Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Transkript

1 Inhltsverzeichnis Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien 1 Grundlgen und formle Beweise 3 Venn-Digrmme (Folie 32) Beispiele zu Mengenopertionen (Folie 33) Beispiele zur Potenzmenge (Folie 34) Beispiele zum Kreuzprodukt (Folie 36) Beispiele zu Reltioneneigenschften (Folien 39 41) Beispiele zu Funktionen (Folie 42) Whrheit und Gültigkeit (Folie 43) Üersetzungen von ntürlicher Sprche in Prädiktenlogik (Folie 45) Beispiel eines Beweises (Folie 54) Beispiel eines Gegeneispiels (Folie 55) Beispiel eines Beweises üer Mengen (Folie 58) Beispiel eines Widerspruchseweises (Folie 59) Beispiel eines Beweises durch Induktion (Folie 61) Sprchen und Grmmtiken 8 Beispielleitung in einer Grmmtik (Zu Folie 75) Bemerkung zur Chomsky-Hierrchie für Grmmtiken (Folie 85) Grmmtiken in Chomsky-Hierrchie einordnen (Folien 85, 86 und 89) Bemerkung zur Chomsky-Hierrchie für Sprchen (Folie 89) Wortprolem-Algorithmus für Typ-1-Grmmtiken (Folie 93) Endliche Automten 10 Üerführungsfunction eines DFA (Folien 99 und 100) Beispiel-DFAs (Folie 102) DFA Reguläre Grmmtik (Folie 103) Üerführungsfunktion eines NFA (Folien 107 und 108) NFA-Beispiele (Zu Folie 111) Potenzmengenkonstruktion: Korrektheitseweis (Folie 114) Potenzmengenkonstruktion: Beispiele (Folie 114) Größe von NFAs und DFAs Reguläre Grmmtik NFA: Korrektheit der Konstruktion (Folie 117) Reguläre Grmmtik NFA: Beispiel (Folie 117) Reguläre Ausdrücke 17 Präzedenz der Opertoren (Folien 121) Beispiele von regulären Ausdrücken (Folie 123) Regulärer Ausdruck NFA (Folien ) NFA regulärer Ausdruck (Folien ) Reguläre Ausdrücke in der Prxis (Folie 145) Ds Pumping Lemm 21 Schufchprinzip (Folie 150) Pumping-Lemm-Beispiele

2 6 Minimlutomten und Myhill Nerode-Äquivlenz 23 Äquivlenzklssen (Folien ) Beispiel Erkennungsäquivlenz (Folie 166) Zusmmenhng zwischen Myhill Nerode-Äquivlenz und Erkennungsäquivlenz (Folie 173) 25 Beispiele für Myhill Nerode-Äquivlenz (Folien 174, 178) Nichtregulrität eweisen mit dem Stz von Myhill Nerode (Folie 180) Aschlusseigenschften und Lösungsverfhren 27 Konstruktion des Komplementutomten (Folie 190) Beispiel Kreuzproduktkonstruktion (Folie 193) Progrmmverifiktion: Wechselseitiger Ausschluss 28 Erster Versuch: Prozessmodell (Folie 216) Versuch 1: Üerprüfung mit Gril Versuch 2: Üerprüfung mit Gril Wiederholung regulärer Sprchen 29 Wiederholung: Drei Beweise der Nicht-Regulrität Kontextfreie Grmmtiken 30 Beispiele für kontextfreien Grmmtiken ɛ-produktionen entfernen (Folien 234 und 235) Mehrdeutige Grmmtik (Folie 242) Beispiele Chomsky-Normlform (Folien ) Der CYK-Algorithmus 35 Zu Folien 256/257 (Nottioneispiel) CYK-Beispiele Ds Pumping-Lemm für kontextfreien Sprchen 36 Beispiel zum Pumpmechnismus (Folie 269) Eigenschften der Zerlegung des Pumping-Lemms (Folie 270) Pumping-Lemm-Beispiele (Folie 274) Kellerutomten 39 Wrum ein Automtenmodell für kontextfreien Sprchen (zu Folie 275) Bemerkung zur Beispielsprche (Folie 276) Bedeutung der Üerführungsfunktion eines Kellerutomten (zu Folien ) Nottion der Üerführungsfunktion Bemerkung zu Folie Kellerutomt-Beispiele Kontextfreie Grmmtik PDA (Folie 297/298) PDA kontextfreie Grmmtik (Folien ) Aschlusseigenschften und Algorithmen kontextfreier Sprchen 46 Kellerutomten mit Endzuständen (Folie 312) Aschluss unter Vereinigung (Folie 315) Aschluss unter Produkt (Folie 316) Aschluss unter der Stern-Opertion (Folie 317) Aschluss unter Schnitt (Folie 318) Beispiel Kreuzproduktkonstruktion NFA/Kellerutomt (Folie 319,320) Zu Folie

3 15 Erzeugen eines Prsers mit ANTLR 50 EBNF-Form (Folien ) ANTLR nrufen Grundlgen und formle Beweise Venn-Digrmme (Folie 32) Im oeren Digrmm der Folie 32 sind zwei Mengen ngegeen: A und B. Es ist explizit ein Element von A ngegeen, ds kein Element von B ist. O B Elemente ht (und o es Ojekte git, die Element von sowohl A ls uch von B sind) ist nicht Explizit ngegeen. Im zweiten Digrmm ist A eine Teilmenge von B. Beispiele zu Mengenopertionen (Folie 33) Sei A = {1, 3, 5} und B = {2, 3, 4}. Dnn gilt: A B = {1, 2, 3, 4, 5} A B = {3} A \ B = {1, 5} B \ A = {2, 4} Beispiele zur Potenzmenge (Folie 34) P({, }) = {, {}, {}, {, } } P({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} } P(P( )) = P({ }) = {, { }} Bemerkung: es ist für lle Mengen A der Fll, dss A und A A. Ds heißt, dss es immer der Fll ist, dss P(A) und A P(A). Beispiele zum Kreuzprodukt (Folie 36) {1, 3} {2, 4} = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4)} {,, c} {1} = {(, 1), (, 1), (c, 1)} A = (für lle Mengen A) Beispiele zu Reltioneneigenschften (Folien 39 41) () c () c (c) c (d) c d d d d 3

4 Reltion () ist reflexiv, trnsitiv und symmetrisch. Sie ist deswegen uch eine Qusi-Ordnung und eine Äquivlenzreltion. Die Reltion ist nicht ntisymmetrisch und deshl keine Ordnung. Reltion () ist symmetrisch. (Sie ht keine der nderen gennnten Eigenschften.) Reltion (c) ist trnsitiv und ntisymmetrisch. (Sie ht keine der nderen gennnten Eigenschften.) Reltion (d) ist trnsitiv und ntisymmetrsich. (Sie ht keine der nderen gennnten Eigenschften.) Weiter Beispiele zu (Qusi-)Ordnungen und Äquivlenzreltionen: Die Reltion ist eine Ordnung uf N, denn sie ist reflexiv (x x), sie ist ntisymmetrisch (wenn x y und y x, dnn gilt x = y), und sie ist trnsitive (wenn x y und y z, dnn uch x z). Die Reltion = is eine Äquivlenzreltion uf N. Beispiele zu Funktionen (Folie 42) Sei A = {,, c} und B = {1, 2, 3}. Gegeen seien: f 1 = { (, 1), (, 1), (c, 2) } f 2 = { (, 1), (, 2), (c, 3) } f 3 = { (, 1), (, 2), (, 1), (c, 2) } f 4 = { (, 1), (c, 2) } Die Reltionen f 1 und f 2 sind Funktionen von A nch B. Die Reltion f 3 ist keine Funktion von A nch B, denn es git zwei y B so dss (, y) f 3, nämlich 1 und 2. Die Reltion f 4 ist uch keine Funktion von A nch B, denn es git keine y B so dss (, y) f 4 (es wird uch gesgt: h ist nicht uf definiert). Beispiel (Qudrtfunktion): Sei die Funktion f folgendermßen definiert: f : Z N, f(n) = n 2 Dnn ist f eine Funktion, weil es für jede z Z genu eine n N git, mit f(z) = n. Zum Beispiel: f( 3) = 9 f(1) = 1 f( 2) = 4 f(0) = 0 f(2) = 4 f( 1) = 1 f(3) = 9 Whrheit und Gültigkeit (Folie 43) In der Mthemtik git es einen sutilen Unterschied zwischen Whrheit und Gültigkeit. Eine mthemtische Aussge ist whr, wenn sie mit der Wirklichkeit üereinstimmt. (Mit der Frge ws die Wirklichkeit für einen Mthemtiker ist, eschäftigen wir uns in dieser Vorlesung nicht.) 4

