ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14

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1 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit folgenden Eigenschften: steht sowohl uf ls uch uf norml. Der Betrg von git den Flächeninhlt des von und ufgespnnten Prllelogrmms n. Die sklre Multipliktion weier Vektoren hen wir ereits kennen gelernt. Bei dieser verwendet mn ds Zeichen. ls Ergenis erhlten wir eine sklre Größe, lso eine Zhl. Nun git es ei Vektoren er noch eine weite Multipliktionsrt weier Vektoren, die vektorielle Multipliktion. Hier verwendet mn ls Multipliktionseichen, ls Ergenis erhält mn, wie der Nme schon sgt, einen Vektor, welcher interessnte Eigenschften ht: Er ist uf eide usgngsvektoren norml und der Betrg dieses Vektors liefert genu die Fläche des von den eiden usgngsvektoren ufgespnnten Prllelogrmms. Sehen wir uns ls Erstes nun die Formel n, wie mn dieses Kreuprodukt erechnet. Vorweg sei gesgt, dss wir uf eine Herleitung dieser Formel verichten, d wir hierfür einige Beknntschft mit dem Mtrienrechnen mchen müssten. Diese hen wir er nicht in unserem Lehrpln. Definition: Ds vektorielle Produkt weier Vektoren und erhält mn folgendermßen: ( ) Uff, diese Formel sieht ugegeenermßen solut Furcht erregend us. Sie werden er sehen, dss sie in Wirklichkeit gn einfch nuwenden ist. Nur in dieser llgemeinen Schreiweise ist sie derrt kompliiert. Wie mn diese Formel prktisch nwendet, erkläre ich ihnen nun n einem Beispiel:

2 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester Beispiel: Berechne den Normlvektor uf die Vektoren und. Lösung: Wir enötigen du ds oen ngeführte Kreuprodukt, d dies einen Vektor liefert, der uf die Vektoren und norml steht. Wir schreien lso : Nun wollen wir uns eine leichte Form merken, wie wir nun weiter den gesuchten Vektor nschreien. Wenn wir uf die Definition des Vektorproduktes schuen, müssen wir unächst einml ds drgestellte Schem usfüllen. Du merken wir uns Folgendes: Die oerste Zeile etrifft den -Wert, lso schreien wir dort lle Werte ußer den -Werten hinein, d.h. wir schreien die weite und dritte Zeile hinein: Nun gehen wir die weite Zeile dieses usdrucks n. Du merken wir uns entsprechend: Die mittlere Zeile etrifft den -Wert, lso schreien wir dort lle Werte ußer den -Werten hinein, d.h. wir schreien die erste und dritte Zeile hinein: Für die dritte Zeile gehen wir entsprechend vor: Die untere Zeile etrifft den -Wert, lso schreien wir dort lle Werte ußer den -Werten hinein, d.h. wir schreien die erste und weite Zeile hinein:

3 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester Unser Vektor esteht nun us drei so gennnten Mtrien. Von jeder Mtri müssen wir nun die Determinnte erechnen. ls Beispiel nehme ich die oerste Mtri, die den -Wert etrifft herus: Die Determinnte erechnet mn nun indem mn uerst ds Produkt der einen Digonle ildet und von dieser ds Produkt der nderen Digonle ieht. Die erste Digonle geht immer von links oen nch rechts unten. Die Determinnte erhlten wir lso folgendermßen: Produkt der.digonle Produkt der.digonle Für unser Beispiel erhlten wir lso: ( ) Genuso erechnen wir uns den Wert der weiten Determinnte: ( ) ( ) Nun erechnen wir den Wert der dritten Determinnte: ( ) So, nun können wir ds Ergenis nschreien:.digonle.digonle

4 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester Der Normlvektor lutet lso. Üung: Üungsltt ; ufge 9 Nun sehen wir uns n, wou wir dieses Vektorprodukt nüten können. ls Erstes ist es geschickt für die Umwndlung einer Eene us der Prmeterdrstellung in die llgemeine Eenengleichung. Beispiel: Geen sie eine llgemeine Gleichung der Eene : t s X ε n. Lösung: Um die Eene prmeterfrei ngeen u können, enötigen wir unächst einml den Normlvektor uf diese Eene (Zur Erinnerung: Die einelnen werte des Normlvektors müssen genu die Koeffiienten vor, und sein). Diesen Normlvektor können wir er mittels des Vektorproduktes ermitteln. Wenn wir den Normlvektor uf die eiden Richtungsvektoren der Eene ermitteln, so muss dies genu der Normlvektor der Eene sein. Wir ilden lso ds Vektorprodukt us den Richtungsvektoren der Eene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )

