Lösungsbeispiele zur Wiederholung quer durch den Stoff

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1 Vorlesung Theoretische Informtik Wintersemester 25/6 Dr. B. Bumgrten Lösungseispiele zur Wiederholung quer durch den Stoff. (Automten und Grmmtiken) ) (Zustndsnmen weggelssen, d irrelevnt. Hier ürigens Minimlutomt) ) (Zustndsnmen weggelssen, d irrelevnt) c) S A, A B, B d) S A, A e) S A, A f) S, 2. (Minimlutomt, Grmmtik) ) Der Automt kzeptiert u.. (nämlich in z ) lle () n, n=,,2,..., lso unendlich viele Wörter. ) Minimierungslgorithmus z A Z A z A Z B z Z A Z z Z B Y z2 Z Z A z2 Y Z B z3 A A A z3 B B B z4 A A A z4 B B B lso keine weitere Aufspltung der Klssen, d in jeder Klsse lle Elemente die gleiche Zukunft hen. Z Y A B,

2 c) Strtsymol A oder eine kürzere: Strtsymol S A Z B S A Z B Y A S Y Z B B B B Die erste Grmmtik ist nch Rezept gestrickt. Die 5 kursiven Regeln sind verzichtr, d ein B m Ende immer leit, lso drus kein --Wort mehr entstehen knn. Die zweite Grmmtik entsteht durch kretives Nchdenken, sollte lso noch üerprüft werden: Leiten Sie selstständig drus [einen ND-Automt, einen det. Automt und] einen Minimlutomt, den Sie mit dem in () vergleichen. Es sollte (is uf die Zustndsnmen) der gleiche sein. 3. (Nichtdeterministischer Automt) Zustnd xy steht für {z x,z y }. Hier wurde die Konstruktion der erreichren Zustndsmengen gleich grphisch drgestellt. (Geht uch in einer Telle. Geht uch mit llen Zustndsmengen, einschließlich der unerreichren, wäre er unnötige Schrei-/Mlreit.) Begonnen wird wie im NDA, hier in z. Akzeptiert wird üerll, wo der NDA kzeptieren könnte, lso wo z 2 vorkommt. 2 2 Minimierung eginnen: A A A A A Z Z B usw. 2 Z A A Z 2 Z Z Z Y Oiger Automt miniml? j, d die Minimierung einen Automten mit 4 Zuständen ergit, ws wir usw. wissen, denn A, B, Y, Z können nicht weiter zerlegt werden. 4. (Reguläre Sprchen) ) Lösungsweg: Wir zeichnen den Automten für {} und verwndeln ihn dnn nch Rezept in den Automten für ds Komplement. 2 3,,

3 ) ε ( ) ( ) ( )* (d.h. lle Wörter der Längen, oder >2, sowie die drei der Länge 2 ohne ) c) { n n n>}, zum Beispiel d) L3 : = {w {,}* # (w) # (w)}. Wäre L 3 regulär, dnn ds Komplement {w {,}* # (w) = # (w)} uch; ds ist es er eknntlich nicht. Also ist L 3 nicht regulär, und L L3 = L3. 5. (Pumping-Eigenschft, kontextfreie Grmmtik) ) cccc, cccccc, d ds Pumpen von v in uvw (einschließlich v ) nicht-leere c-folgen erzeugt, welche uch zur Sprche gehören. ) c, d 4-Pumpen (Vervielfchen eines nichtleeren Teilworts innerhl der ersten 4 Zeichen) die erste Gruppe von s uch länger oder kürzer ls die zweite Gruppe mcht, lso kein i j i k c ergit. c) S DC C, Zerlegung in und c D D B, Zwieelschlentechnik für die s rund um die s B B, s, mindestens eins; kein ist oen schon erledigt C c cc c s, mindestens eins 6. (Chomsky-Normlform und CYK) i j i k ) S A S B A B A A C B CC B C A. Zyklen und X>X rus: S A S B A B A B AA B 2. XY üerspringen: unnötig, erledigt 3. Vrilen vor Konstnten schlten: S DA S EB A BDD A ED B EAA B DE D E 4. Lnge rechte Seiten in Zweierschritte zerlegen: S DA EB A FD ED B GA DE D E F BD G EA ) JA! S - B G - S - - A - A E E E D E D