5 Eine mthemtische Aussge ist gültig, wenn wir sie eweisen können. Gültigkeit ist lso eine stärkere Eigenschft ls Whrheit: wenn eine Aussge gültig ist, ist sie uch whr. Seit Gödel wissen wir er, dss es whre Aussgen git, die nicht eweisr sind. Trotzdem, wird in der Mthemtik eine Aussge im Allgemeinen erst für whr ngenommen, wenn wir sie eweisen können. In dieser Vorlesung ist der Unterschied zwischen whr und gültig nicht weiter von Bedeutung; wir werden deswegen die Worte ls synonym etrchten. Üersetzungen von ntürlicher Sprche in Prädiktenlogik (Folie 45) Nicht lle Verknüpfungen und Quntoren sind explizit ngegeen! Es git eine Primzhl, die gerde ist. x ( Prim(x) Gerde(x) ) Alle Primzhlen sind ungerde. x ( Prim(x) Gerde(x) ) Sei x eine gerde Primzhl. Es gilt x < 10. x (( Prim(x) Gerde(x) ) x < 10 ) Wenn x eine gerde Zhl größer ls 3 ist, dnn ist x keine Primzhl. x (( Gerde(x) x > 3 ) Prim(x) ) Beispiel eines Beweises (Folie 54) Stz. Sei A eine Menge, und A A eine Qusi-Ordnung uf A. Definiere die Reltion wie folgt: x y flls x y und y x. Dnn ist eine Äquivlenzreltion. Beweis. Nch Definition müssen wir zeigen, dss eine Äquivlenzreltion ist, ds heißt, dss reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. Reflexiv. Nehme n, dss A. Weil eine Qusi-Ordnung ist, ist reflexiv. Ds heißt, dss für lle x A, x x. Insesonder gilt ds für x =. Deswegen gilt. Aus und folgt nch Definition, dss. Weil für ein elieiges A gilt, gilt für lle A. Die Reltion is lso reflexiv. Symmetrisch. Nehme n, dss, A und. Nch Definition edeutet, dss und. Nch Definition folgt us und, dss. Weil dies gilt für elieige, A mit, schließen wir, dss für lle, A us uch folgt. Die Reltion ist lso symmetrisch. Trnsitiv. Nehme n, dss,, c A, und c. Nch Definition folgt us dss und. Außerdem folgt nch Definition us c dss c und c. Weil eine Qusi-Ordnung ist, ist sie trnsitiv. Deswegen folgt us und c, dss c. Außerdem folgt us c und, dss c. Weil c und c gilt nch Definition, dss c. Dies gilt für elieige,, c A, und deswegen können wir schließen, dss trnsitiv ist. Weil reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist, ist sie eine Äquivlenzreltion. 5

6 Beispiel eines Gegeneispiels (Folie 55) Aussge: Sei R A A eine inäre Reltion. Wenn R symmetrisch und trnsitiv ist, ist sie uch reflexiv. Diese Aussge ist flsch. Um dies zu zeigen, reicht es us, ein Gegeneispiel nzugeen. Sei A = {0} und R =. Dnn ist R symmetrisch (denn die Prämisse x R y ist nie erfüllt) und trnsitiv (denn die Prämissen x R y und y R z sind nie erfüllt), er nicht reflexiv. Beispiel eines Beweises üer Mengen (Folie 58) Stz. Für Mengen A, B, C gilt: (A B) C = (A C) (B C) Beweis. Es git zwei Richtungen zu eweisen: (A B) C (A C) (B C): Nehme n, dss x (A B) C. Nch Definition, gilt entweder x (A B) oder x C. Wenn x (A B), dnn gilt, dss x A und x B. Aus x A folgt, dss x (A C). Aus x B folgt, dss x (B C). Weil x (A C) und x (B C) gilt, dss x (A C) (B C). Wenn x C, dnn gilt nch Defintion, dss x (A C) und x (B C). Weil x (A C) und x (B C) gilt, dss x (A C) (B C). Weil wir in eiden Fällen x (A C) (B C) geleitet hen, gilt x (A C) (B C). (A C) (B C) (A B) C: Nehme n, dss x (A C) (B C). Nch Definition von heißt ds, dss x (A C) und x (B C). Aus x (A C) folgt, dss entweder x A oder x C. Nehme n, dss x A. Wegen x (B C) git es zwei Möglichkeiten: Wenn x B, dnn hen wir wegen x A, dss x (A B). Deswegen gilt, dss x (A B) C. Wenn x C, dnn gilt sofort, dss x (A B) C. In eiden Fällen gilt x (A B) C, und deswegen können wir x (A B) C schließen. Nehme n, dss x C. Dn folgt sofort, dss x (A B) C. In eiden Fällen gilt x (A B) C, und deswegen können wir x (A B) C schließen. Beispiel eines Widerspruchseweises (Folie 59) Stz. 2 ist irrtionl, ds heißt, es git keine m, n Z, so dss m n = 2. Beweis. Wir nehmen die Negtion der zu eweisenden Aussge n und leiten einen Widerspruch. Wir nehmen lso n, dss es gnze Zhlen m und n git, so dss m n = 2. 6

7 Weil wir m und n durch gemeinsme Teiler teilen können, folgt us der oigen Annhme, dss es teilerfremde p, q Z git, so dss p q = 2. Beide Seiten mit q multiplizieren liefert und qudrtieren liefert p = 2 q, p 2 = 2q 2. Ds heißt, dss p 2 eine gerde Zhl ist. Weil ds Qudrt einer ungerden Zhl immer ungerde ist, muss p uch eine gerde Zhl sein. Ds heißt, dss für eine gnze Zhl. Drus folgt teilen durch 2 liefert p = 2 2q 2 = p 2 = (2) 2 = 4 2 ; q 2 = 2 2. Sowohl q 2 ls uch q sind lso uch gerde Zhlen. Dss p und q eide gerde sind, ist er im Widerspruch zur Ttsche, dss p und q teilerfremd sind (2 ist Teiler eider Zhlen). Unsere Annhme wr lso flsch, und deswegen schließen wir, dss es keine gnze Zhlen m und n git, so dss m n = 2. Beispiel eines Beweises durch Induktion (Folie 61) Stz. Für lle n > 0 gilt, n = n (n + 1). 2 Beweis. Wir eweisen den Stz mit vollständiger Induktion. 1 Induktionsnfng. Für n = 1 gilt: (Bemerkung: 1 (1 + 1) 2 = = 1 = i n i ist Kurznottion für n.) i=1 Induktionschritt. Nehme n, dss n i = i=1 n (n + 1). 2 1 Vollständige Induktion ist Induktion uf den ntürlichen Zhlen. i=1 7

8 (Dies ist die Induktionsvorussetzung.) Dnn gilt: n+1 i = i=1 n i + (n + 1) i=1 n (n + 1) = + (n + 1) (IH) 2 = n2 + n + 2n = n2 + 3n (n + 1) (n + 2) = 2 Der mit (IH) geschrifteten Schritt folgt us der Induktionsvorussetzung (Induktionshypothese). Wegen vollständiger Induktion, gilt der Stz. 2 Sprchen und Grmmtiken Beispielleitung in einer Grmmtik (Zu Folie 75) Eine Aleitung des Wortes cc in der Grmmtik der Folie 72: S SBC BCBC BBCC BCC CC cc cc Ds heißt, dss cc L(G). Bemerkung zur Chomsky-Hierrchie für Grmmtiken (Folie 85) Alle gennnten Bedingungen gelten zusätzlich zu den vorher gennnten Bedingungen. Ds heißt, eine reguläre Grmmtik G = (Σ, V, P, S) muss die folgenden Bedingungen erfüllen: für lle Regeln l r gilt: l r ; l V (l ist eine einzelne Vrile); r = oder r = B, für Σ und B V. Die Chomsky-Hierrchie für Grmmtiken ist eine Hierrchie. Ds heißt, jede Chomsky-i-Grmmtik ist uch eine Chomsky-(i 1)-Grmmtik (für i {1, 2, 3}). Es ist möglich, dss die gleiche Sprche von zwei verschiedenen Grmmtiken erzeugt wird. Die zwei verschiedenen Grmmtiken können uch von verschiedenem Chomsky-Typ sein. Grmmtiken in Chomsky-Hierrchie einordnen (Folien 85, 86 und 89) Beispiele 8

