten Einge: Einge: Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 83 Reguläre Sprchen Endliche Automten Aluf eines deterministischen endlichen Automten Deterministische endliche Automten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 83 Reguläre Sprchen Endliche Automten Einge: Informelle Definition: Ein deterministischer endlicher Automt esteht us: Zuständen (dvon 1 Strtzustnd, mnche sind Endzustände) einer Üerführungsfunktion Es gelten die folgende Bedingungen: Ds Alphet und die Zustndsmenge sind endlich. Die Üergngsfunktion ildet jedes Pr estehend us einem Zustnd und einem Alphetsymol uf genu einen Nchfolgezustnd. Ein Wort wird von dem DFA kzeptiert, flls mn ei dem Anfngszustnd nfängt und nch dem Einlesen des Wortes in einem Endzustnd endet. Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 83 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 84

11 Reguläre Sprchen Endliche Automten Deterministische endliche Automten Reguläre Sprchen Endliche Automten Deterministische endliche Automten Deterministischer endlicher Automt (Definition) Ein (deterministischer) endlicher Automt M ist ein 5-Tupel M = (Z, Σ, δ, z 0, E), woei Z die Menge der Zustände, Σ ds Eingelphet (mit Z Σ = ), z 0 Z der Strtzustnd, E Z die Menge der Endzustände und δ : Z Σ Z die Üerführungsfunktion (oder Üergngsfunktion) ist. Z, Σ müssen endliche Mengen sein. Die isherige Üergngsfunktion δ liest nur ein Zeichen uf einml ein. Wir verllgemeinern sie dher zu einer Üergngsfunktion ˆδ, die die Üergänge für gnze Wörter ermittelt. Mehr-Schritt-Üergänge Zu einem gegeenen DFA M = (Z, Σ, δ, z 0, E) definieren wir eine Funktion ˆδ : Z Σ Z induktiv wie folgt: mit z Z, x Σ und Σ. ˆδ(z, ε) = z ˆδ(z, x) = ˆδ(δ(z, ), x) Akürzung: DFA (deterministic finite utomton) Deterministische endliche Automten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 85 Reguläre Sprchen Endliche Automten Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 86 Reguläre Sprchen Endliche Automten Deterministische endliche Automten: Beispiel e Sprche Die von einem DFA M = (Z, Σ, δ, z 0, E) kzeptierte Sprche ist T (M) = {x Σ ˆδ(z 0, x) E}. In nderen Worten: Die Sprche knn mn ddurch erhlten, indem mn llen Pfden vom Anfngszustnd zu einem Endzustnd folgt und dei lle Zeichen uf den Üergängen ufsmmelt. Sei Σ = {, }. Welche Sprche kzeptiert dieser DFA? z 0 z 1 z 2, Wir suchen einen DFA, der die folgende Sprche L kzeptiert: L = {x Σ x fängt mit nd und endet mit } Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 87 Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 88

12 Reguläre Sprchen Endliche Automten Deterministische endliche Automten DFAs Reguläre Sprchen (Stz) Jede von einem endlichen Automten kzeptierte Sprche ist regulär. Idee: Zustände Vrilen Üergänge Produktionen Forml: Wir konstruieren die Grmmtik G = (V, Σ, P, S), woei V = Z, S = z 0 und P folgende Produktionen enthält: Flls ε T (M), enthält P eine Produktion S ε. Für lle z 1 Z und Σ: Flls δ(z 1, ) = z 2, dnn gilt (z 1 z 2 ) P. Flls zusätzlich gilt, dss z 2 E, dnn gilt uch (z 1 ) P. Snder Bruggink Automten und Formle Sprchen 89