5 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester Der Normlvektor uf die Eene lutet lso. D wir ihn lediglich für die Bestimmung der Koeffiienten der prmeterfreien Eenendrstellung enötigen, dürfen wir den Vektor durch dividieren. Der Normlvektor lutet lso: n Dies müssen er genu die Koeffiienten vor, und sein. Lediglich den reinen Zhlenwert kennen wir noch nicht. Ich schreie für diesen die Vrile d. Die Eene lutet lso: ε : d Um d u estimmen müssen wir nur einen eknnten Punkt der Eene einseten. us der Prmeterdrstellung der Eene ist uns er der Punkt P(//) gegeen. Wir seten diesen ein: d d Dmit lutet die Eene: ε : Üung: Üungsltt ; ufge 9 Die weite nwendung des Vektorproduktes liefert die Ttsche, dss der Betrg des Vektorproduktes weier Vektoren genu den Flächeninhlt des von ihnen ufgespnnten Prllelogrmms liefert. Dies edeutet Folgendes: Nehmen wir n, wir hen wei Vektoren und. Ds von ihnen ufgespnnte Prllelogrmm erhlten wir, indem wir die wei Vektoren in einen Punkt neinnder hängen und n ds Ende des Vektors den Vektor hängen und n ds Ende des Vektors umgekehrt den Vektor. Wir erhlten folgendes Prllelogrmm:

6 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester Wenn wir nun von den Vektoren und ds Vektorprodukt ilden und vom erhltenen Vektor den Betrg usrechnen, so ist dies genu der Flächeninhlt des Prllelogrmms. Beispiel: Berechne den Flächeninhlt des Prllelogrmms (//), B(/-/), C(-//-), D. Lösung: Wir ermitteln unächst wei Vektoren, die ds Prllelogrmm ufspnnen, lso um Beispiel die Vektoren B und BC : B BC Nun erechnen wir ds Vektorprodukt der eiden Vektoren: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) BC B Der Betrg dieses Vektors ist nun genu die Fläche des gesuchten Prllelogrmms. nmerkung: Bei Flächenerechnungen drf ds erhltene Kreuprodukt ntürlich nicht vereinfcht werden, d mn dei j den Flächeninhlt verändern würde. Berechnen wir nun den Betrg: ( ) ( ), nmerkung: uch die Fläche eines Dreiecks lässt sich uf diese Weise ntürlich ermitteln, d ein Dreieck j immer genu ein hles Prllelogrmm ist, d.h. mn muss den Flächeninhlt nur hlieren. Üung: Üungsltt ; ufgen 9 9

7 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester Ds Vektorprodukt lässt sich nun uch für die Volumserechnung ei Körpern verwenden. Hierfür gelten folgende Formeln: STZ: Volumen eines Prllelepipeds: V c Volumen eines dreiseitigen Prisms: V c Volumen eines Tetreders: V c Volumen einer Prmide mit viereckiger Grundfläche: V c Die Vektoren, und c spnnen jeweils den Körper uf. Ntürlich können wir uch unsere lteingesessenen Formeln enuten: Volumen eines Prisms: V G h G h Volumen einer Prmide: V Beispiel: Berechne Volumen und Oerfläche des Tetreders (//), B(//), C(-//) und D(//9). Lösung: Wir erechnen ds Volumen uf rten: G h Methode : Wir rechnen mit der Formel V. D die Grundfläche ein Dreieck ist, erechnen wir dessen Fläche mit dem Vektorprodukt: B C B C n n G 9, Die Körperhöhe h ist j der stnd des Punktes D ur Grundfläche BC. D ich diese mit der HNF erechnen möchte, muss ich die Grundfläche in der llgemeinen Eenengleichung ufstellen. Den Normlvektor der Grundfläche kennen wir j ereits: n //

8 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester Die Grundflächeneene ε muss lso luten: ε : d Zur Berechnung von D sete ich den Punkt ein: d d Die Eene lutet lso: ε : Mittels der HNF erechnen wir nun den stnd von D u ε: 9 h, Ds Volumen lutet lso: G h 9,, V, Methode : Wir verwenden die Formel: V c B C c D ls Erstes erechnen wir: Nun müssen wir mit dem Vektor c sklr multipliieren: / dvon ist ds Volumen: V, Oerflächenerechnung: die Grundfläche G 9, hen wir ereits erechnet. Wir erechnen nun die Seitenfläche BD: Wir reiten wieder mit dem Vektorprodukt: B D

9 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester 9 D B Wir erhlten:, Wir erechnen die Seitenfläche CD: C D D C Wir erhlten:, Wir erechnen die Seitenfläche BCD: BC BD BD BC Wir erhlten: 9, Die Oerfläche wird:, G O Üung: Üungsltt ; ufgen 9-9