9 Sei G 0 = ({S}, {, }, P 0, S), woei P 0 die folgenden Produktionen enthält: S S ɛ ɛ ɛ Die Grmmtik G 0 ist vom Typ 0, er nicht vom Typ 1, denn es git Produktionen l r mit l > r. Sei G 1 = ({S, A, B, T, X}, {, }, P 1, S), woei P 1 die folgenden Produktionen enthält: S XT ɛ T BT T A B A BA AB XA X XB B Die Grmmtik G 1 ist kontextsensitiv (Typ 1), denn für lle Produktionen l r gilt, dss l r (S ɛ is erlut wegen der ɛ-sonderregel.) Sie ist er nicht kontextfrei, denn drei Produktionen enthlten nicht eine einzelne Vrile ls linke Seite. Sei G 2 = ({S, T }, {, }, P 2, S), woei P 2 die folgenden Produktionen enthält: S T ɛ T T T Die Grmmtik G 2 ist kontextfrei (Typ 2), denn sie ist kontextsensitiv und lle linke Seiten estehen us einer einzelnen Vrile. (Die Produktion S ɛ ist erlut wegen der ɛ- Sonderregel.) Sie ist er nicht regulär (Typ 3), denn die rechte Seite der Produktion T T ist nicht von der richtigen Form. Sei G 3 = ({S, A, B}, {, }, P 3, S), woei P 3 die folgenden Produktionen enthält: S A B B ɛ A A B B B Die Grmmtik G 3 ist regulär, denn sie ist konstextsensitiv, kontextfrei, und lle Regeln hen die richtige Form. (S ɛ is wieder erlut wegen der ɛ-sonderregel.) Ürigens erzeugen lle Grmmtiken die sele Sprche: L(G 0 ) = L(G 1 ) = L(G 2 ) = L(G 3 ) = { k n k, n 0}. Die von llen Grmmtiken erzeugte Sprche ist lso regulär, denn es git eine reguläre Grmmtik, die die Sprche erzeugt (in diesem Fll: G 3 ). (Die Sprche ist ntürlich uch kontextfrei und kontextsensitiv.) 9

10 Bemerkung zur Chomsky-Hierrchie für Sprchen (Folie 89) Es gilt folgendes: Die Sprchklssen sind in einnder enthlten. Jede Typ i-sprche ist uch eine Typ-(i 1)- Sprche (für i {1, 2, 3}). Die Sprchklssen sind echt in einnder enthlten. Für jede Sprchklsse Typ i (woei i {0, 1, 2}), git es eine Sprche die vom Typ i ist, er nicht vom Typ (i + 1). Es git uch Sprchen, die gr nicht von einer Grmmtik erzeugt werden! (Dzu mehr in der Vorlesung Berechenrkeit und Komplexität.) Wortprolem-Algorithmus für Typ-1-Grmmtiken (Folie 93) Wortprolem für ds Wort c und die Beispiel-Grmmtik von Folie 77. Anfng: T = {S} 1. Schritt: T = {S, SBC, BC} 2. Schritt: T = {S, SBC, BC, BCBC, SBCBC, C} 3. Schritt: T = {S, SBC, BC, C, c} 4. Schritt: T = {S, SBC, BC, C, c} Keine Änderungen mehr, lso terminiert der Algorithmus. Weil c / T, gilt c / L(G). 3 Endliche Automten Üerführungsfunction eines DFA (Folien 99 und 100) Wie sieht die Üerführungfunktion us? δ : Z Σ Z Ds heißt: Ein Pr us Zustnd und Alphetsymol wird uf einen Zustnd geildet. Also, δ(z 1, ) = z 2 heißt, dss ein mit eschrifteter Pfeil von z 1 zu z 2 geht. Beispiel: der Automt uf Folie 96 wird wie folgt textuell drgestellt: M = ({z 1, z 2 }, {, }, δ, z 1, {z 2 }), woei: δ(z 1, ) = z 1 δ(z 2, ) = z 2 δ(z 1, ) = z 2 δ(z 2, ) = z 1 Erweiterung uf Wörter Die Funktion ˆδ ist die Erweiterung von δ von Symolen uf Wörter. Beispiel (siehe Automt uf Folie 96): ˆδ(z 1, ) = ˆδ(δ(z 1, ), ) = ˆδ(z 1, ) = ˆδ(δ(z 1, ), ɛ) = ˆδ(z 2, ɛ) = z 2 Ds edeutet, dss ds Einlesen des Wortes den Automten vom Zustnd z 1 in den Zustnd z 2 führt. 10

11 Beispiel-DFAs (Folie 102) Antwort der ersten Aufge: L = {x Σ x enthält genu 1 } Antwort der zweiten Aufge: M = (Z, Σ, δ, z 0, E), mit Z = {1, 2, 3, 4}, Σ = {, }, z 0 = 1, E = {4}: , Die verschiedene Zustände eines DFA hen lle eine Bedeutung. In diesem Fll: 1. Wenn der Automt in Zustnd 1 ist, ht sie gerde ngefngen und noch kein Symol eingelesen. 2. Wenn der Automt in Zustnd 2 ist, wr ds erste eingelesene Symol ein, und wr uch ds zuletzt eingelesene Symol ein. 3. Wenn der Automt in Zustnd 3 ist, wr ds erste eingelesene Symol ein, und wr ds zuletzt eingelesene Symol ein. (In diesem Zustnd knn ds Wort kzeptiert werden.) 4. Wenn der Automt in Zustnd 4 ist, wr ds erste eingelesene Symol kein. Ds heißt, dss ds Wort nicht in der Sprche liegen knn. Deswegen knn us diesem Zustnd kein Endzustnd mehr erreicht werden. DFA Reguläre Grmmtik (Folie 103) Stz. Jede von einem endlichen Automten kzeptierte Sprche ist regulär. Beweis. Nch Definition, ist eine Sprche regulär, wenn es eine reguläre Grmmtik git, die sie erzeugt. Sei ein endlicher Automt M = (Z, Σ, δ, z 0, E) gegeen. Wir müssen zeigen, dss es eine reguläre Grmmtik G git, mit L(G) = T (M). Wir konstruieren die Grmmtik G = (V, Σ, P, S), woei V = Z, S = z 0 und P folgende Produktionen enthält: Für lle z 1 Z und Σ: Flls δ(z 1, ) = z 2, dnn gilt (z 1 z 2 ) P. Flls zusätzlich gilt, dss z 2 E, dnn gilt uch (z 1 ) P. Flls ɛ T (M), enthält P eine Produktion S ɛ. Es ist dnn noch notwendig, die Grmmtik noch weiter umzuwndeln, dmit die ɛ-sonderregel nicht verletzt wird; dies ist immer möglich. Jetzt müssen wir noch eweisen, dss T (M) = L(G). Dfür git es zwei Richtungen. 11