4 7. (Kellerutomten) Hier z.b. folgende Methode: Pro ein in den Keller, pro im Keller zweiml verrechnen, genuer: umfsst folgende Trnsitionen (mit Kommentr): () (z,, $, z, ) (pro ein in den leeren Keller) (z,,, z, ) (pro ein in den nichtleeren Keller) (z,,, z2, ) (erkennt die llererste ) (z,,, z2, ) (verrucht die erste für ds, lässt er noch liegen) (z2,,, z, ε) (verrucht die zweite für ds ) (z,, $, ze, $) (Es kmen doppelt so viele Einsen wie s, lso wie Nullen) () (z,, $) stoppt mngels (z,, $) pssendem Üergng (z,, $) (z,, $) (z,, $) (z2,, $) (z,, ) (z,, $) (z2, ε, ) stoppt mngels (z2,, $) pssendem Üergng (z, ε, $) (ze, ε, $) kzeptiert und stoppt 8. (Turing-Mschinen) Lösungsversuch () Grokonzept: In Strtzustnd zs ein Zeichen lesen, merken ( z, z) und löschen. Dnn ns rechte Ende, zw. wenn nichts mehr d (ungerde Länge): usgeen ze. Dort dssele Zeichen weglöschen und zurück und von vorne, zw. es git links keines mehr (gerde Länge: usgeen ze) zw. wenn Zeichen rechts nicht dssele: lles von rechts löschen und usgeen. Progrmm (Strt zs, Ende ze) In zs: ein Zeichen lesen, merken ( z, z) und löschen. zs z B R tellrische Schreiweise f. δ(z s,) = (z,b,r) zs z) B R zs B git s nicht, d Input Binärzhl. In z: in String nch r. (üer z), zw. wenn nichts mehr d (x wr OK und ungerde Länge): usgeen z B ze N z z R z z R In z: ns r. Ende und dort z z z R z z R z B z B L zu weit, lso Zelle zurück In z: erwrtete löschen und nch lks. zurück zz ODER (d symmetrisch) löschen, Rest weg, usgeen zf z zz B L z zf B L z B git s nicht

5 In zz: zurück zum Anfng, zw. wenn nichts d (x wr OK und gerde Länge): usgeen zz B ze N zz zzz L zz zzz L In zz: zurück zum Anfng und von vorne zzz B zs B R (Bnd nicht leer, denn in zz wurde etws gelesen) zzz zzz L zzz zzz L Achtung: Unterschiede z/z zw. zz/zzz: Im ersten der eiden Zustände sgt mir B, dss kein String mehr d wr und ich fertig in, im zweiten dss ich üer den nichtleeren String hinus gelufen in. In zf: von rechts nch links löschen und usgeen zf B ze N zf zf B L zf zf B L Anlog, wenn links zuerst eine gelesen: In z: ns r. Ende, zw. wenn nichts mehr d (x wr OK und ungerde Länge): usgeen z B ze N z z R z z R In z: ns r. Ende und dort z z z R z z R z B z B L zu weit, lso Zelle zurück In z: löschen und nch lks. zurück zz ODER löschen, Rest weg, usgeen zf z zz B L z zf B L z B git s nicht Testläufe eingerhmt: Rest des Bndes: LS-Kopf-Position nch rechts/links jeweils endlos B s zs, z B, ze OK zs, z B, ze OK zs, z, z B, z, zf B, ze OK zs, z, z B, z, zz B, ze OK zs, z, z, z B, z, zz, zzz B, zs usw. s.o. ze OK zs, z, z, z B, z, zf, zf B, ze OK zs, z, z, z, z B, z, zf, zf, zf B, ze OK usw.

6 Bitte testen Sie weiter, symmetrische und symmetrische in(x) verschiedener Länge vielleicht er nicht lückenlos lle und höchstens is zur Länge 6. Vielleicht finden Sie uch im We einen TM-Simultor?! Bitte teilen Sie mir eventuell gefundene Fehler mit dnke! Lösungsversuch (2) Grokonzept für die lterntive Areitsweise einer etws nderen Turingmschine: Mn könnte uch eim Zurücklufen von rechts nch links gleich einen Areitsgng durchführen (erstes Zeichen löschen und merken und mit letztem vergleichen usw.). Ds ergit eine Mschine mit mehr Zuständen (vieles wird gedoppelt) er weniger Areitsschritten in der Ausführung, d ds reine Zurücklufen (ohne Vergleich hinten-vorne) entfällt. Progrmm (Strt zs, Ende ze)... usw. 9. (Turing-Mschinen) Neue Zustndsmenge Z { z f }, mit z f Z, Anfngszustnd z, Endzustnd Bndlphet Γ (muss j mindestens, enthlten) Zustndsüerführungsfunktion δ : wie δ, und zusätzlich ze zf N ze zf N. (Reduzierrkeit) Der Algorithmus setzt ls Ausge eine vor die Einge. Ds knn z.b. eine -Bnd TM mit z z L z z L z B z N Dmit gilt f(w) L2 genu dnn, wenn w L gilt. z f,