12 Angenommen, 1... n T (M). Dnn git es Zustände q 0,..., q n, so dss q 0 = z 0, q n E und q i = δ(q i 1, i ), für i {1,..., n}. Nch Konstruktion heißt ds, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Weil ußerdem q n E, gilt uch (q n 1 n ) P. Deswegen ist z 0 1 q q n 1 q n n eine Aleitung von G, und es gilt 1... n L(G). Angenommen, 1... n L(G). Nch Definition muss es eine Aleitung z 0 1 q q n 1 q n n geen. Nch Konstruktion heißt ds, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Ds heißt, dss (q i 1 i q i ) P, für i {1,..., n}. Nch Konstruktion gilt q i = δ(q i 1, i ). Weil ußerdem (q n 1 n ) P, git es einen q n E so dss q n = δ(q n 1, n ). Drus folgt, dss 1... n T (M). Spezilfll: ɛ T (M) (S ɛ) P ɛ L(G). (Die letzte Äquivlenz gilt, weil, nch Konstruktion, es keine ndere Produktionen der Form A ɛ geen knn.) Bemerkung: Oiger Beweis ist konstruktiv. Ds heißt, dss er ein Verfhren enthält, ds wir enützen können, um eine zu einem DFA äquivlente reguläre Grmmtik zu erzeugen. Beispiel zur Umwndlung Wenn wir ds Verfhren us dem Beweis uf dem DFA der Folie 96 nwenden, ergit sich folgende reguläre Grmmtik: z 1 z 1 z 2 z 2 z 2 z 1 Üerführungsfunktion eines NFA (Folien 107 und 108) Wie sieht die Üerführungsfunktion us? δ : Z Σ P(Z) Ds heißt, jedem Pr us Zustnd und Alphetsymol wird eine Menge von Zuständen zugeordnet. Beispiel: der Automt uf Folie 106 wird folgendermßen textuell drgestellt: M = ({z 0, z 1, z 2, z 3 }, {, }, δ, {z 0, z 3 }, {z 3 }), woei: δ(z 0, ) = {z 1 } δ(z 1, ) = δ(z 2, ) = {z 3 } δ(z 3, ) = {z 0 } δ(z 0, ) = {z 0, z 2 } δ(z 1, ) = {z 3 } δ(z 2, ) = δ(z 3, ) = Erweiterung uf Wörter Genuso wie ei DFAs, ist ˆδ die Erweiterung von δ von Alphetsymolen uf Wörter. Sei Z = {z 1,..., z n }. Dnn edeutet ˆδ(δ(z, ), x) z Z 12

13 ds gleiche wie: ˆδ(δ(z 1, ), x) ˆδ(δ(z n, ), x) Beispiel (siehe Automt uf Folie 106): ˆδ({z 0 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ) = ˆδ({z 0, z 2 }, ) = ˆδ(δ(z 0, ), ɛ) ˆδ(δ(z 2, ), ɛ) = ˆδ({z 1 }, ɛ) ˆδ({z 3 }, ɛ) = {z 1 } {z 3 } = {z 1, z 3 } Ds heißt, dss ds Einlesen des Wortes den Automten vom Zustnd z 0 entweder in den Zustnd z 1 oder in den Zustnd z 3 führt. NFA-Beispiele (Zu Folie 111) Die vom NFA kzeptierten Sprche ist: K = {x ds 3-letzte Zeichen von x ist } Folgender NFA kzeptiert die Sprche L = {x x fängt mit n und endet mit }: z 0 z 1 z 2, Potenzmengenkonstruktion: Korrektheitseweis (Folie 114) Stz. Sei M = (Z, Σ, δ, S, E) eine NFA, und M = (P(Z), Σ, δ, s 0, E ) die durch die Potenzmengenkonstruktion us M entstndene DFA. Es gilt L(M) = L(M ). Beweis. Wir zeigen, dss für lle x Σ gilt, dss x T (M) gdw. x T (M ). Sei x = 1... n, woei 1,..., n Σ. Dnn gilt: x T (M) gdw. ˆδ(S, x) E gdw. es git Zustndsmengen Z 1,..., Z n Z mit ˆδ(S, 1 ) = Z 1, ˆδ(Z 1, 2 ) = Z 2,..., ˆδ(Z n 1, n ) = Z n und Z n E gdw. es git Zustndsmengen Z 1,..., Z n Z mit δ (S, 1 ) = Z 1, δ (Z 1, 2 ) = Z 2,..., δ (Z n 1, n ) = Z n und Z n E gdw. 13

14 ˆδ (S, x) E gdw. x T (M ) (Bemerkung: gdw heißt: genu dnn wenn.) Potenzmengenkonstruktion: Beispiele (Folie 114) Wir wenden die Potenzmengenkonstruktion n, um den folgenden NFA (üer ds Alphet Σ = {, }) in einen DFA umzuwndeln: Mnchml ist es hilfreich, eine Telle zu erstellen. Wir fngen n mit der Menge von Anfngszuständen ({z 1, z 4 }), und gucken welche Mengen von Zuständen drus nch dem Einlesen eines Symols erreicht werden. Die erreichten Zustände werden wieder in die Telle eingefügt: {1, 4} {2, 3} {3} {2, 3} {3} Für lle Mengen von Zuständen, die in die Telle ufgenommen werden, gucken wir welche Mengen von Zuständen nch dem Einlesen einzelner Alphetsymole erreicht werden, und fügen diese in die Telle ein (flls sie noch nicht vorhnden sind). Im Beispiel sieht die Telle m Ende folgendermßen us: {z 1, z 4 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 2, z 3 } {z 2, z 3 } {z 3 } {z 3 } {z 3 } Auf diese Weise nehmen wir nur die erreichre Zustände des DFA in die Telle uf. (Es sei ngemerkt, dss der vollständige Potenzmengenutomt 2 4 = 16 Zustände ht, von denen wir nur 4 ngegeen hen.) Die Zustände {z 2, z 3 } und {z 3 } sind Endzustände des NFA, denn sie enthlten einen Endzustnd des NFA. Der DFA, der dieser Telle enspricht, ist: 14

15 {1, 4} {2, 3} {3}, Hier sei ngemerkt, dss Zustände des konstruierten DFAs Mengen von Zuständen des ursprünglichen NFAs sind. Hinweis: Owohl die Telle hilfreich sein knn, ist es nicht notwendig sie nzugeen. Mn knn die Zustände uch sofort ufzeichnen nsttt sie in die Telle ufzunehmen. (Insesondere drf mn ds uch in der Prüfung zw. Klusur mchen.) Mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion, wird der NFA von Seite 12 in den folgenden DFA umgewndelt (nicht erreichre Zustände, wie z.b. {z 2, z 3 }, sind nicht ngegeen). {z 0 } {z 1 } {z 1, z 2 }, Größe von NFAs und DFAs Ein Beispiel für eine Klsse von Sprchen wo der kleinste DFA exponentiell größer ist ls der kleinste NFA ist: L k = {x {, } x k, ds k-letzte Zeichen von x ist } L k wird durch einen NFA mit k + 1 Zuständen erknnt und mn knn zeigen, dss der kleinste DFA, der L k erkennt, mindestens 2 k Zustände hen muss (dzu später mehr). Sei zum Beispiel der folgende NFA gegeen.,,, Dieser Automt ht 4 Zustände und seine Sprche ist L 3. Wenn wir den Automt mit Hilfe der Potenzmengenkonstruktion in einen DFA umwndeln, entsteht der folgende DFA: 15

16 {1, 2, 3, 4} {1, 3, 4} {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1} {1, 2} {1, 3} {1, 4} Dieser ht 8 Zustände. Es git ttsächlich keinen kleineren DFA, der die gleiche Sprche kzeptiert. Wir werden später sehen, wie wir ds forml eweisen können, er vielleicht können wir schon informl einsehen, dss es keinen kleineren DFA für diese Sprche git, indem wir ermitteln, ws die Zustände edeuten. Durch die Zustände wird gespeichert, wo sich in den letzten drei eingelesenen Symolen die s efinden: uf jeder Position git es entweder ein oder etws nderes (ein, oder ds Wort ist noch nicht lng genug lso wurde noch gr kein Symol eingelesen). Den Automt können wir dnn folgendermßen drstellen: Es git keinen kleineren Automten für diese Sprche, weil lle Zustände eine ndere Bedeutung hen. (Wie gesgt, wir werden dieses Argument später noch formlisieren.) Reguläre Grmmtik NFA: Korrektheit der Konstruktion (Folie 117) Stz. Sei G = (V, Σ, P, S) eine reguläre Grmmtik und M = (Z, Σ, δ, S, E) der durch die Konstruktion uf Folie 117 entstndene NFA. Es gilt: L(G) = T (M). Beweis. Zu zeigen ist: für jedes Wort w Σ gilt: w L(G) gdw. w T (M). Sei w = 1... n, für 1,..., n Σ. w L(G) gdw. es git Vrilen A 1,..., A n 1 so dss S 1 A A n 1 A n n gdw. 16

17 es git Zustände A 1,..., A n mit δ(s, 1 ) A 1, δ(a 1, 2 ) A 2,..., δ(a n 1, n ) X gdw. w T (M) (Bemerkung: gdw edeutet: genu dnn wenn.) Reguläre Grmmtik NFA: Beispiel (Folie 117) Gegeen Sei G = ({S, U}, {, }, P, S), woei P wie folgt definiert ist: S S U U U S Wir wndeln diese Grmmtik in einen NFA M = (Z, {, }, δ, S, E) um. Wir hen: Z = {S, U, X} E = {X} und δ wie folgt: S X U 4 Reguläre Ausdrücke Präzedenz der Opertoren (Folien 121) Der -Opertor ht die höchste Präzedenz, dnch der Konktentionsopertor, und der - Opertor ht die niedrichste Präzedenz. Ds heißt: cd (() (c(d ))) Beispiele von regulären Ausdrücken (Folie 123) Sei Σ = {,, c}. Die Sprchen eines regulären Ausdrucks: α 1 = ( ) L(α 1 ) = L() L() = {, } 17

18 α 2 = ( ) L(α 2 ) = L(α 1 ) = {, } = {ɛ,,,,,,,..., } α 3 = ( )c L(α 3 ) = L(( )c ) = L(α 1 )L(c ) = {,, c, c, cc, cc, ccc, ccc,...} α 4 = ( c) c( c) L( c) = {,, c} L(c) = {c} L(α 4 ) = {x x enthält c} Reguläre Ausdrücke ngeen: 1. Sprche ller Wörter, die mit eginnen und mit enden. β 1 = ( c) 2. Sprche ller Wörter, die gerde viele s enthlten. β 2 = ( ( c) ( c) ( c) ) oder β 2 = ( ( c) ( c) ) (Es git immer (unendlich) viele reguläre Ausdrücke, die eine estimmte Sprche eschreien.) Regulärer Ausdruck NFA (Folien ) Sei α = ( ) c. Wir wollen α, mit Hilfe der Konstruktion us der Vorlesung, in einen Automten umwndeln, der die gleiche Sprche kzeptiert. 1. NFAs für die tomren regulären Ausdrücke: M = z z M = z z M c = z c c z c 2. Wir steln us M und M den folgenden Automten M, so dss T (M ) = L( ): z z M = z z 3. Aus M steln wir den Automten M ( ), für den gilt, dss T (M ( ) ) = L(( ) ): z z M ( ) = z z x 18

19 Weil ɛ / L( ), müssen wir einen zusätzlichen Zustnd einführen, der sowohl Anfngs- ls uch Endzustnd ist, dmit der Automt uch ds leere Wort kzeptiert. 4. Zum Schluss, kominieren wir die Automten M ( ) und M c zu einem Automten M α, für den gilt, dss T (M α ) = L(α). M ( ) = z z z z z c c z c x Bemerke, dss die Endzustände von M ( ) im zusmmengesetzten Automten keine Endzustände mehr sind. Die Zustände z, z und x hen eigentlich keine Funktion mehr, weil mn us ihnen keinen Endzustnd mehr erreichen knn. Wenn mn die Konstruktion er genu nwendet, werden die Zustände nicht gelöscht. Weil M ( ) ds leere Wort kzeptiert, sind die Strtzustände vom M c im zusmmengesetzten Automten uch Strtzustände. Der von der Konstruktion erzeugte NFA ist in den meisten Fällen nicht der kleinste NFA, der die gesuchte Sprche kzeptiert. Insesondere, kzeptiert der folgende Automt die gleiche Sprche: z c c z c, Die Konstruktion wird nur enutzt um zu zeigen, dss es für jeden regulären Ausdruck mindestens einen NFA git, der die Sprche kzeptiert. NFA regulärer Ausdruck (Folien ) Korrektheit des Verfhrens Ds Verfhren, ds einen nicht-deterministischen endlichen Automten (NFA) in einen regulären Ausdruck umwndelt, ist korrekt us den folgenden Gründen: Die Regeln des Verfhrens erhlten die Sprche des Automten. Ds heißt, der Originlutomt kzeptiert die gleiche Sprche wie der nch der Regelnwendung entstndene Automt. In jedem Schritt wird ein Zustnd oder ein Üergng us dem Automten entfernt. Weil es m Anfng endlich viele Zustände und Üergänge git, muss ds Verfhren ufhören; lso: ds Verfhren terminiert. Wenn die Sprche des Automten nicht leer ist, und die Endsitution (Strtzustnd und Endzustnd mit einem Üergng dzwischen, zzgl. weiter Zustände und Üergänge, die uf die Sprche keinen Einfluss hen) noch nicht erreicht wurde, git es immer eine Regel, die mn nwenden knn. 19

20 Beispiel Wir wndeln den folgenden Automten M mit Hilfes des Zustndselimintionsverfhrens in einen regulären Ausdruck um, der die gleiche Sprche erzeugt. M = z 1 z 3 c z 5 z 2 z 4 d 1. Zunächst, fügen wir einen neuen Strt- und Endzustnd hinzu: s ɛ ɛ z 1 z 2 z 3 z 4 c d z 5 ɛ e 2. Indem wir zweiml Regel E verwenden, können z 1 und z 2 gelöscht werden. s ɛ z 3 c z 5 ɛ e ɛ z 4 d 3. Wir löschen z 5 indem wir nochml Regel E verwenden: ɛ z 3 cɛ s e ɛ z 4 dɛ 4. Wir löschen z 4 durch Anwendung der Regel E: ɛ z 3 cɛ s ɛ dɛ e ɛdɛ 5. Mit Hilfe von Regel V können wir die prllellen Pfeile loswerden: s ɛ ɛ z 3 cɛ dɛ e ɛdɛ 20

21 6. Jetzt, löschen wir die Schleife mit der Regel S: s ɛ ɛ z 3 () (cɛ dɛ) e ɛdɛ 7. Nun knn z 3 einfch entfernt werden (mit der Regel E): (ɛ ɛ)() (cɛ dɛ) s e ɛdɛ 8. Schließlich erhlten wir mit der Regel V ds Endergenis: s (ɛdɛ) (ɛ ɛ)() (cɛ dɛ) e 9. Wenn wir (optionl) die ɛ s weglssen, ergit dies den regulären Ausdruck: d ( )( )(c d) Reguläre Ausdrücke in der Prxis (Folie 145) Wir suchen den regulären Ausdruck \[\[([-za-zäöüß]*)\]\], und ersetzen den durch < href="\1.html">\1</>. 5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 150) Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl von Üergängen im Pfd ist. Ds heißt, dss ein Pfd, der eine Länge m ht, m + 1 Zustände enthält. Pumping-Lemm-Beispiele Die Schritt n -Boxen in den folgenden Beweisen verweisen uf die Schritte des Kochrezepts (Folien 157 und 158), und gehören nicht zur Beweistext. Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L 1 = { k k Σ k N 0 } ist nicht regulär. Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen ds Wort x = n n. Es gilt offensichtlich, dss x L 1 und x n. Schritt 3 Wir können x folgendermßen in x = uvw zerlegen, so dss uv n und v 1: 21