7 . (Reduzier- und Entscheidrkeit) Aufgrund der Vorussetzungen git es Wörter w i L i und v i Σ* \ L i. (i) Die Sprche L ist ttsächlich uf die Sprche L 2 reduzierr: Zur Reduzierung entscheidet mn mithilfe des entsprechenden Algorithmus, o ein gegeenes Wort w Σ* in L ist. Wenn j, git mn w 2 us, wenn nein, v 2. (ii) Die Sprche L 2 ist ttsächlich uf die Sprche L 3 reduzierr. Anlog zu (i), lso kurz gesgt: Red.-Ergenis := IF w L2 THEN w 3 ELSE v 3. [Interessnt ist hierei, woher mn w 3 und v 3 ohne Entscheidungslgorithmus für L3 kennen soll eventuell nämlich nicht! Mn weiß er, dss es sie git und dher ein solcher Algorithmus existiert uch wenn mn ihn nicht explizit hinschreien knn. Ds ist ähnlich wie ei jeder noch ungelösten JA/NEIN-Frge: JA usgeen oder NEIN usgeen einer dieser eiden Algorithmen entwortet die Frge korrekt!] (iii) Die Sprche L 3 ist nicht uf die Sprche L reduzierr. Sonst würde sich die Entscheidrkeit von L uf L 3 fortpflnzen (siehe Vorlesungsfolien), und ds wäre im Widerspruch zu den Gegeenheiten. 2. (Akzeptnz durch Kellerutomt) (i) NEIN: z.b. wird nicht kzeptiert. (ii) JA: Der Kellerutomt spielt dfür im Keller eine Grmmtik durch, ähnlich wie eim konstruktiven Beweis, dss kontextfreie Sprchen durch Kellerutomten kzeptiert werden. Sie ist mit den Regeln S S S ε zwr nicht kontextfrei, erzeugt er die {, }-Plindrome gerder Länge. (iii) (iv) NEIN: wird z.b. nicht kzeptiert. NEIN: mit Wert wird z.b. nicht kzeptiert. (v) JA: Alle diese sind Plindrome gerder Länge: , usw. 3. (Berechnung durch Turing-Mschine) Ds Ergenis ist ds Eingewort, n ds er ds erste Zeichen dieses Wortes ngehängt wurde. Erläuterungen: Durch z oder z merkt sich die TM, o vorne oder steht. In eiden Zuständen geht die TM nch rechts und hängt hinten zw. n. In z L wird der Lese- Schrei-Kopf mit L-Bewegungen uf ds erste Zeichen des Ausgewortes gesetzt.

8 4. Aufge (Restsprchenutomt) ), ) * (*)* ( ε) nch den letzten s evtl. noch ein einzelnes null, ein- oder mehrmls: ein, gefolgt von mind. einem evtl. s vor dem ersten c) * (*)* ( ε) *(*)* ( ε) (mind. ein vor dem ersten, sonst wie oen), 5. Aufge (Diverse Sprcheschreiungen) L L 3 L 7 L 8 L 2 L 4 L 5 L 9 L 6 L Anmerkungen: L3: Mn sieht ds grntierte mitten im Wort. Ds ()* m Ende ist wirkungslos und nur ein fieses Alenkungsmnöver, denn (+)*()* = (+)*! L4: ()* liefert zwr nur L2-Wörter, er nicht die mit endenden. Ds repriert (ε+) L5: Der Zustnd links unten ist eine Flle/Mülltonne: Einml drin wird nie mehr kzeptiert, und ds geschieht genu dnn, wenn von. gewichen wird. L6: L6 = {}, von L und L2 verschieden.

9 L7: R folgt uf, E folgt uf. Alles (per E wie egl) drf kommen, sold zwei s ncheinnder vorkmen, und erst nch zwei ufeinnder folgenden s knn ein Wort enden, lso L. L8: In z zw. z zw. z2 wurden gerde zw. zw. 2 s gelesen. In z zw. z folgt uf ein neuer Versuch in z. In z2 läuft der Kopf ns Wortende und löscht in z3 rückwärts lles; dnn wird geschrieen, d.h. ds Wort mit drin kzeptiert L! L9: Ds nfängliche wird in z eingekellert, ds nächste leert den Keller und z. Ds erste wird in z eingekellert, ds nächste leert den Keller und z2. z2 reitet prktisch wie z. Aufhören drf mn ei leerem Keller (in z,z2) er nicht gleich m Anfng (in z), lso nch oder. L: Ds erste führt zu im Keller, ds zweite zu 2, und dnn ist Schluss: {}