22 u = l, v = m, w = n (l+m) n, woei m 1. (Wegen uv n wissen wir, dss u und v eide nur us s estehen.) Schritt 4 Für diese Zerlegung wählen wir i = 2. Es gilt uv i w = l+2m+(n (l+m)) n = n+m n. Wegen m 1, gilt uv i w / L 1. Nch dem Pumping Lemm, ist L 1 lso nicht regulär. Bemerkung: wir hätten uch i = 0 wählen können. Es gilt Wegen m 1, gilt dnn uch uv 0 w / L 1. uv 0 w = l+n (l+m) n = n m n. Stz (Beispiel 1 von Folie 159.) Die Sprche L 2 = { 2k k N} ist nicht regulär. Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen nun ds Wort x = 2n. Es ist klr, dss x L 2 und x n. Schritt 3 Alle Zerlegungen von x in x = uvw, so dss uv n und v 1 sind von folgender Form: u = p, v = q, w = 2n p q, woei p + q n und q 1. Schritt 4 Wir wählen jetzt i = 2; dnn gilt uv i w = 2n +q. Weil 2 n > n (für lle n), muss gelten, dss p + q < 2 n und deswegen, dss 0 < q < 2 n. Ds heißt, dss 2 n < 2 n + q < 2 n + 2 n = 2 2 n = 2 n+1. Drus folgt, dss 2 n + q keine Zweierpotenz ist und somit, dss uv i w = uv 2 w / L 2. Dmit hen wir nchgewiesen, dss die Sprche L 3 die Bedingungen des Pumping Lemms verletzt, und deswegen nicht regulär sein knn. Stz (Beispiel 2 von Folie 159.) Die Sprche L 3 = { k l c m k 1, l m} ist nicht regulär. (Die Sprche L 3 esteht lso us den Wörtern z L( c ), woei zusätzlich gilt, dss sie mindestens ein enthlten, und die Anzhl von s kleiner gleich die Anzhl von c s ist.) Es sei ngemerkt, dss die Vrilen, die innerhl von einer Mengeneschreiung enutzt werden, im llgemeinen ls lokle Vrilen gesehen werden. Insesondere, hen die l und m die oen enutzt werden nicht unedingt die gleiche Werte ls die l und m die unten im Beweis enutzt werden. Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen nun ds Wort x = n c n. Es gilt offensichtlich, dss x L 3 und x n. Schritt 3 Es git folgende Zerlegungen von x in x = uvw, so dss uv n und v 1: 1. u = ɛ, v = l, w = n l c n, woei m 1. (Bemerke, dss im Fll l = 0, ds Teilwort v nur us dem esteht. Die Bedingung, dss v 0 gilt in dem Fll ntürlich noch immer.) 2. u = l, v = m, w = r c n, woei l + m + r = n und m 1. (Der Unterschied zwischen den eiden Fällen, ist o ds in v liegt oder nicht.) Schritt 4 eide Zerlegungen git es ein i, so dss uv i w / L 3 : Für 1. Sei i = 0: Weil u = v 0 = ɛ, gilt uv i w = w = n l c n. Es könnte sein, dss l = 0. Die Anzhl von s und c s muss lso nicht unterschiedlich sein. Ds Wort fängt er nicht mit einem n, und deswegen gilt uv i w / L 3. 22

23 2. Sei i = 2: Es gilt uv i w = l+2m+r c n. Wegen n = l + m + r und m 1 hen wir, dss l + 2m + r > n. Deswegen gilt uv i w / L 3. Nch dem Pumping Lemm ist L 3 lso nicht regulär. Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L 4 = {ww R w Σ } ist nicht regulär. (Hier ezeichnet w R ds Wort w mit umgekehrter Reihenfolge der Buchsten, z.b. R =.) Beweis. Schritt 1 Sei n eine elieige ntürliche Zhl. Schritt 2 Wir wählen ds Wort x = n n. Es gilt offensichtlich, dss x L 4 und x n. Schritt 3 Wir können x folgendermßen in x = uvw zerlegen, so dss uv n und v 1: u = l, v = m, w = n (l+m) n, woei m 1. (Wegen uv n wissen wir, dss u und v eide nur us s estehen.) Schritt 4 Für diese Zerlegung wählen wir i = 2. Es gilt uv i w = l+2m+(n (l+m)) n = n+m n. Wegen m 1, gilt uv i w / L 4. Nch dem Pumping Lemm, ist L 1 lso nicht regulär. Hinweise zur Benutzung des Pumping-Lemms Der wichtigste Teil eines Beweises, der ds Pumping-Lemm verwendet, ist die Whl des Wortes der Länge n. Einige Hinweise zum Whlen des Wortes: Ds Wort muss länger ls n sein. Es ist er keine oere Schrnke ngegeen. Es ist nicht schlimm, wenn ds Wort viel länger ls n ist. Wähle ein möglichst einfches Wort. Die einzige Bedingung ist, dss ds Wort in der etrchtete Sprche liegt. Wegen der Bedingung, dss uv n, findet ds Pumpen nur in den ersten n Symolen des Wortes sttt. Zusätzlich zum oigen Hinweis, wähle uch ein Wort, in dem die Struktur der ersten n Stellen möglichst einfch ist. (Es sei zum Beispiel ngemerkt, dss ds gewählte Wort in zwei der oigen Beispiele nur Zerlegungen zugelssen ht, ei denen u und v eide nur us s estehen.) 6 Minimlutomten und Myhill Nerode-Äquivlenz Äquivlenzklssen (Folien ) Beispiel 1. Gegeen seien die Menge M = {,, c, d} und die Reltion R M M = { (, ), (, ), (, c), (, ), (, ), (, c), (c, ), (c, ), (c, c), (d, d) }. Diese Reltion knn folgendermßen grphisch drgestellt werden: c d 23

24 Die Reltion R ist eine Äquivlenzreltion weil sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. Reflexiv. Für lle Elemente x von M gilt, dss (x, x) R. Zum Beispiel: (, ) R und (d, d) R. Symmetrisch. Für lle Pre x und y, so dss x M, y M und (x, y) R, gilt uch, dss (y, x) R. Zum Beispiel: (, ) R, und es gilt uch, dss (, ) R. Trnsitiv. Für lle x, y, z, so dss x M, y M, z M, (x, y) R und (y, z) R, gilt uch, dss (x, z) R. Zum Beispiel: (, ) R und (, c) R. Es muss lso gelten, dss (, c) R und ds ist uch der Fll. (, ) R und (, ) R. Es muss lso gelten, dss (, ) R und ds ist uch der Fll. Die Äquivlenzklssen der Reltion sind: [] R = {,, c} [] R = {,, c} [c] R = {,, c} [d] R = {d} Weil [] R = [] R = [c] R ht die Reltion R zwei Äquivlenzklssen, nämlich {,, c} und {d}. Beispiel 2. Gegeen sei die Menge M = {,, c, d, e} und die Reltion R M M = { (, ), (, ), (, ), (, ), (c, c), (d, d), (d, e), (e, d), (e, e) }. Diese Reltion knn folgendermßen grphisch drgestellt werden: d c e Die Reltion R ist eine Äquivlenzreltion weil sie reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist. Die Äquivlenzklssen von R sind: [] R = {, } [c] R = {c} [d] R = {d, e} [] R = {, } [e] R = {d, e} Weil [] R = [] R und [d] R = [e] R, ht diese Reltion drie Äquivlenzklssen, nämlich {, }, {c} und {d, e}. Beispiel 3. Gegeen seien ds Alphet Σ = {, } und die Reltion L Σ Σ uf Σ, die folgendermßen definiert ist: (x, y) L gdw. x = y, woei w die Länge eines Wortes w ezeichnet. Ds heißt, zwei Wörter sind in der Reltion L wenn sie die gleiche Länge hen. Für ein Wort x gilt nun, dss [x] L = {y y ht die gleiche Länge wie x}. Weil es unendlich viele mögliche Längen git, ht diese Reltion unendlich viele Äquivlenzklssen. 24

25 Beispiel Erkennungsäquivlenz (Folie 166) Wir etrchten den folgenden DFA: , 3 5 Feststellung: für die Zustände 4, 5 gilt: Mit einem Wort, ds ein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Endzustnd (nämlich 6). Mit einem Wort, ds kein enthält, lndet mn von dort us immer in einem Nicht- Endzustnd (4 zw. 5). Drus folgt: 4 und 5 sind erkennungsäquivlent und können zu einem Zustnd verschmolzen werden. Etws ähnliches gilt für die Zustände 2 und 3. Sie sind uch Erkennungsäquivlent. Ds heißt, dss die Zustände 4/5 und 2/3 verschmolzen werden können. Ds Ergenis ist der folgende kleinere Automt:, 1 2/3 4/5 6, Es können keine weiteren Zustände verschmolzen werden: der Automt ist ttsächlich miniml. Zusmmenhng zwischen Myhill Nerode-Äquivlenz und Erkennungsäquivlenz (Folie 173) Jedem Wort x Σ knn mn in einem deterministischen Automt einen eindeutigen Zustnd z = ˆδ(z 0, x) zuordnen. Dher knn die Definition der Erkennungsäquivlenz uf Wörter us Σ und Sprchen (nsttt Automten) erweitert werden. Sie heißt dnn die Myhill Nerode-Äquivlenz. Beispiele für Myhill Nerode-Äquivlenz (Folien 174, 178) Für L 1 = { k k k N} gilt: Sei x = 4 3 und y = 3 2. Dnn gilt, dss x L y, denn xz L gdw. z = gdw. yz L. Sei x = 2 2 und y = 3 2. Dnn gilt x L y, denn für z = ɛ gilt xz = x = 2 2 L er yz = y = 3 2 / L. Sei x = 4 2 und y = 3 2. Dnn gilt x L y, denn für z = gilt xz = 4 2 = 4 3 / L er yz = 3 2 = 3 3 L. 25

26 Sei x = und y =. Dnn gilt x L y, denn für lle z Σ gilt xz / L und yz / L (lso xz L gdw. yz L). Myhill Nerode-Äquivlenzklssen ngeen: L 1 = {w {, } # (w) gerde} Es git folgende Myhill Nerode Äquivlenzklssen: [ɛ] = {w {, } # (w) gerde} = L 1 (Äquivlenzklsse von ɛ) [] = {w {, } # (w) ungerde} = {, } \ L 1 (Äquivlenzklsse von ) Beispiel: ɛ und sind äquivlent, denn wird n eide ein Wort mit gerde vielen s ngehängt, so leien sie in der Sprche wird n eide ein Wort mit ungerde vielen s ngehängt, so fllen sie us der Sprche herus Es ist leicht einzusehen, dss jedes Wort entweder Myhill Nerode-äquivlent zu ɛ oder zu ist. Die Myhill Nerode-Äquivlenzklssen entsprechen Zuständen eines Automten, der die Sprche kzeptiert: z 1 z 2 Hier entspricht z 1 der Äquivlenzklsse [ɛ] und z 2 der Äquivlenzklsse []. L 2 = {w {,, c} ds Teilwort c kommt in w nicht vor} Es git folgende Äquivlenzklssen: [ɛ] = {w {,, c} w endet nicht uf oder und enthält c nicht} [] = {w {,, c} w endet uf und enthält c nicht} [] = {w {,, c} w endet uf und enthält c nicht} [c] = {w {,, c} w enthält c} Die Wörter und sind nicht äquivlent, denn wird n eide ein c ngehängt, so ist c noch in der Sprche, c ist es er nicht. Die Myhill Nerode-Äquivlenzklssen entsprechen Zuständen eines Automten, der die Sprche kzeptiert: c z 0 z 1 z c 2 z E, c,, c 26

27 Hier entspricht: z 0 der Klsse [ɛ] z 1 der Klsse [] z 2 der Klsse [] und z 3 der Klsse [c]. Nichtregulrität eweisen mit dem Stz von Myhill Nerode (Folie 180) Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L 1 = { k k k 0} ist nicht regulär. Beweis. Wir etrchten die Wörter ɛ,,,,..., i,... (für i 0). Es gilt weil i i L 1 er j i / L 1. i L1 j für i j. Ds heißt, dss L1 unendlich viele Äquivlenzklssen ht und deswegen nicht regulär ist. Stz. Sei Σ = {,, c}. Die Sprche L 2 = { k m c m k, m 1} { k c m k, m 1} ist nicht regulär. Beweis. Sei x p ds Wort p. Dnn gilt, dss x i L2 x j flls i j, denn für z = c i gilt, dss x i z = i c i L 2, er x j z = j c i / L 2. Ds heißt, dss [x i ] [x j ] (für i j), und deswegen ht L2 unendlich viele Äquivlenzklssen. L 2 is lso nicht regulär. Bemerken Sie, dss L 2 er die Bedingung des Pumping-Lemms erfüllt. Sei n die Konstnte us dem Pumping-Lemm, und x L 2 ein Wort mit x > n. Dnn git es zwei Fälle: x = p m c m für p, m 1. In diesem Fll nehmen wir die Zerlegung u = ɛ, v =, w = p 1 m c m. Aer dnn gilt, dss uv i w L 2 für lle i N (denn die Anzhl von s m Anfng des Wortes ist egl). x = m c p, für p, m 1. Nun nehmen wir die Zerlegung u = ɛ, v =, w = m 1 c p. Auch jetzt gilt dss uv i w L 2 für lle i N (denn ohne m Anfng ist die Anzhl n s und c s egl). 7 Aschlusseigenschften und Lösungsverfhren Konstruktion des Komplementutomten (Folie 190) Die Konstruktion des Komplementutomten funktionier nur ei DFAs. Um die Konstruktion uf NFAs nzuwenden, muss den NFA zunächst in einen DFA umgewndelt werden. Dies knn ggf. zu einem exponentiellen Wchstum führen. Beispiel Kreuzproduktkonstruktion (Folie 193) In der Kreuzproduktkonstruktion werden zwei Automten prllelgeschltet. Die Zustände des neuen Automten geen n, in welchen Zuständen die eiden ursprünglichen Automten sich efinden; ds heißt, die Zustände des neuen Automten sind Pre von Zuständen der ursprünglichen Automten. 27

28 Für DFAs Wir etrchten die folgenden DFAs üer dem Alphet Σ = {, }: M 1 = z 1 z 2 M 2 = y 1 y 2 Der Automt M (so dss T (M) = T (M 1 ) T (M 2 )), generiert mit Hilfe der Konstruktion von Folie 193, sieht folgendermßen us: (z 1, y 1 ) (z 2, y 1 ) (z 1, y 2 ) (z 2, y 2 ) Für NFAs Wir etrchten die folgenden NFAs üer dem Alphet Σ = {, }: N 1 = z 1 z 2, N 2 = y 1 y 2, Der NFA, der durch die Kreuzproduktkonstruktion entsteht, sieht folgendermßen us: (z 1, y 1 ) (z 2, y 1 ), (z 1, y 2 ) (z 2, y 2 ) 28

29 8 Progrmmverifiktion: Wechselseitiger Ausschluss Erster Versuch: Prozessmodell (Folie 216) Bedeutung der Zustände 1, 2, 3, 4, 5: diese entsprechen den mit Lels mrkierten Progrmmzeilen Bedeutung der Schleifen mit Alphetsymolen us i : d wir später ds Kreuzprodukt ilden werden, um mehrere Automten zu synchronisieren, dürfen Üergänge nderer Automten, die den Prozess i nicht etreffen, nicht usgeschlossen werden. Sie werden einfch mitgehört und hen keinen Einfluss uf die Zuständsüergänge. Alle Zustände sind Endzustände. Ds Progrm läuft unendlich durch (wegen dem while true do) und der Automt kzeptiert lle endlichen Präfixe unendlicher Aläufe. Versuch 1: Üerprüfung mit Gril Für ds Tool Gril enutzen wir die Kodierung der Folie 219. Wir verwenden die Gril-Werkzeuge folgendermßen, um ds Modell zu verifizieren: $ fmcross p1.ut < p2.ut > psynch.ut $ fmcross f.ut < psynch.ut > sys.ut $ fmcment w.ut > w-cment.ut $ fmcross sys.ut < w-cment.ut > errors.ut $ fmenum errors.ut DdAXx DdAXx DdAxX DdAXx... D die Sprche nicht leer ist, ist der vorgestellte Prozedur nicht richtig. Es werden uch flsche Systemläufe usgegeen. Einer dvon ist DdAXx. Üersetzt ins ursprüngliche Alphet: (f = flse?) 2 (f = flse?) 1 (f := true) 2 BkB 2 (f := true) 1 BkB 1. D es keine tomre Schrei- und Leseopertion git, können eide Prozessen ncheinnder die Vrile uslesen, nschließend die Vrile setzen und den kritischen Bereich etreten. Versuch 2: Üerprüfung mit Gril Üerprüfung mit Gril: $ fmcross p1.ut < p2.ut > psynch.ut $ fmcross f1.ut < psynch.ut > psynch1.ut $ fmcross f2.ut < psynch1.ut > sys.ut $ fmcment w.ut > w-cment.ut $ fmcross sys.ut < w-cment.ut > errors.ut $ fmenum errors.ut (keine Ausge) Es git keine Wörter in dem Schnitt des Komplements des Spezifiktionsmodell und des Systems. Ds heißt, dss ds zweite Modell richtig ist. 29

30 9 Wiederholung regulärer Sprchen Wiederholung: Drei Beweise der Nicht-Regulrität Stz. Sei Σ = {, }. Die Sprche L = {w Σ # (w) # (w)} ist nicht regulär. Beweis mit dem Pumping-Lemm. Sei n eine Belieige ntürliche Zhl. Wir wählen ds Wort x = n n!+n, woei n! die Fkultätsfunktion ezeichnet, ds heißt: n! = n (n 1) (n 2) Es ist klr, dss x L und x n. Alle Zerlegungen von x in x = uvw, woei uv n und v 1 hen folgende Form: u = p, v = q, w = n p q n!+n. Jetzt wählen wir i = n! q + 1. Es sei ngemerkt, ds n! die Zhl q ls Produkt enthält, und dss n! deswegen durch q teilr ist. Jetzt gilt, dss uv i w = m n!+n, woei m = p + i q + n p q. Wir hen er: p + q( n! q + 1) + n p q = q(n! q + 1) + n q = n! + q + n q = n! + n. Ds heißt, dss uv i w / L. Nch dem Pumping-Lemm ist L deswegen nicht regulär. Beweis mit dem Stz von Myhill Nerode. Sei die folgende Menge M Σ gegeen: M = { k k N}. Sei nun x = i und y = j, woei i j. Dnn gilt für z = i, dss xz / L und yz L. Ds heißt, dss x und y nicht Myhill-Nerode-äquivlent sind zgl. der Sprche L. Weil M undendlich viele Wörter enthält, ht L deswegen unendlich viele Myhill-Nerode-Äquivlenzklssen und is lso nch dem Stz von Myhill Nerode nicht regulär. Beweis mit Hilfe von Aschlusseigenschften. Nehme n, dss L regulär wäre. Weil reguläre Sprchen unter Komplement geschlossen sind, wäre dnn uch L = Σ \ L = {w Σ # (w) = # (w)} regulär. Weil { n m n, m 0} eine reguläre Sprche ist (denn der reguläre Ausdruck erzeugt sie), wäre dnn uch L { n m n, m 0} = { n n n 0} regulär. Ds ist er, nch dem Beweis uf Seite 21 (und im Kochrezept uf Folien ) nicht der Fll. Wir müssen die Annhme, dss L regulär ist, lso widerrufen. L is lso nicht regulär. 10 Kontextfreie Grmmtiken Beispiele für kontextfreien Grmmtiken Sei Σ = {, }. Beispiel 1 (Folie 233, oen) Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G 1 n, so dss L(G 1 ) = { n n n 0}. Lösung: G 1 = (V, Σ, P, S), woei V = {S, X} und P die folgenden Produktionen enthält: S X ɛ X X Beispiel 2 (Folie 233, unten) Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G 2 n, so dss LG 2 = { k n m n n, m, k 1}. 30

31 Bemerke, dss die zwei Sequenzen von s gleich lng sein müssen, die zwei Sequenzen von s er nicht. Lösung: G 2 = (V, Σ, P, S), woei V = {S, A, X} und P die folgenden Produktionen enthält: Erklärung: S AX A A X X A A erzeugt -Sequenzen elieiger Länge (die er mindestens ein enthlten). X erzeugt Wörter der Form n m n (woei n, m 1). Dei wird die Vrile A verwendet um den mittleren Teil des Wortes zu erzeugen. S setzt Wörter erzeugt von A und X zusmmen um Wörter us der Sprche zu erzeugen. Beispiel 3: Geen Sie eine kontextfreie Grmmtik G 3 n, so dss L(G 3 ) = {ww R w Σ }, woei w R ds Inverse von w ezeichnet. Lösung: G 3 = (V, Σ, P, S), woei V = {S, X} und P die folgenden Produktionen enthält: S ɛ X X X X ɛ-produktionen entfernen (Folien 234 und 235) Dieser Stz edeutet, dss mn ɛ-produktionen elieig verwenden drf. Sie verändern nichts n der Ausdrucksmächtigkeit kontextfreier Grmmtiken. Beispiel 1: (Siehe Folie 236) Sei G = (V, Σ, P, S), woei V = {S, X, Y, Z}, Σ = {, } und P us den folgenden Produktionen esteht: S XZ X Y ɛ Y X Z ɛ S Die Menge der Vrilen, us denen sich ds leere Wort leiten lässt, ist V 1 = {S, X, Z}. Üerll wo eine dieser Vrilen uf der rechten Seite einer Produktion vorkommt müssen wir uch ds leere Wort erluen. Wir ekommen die folgende Grmmtik: S XZ X Z ɛ X Y ɛ Y X Z ɛ S Alle Produktion der Form Q ɛ werden entfernt: S XZ X Z X Y Y X Z S 31

32 Weil ɛ Teil der Sprche der ursprünglichen Grmmtik ist, müssen wir eine neue Strtvrile S hinzufügen. Die endgültige Grmmtik ist G = (V, Σ, P, S ), woei V = {S, X, Y, Z, S } und P us den folgenden Produktionen esteht: S S ɛ S XZ X Z X Y Y X Z S Beispiel 2: Sei Σ = {,, c}. Gegeen sei die Grmmtik G = (V, Σ, P, S), woei V = {S, C} und P die folgenden Produktionen enthält: S CSC C cc ɛ Die Menge der Vrilen, us denen sich ds leere Wort leiten lässt, ist V 1 = {C}. Üerll wo C uf der rechten Seite einer Produktion vorkommt, müssen wir lso uch ds leere Wort erluen. Die Ergenis-Grmmtik esteht deswegen us den folgenden Produktionen: S CSC CS SC S C c cc Beispiel 3: Sei Σ = {<, >}. Gegeen sei die Grmmtik G = ({S}, Σ, P, S), woei P die folgenden Produktionen enthält: S <S>S ɛ Aus S knn mn ds leere Wort, leiten. Wir müssen lso üerll wo S uf der rechten Seite steht, uch erluen, dss ds leere Wort erzeugt wird. Außerdem sorgen wir dfür, dss die neue Grmmtik ds leere Wort erzeugt, indem wir eine neue Strtvrile S hinzufügen. Die resultierende Grmmtik ist G = ({S, S }, Σ, P, S ), woei P die folgenden Produktionen enthält: S S ɛ S <S>S <>S <S> <> Beispiel 4: Wegen der Ttsche, dss ɛ-produktionen entfernt werden können, drf ɛ jetzt immer ls rechte Seite in kontextfreien Grmmtiken vorkommen. Eine Grmmtik für die Sprche { n n n 0} wird dnn zum Beispiel G = ({S}, {, }, P, S), woei P die folgenden Produktionen enthält: S S ɛ Mehrdeutige Grmmtik (Folie 242) Ein Beispiel einer mehrdeutigen Grmmtik ist G = ({S}, {, }, P, S), woei P die folgenden Produktionen enthält: S SS. Dnn git es folgende (verschiedene) Syntxäume für ds sele Wort (): 32

33 S S S S S S S S S S Es git er eine zu dieser Grmmtik äquivlente Grmmtik, die die gleiche Sprche erzeugt: S X X X X X ɛ Dies ist er nicht im llgemeinen der Fll: es git kontextfreie Sprchen, für die es keine eindeutige Grmmtiken git, z.b. die kontextfreie Sprche { n m c m d m n, m 0} { n m c m d n n, m 0} (der Grund, ds diese Sprche keine eindeutige Grmmtik ht, ist kein Teil der Vorlesung). Beispiele Chomsky-Normlform (Folien ) Beispiel 1: Sei G = ({S, A}, {,, c}, P, S), woei P die folgenden Produktionen enthält: S A A S Sc B ɛ B A Nch jedem Schritt des Umwndlungsverfhrens werden die Produktionen ngegeen. (Fettgedruckte Buchsten geen Änderungen n.) Schritt 1: ɛ-produktionen entfernen Wir enutzen ds Verfhren von Folien 234/235: S A A S Sc B B A Schritt 2: Kettenproduktionen entfernen Es git einen Zyklus A B A. Wir ersetzen lso A und B durch eine einzelne Vrile A und löschen die Kettenproduktionen A B und B A: S A A S Sc Es git nun noch eine Kettenproduktion, A S. Diese wird gelöscht und für jede Produktion (S w) P wird eine neue Produktion A w eingefügt. S A A A Sc Schritt 3: Alphetsymole us den rechten Seiten entfernen Wenn eine rechte Seite zwei oder mehr Symolen ht, werden die Alphetsymolen durch Vrilen ersetzt: S U AU U U A U AU U U U U SU c U U U c c 33