HM I Tutorium 13. Lucas Kunz. 2. Februar 2017

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1 HM I Tutorium 3 Lucs Kunz. Ferur 07 Inhltsverzeichnis Theorie. Differentilgleichungen erster Ordnung Linere DGL zweiter Ordnung Uneigentliche Integrle Typ Typ Typ Konvergenzkriterien Asolute Konvergenz Cuchy-Kriterium Minornten und Mjornten Integrlkriterium Aufgen 6. Aufge 78 (i)

2 Theorie. Differentilgleichungen erster Ordnung Die Theorie zu Differentilgleichungen erster Ordnung wurde ereits im Tutorium ehndelt, weshl sie hier nicht erneut in ller Genuigkeit diskutiert wird. Dennoch ist ein kleiner Nchtrg notwendig: In Kpitel.. des Skripts zu Tutorium wurde der Lösungsmechnismus für linere DGLen erster Ordnung zwr ereits erläutert, jedoch wurden die Formeln für ds direkte Einsetzen der Anfngsedingung nicht diskutiert. Für deren Erläuterung sei die zu lösende Gleichung gegeen ls y = (x) y + (x). (.) Wir ruchen im Lufe der Rechnung zwei Hilfsfunktionen, welche wie folgt definiert sind: A(x) = C(x) = x x 0 (s) ds (.) x x 0 e A(s) (s) ds. (.3) Die Vrile im Integrl selst wurde dei nur us dem Grund s gennnt, um Verwechslungen mit der oeren Integrtionsgrenze x zu vermeiden. Die Funktionen (s) und (s) entsprechend dher (x) und (x) us Gleichung.. Sold wir diese eiden Hilfsfunktionen erechnet hen, ist die Lösungsfunktion gnz einfch konstruierr: y hom (x) = y 0 e A(x) (.4) y P (x) = C(x) e A(x). (.5) Die gesmte Lösung ergit sich wie immer us der Summe dieser homogenen und prtikulären Lösung, lso ls y(x) = y hom (x) + y P (x). Diese Funktion enthält ereits die Anfngsedingung y(x 0 ) = y 0, sodss keine weitere Konstnte mehr estimmt werden muss und die Rechnung n dieser Stelle ereits vollendet ist. Diese Methode ist ntürlich äquivlent zu jener us Tutorium, ei welcher die Anfngsedingung erst nch der Integrtion für A(x) und C(x) eingesetzt wurde, ist er in den meisten Fällen ein wenig schneller und womöglich uch weniger fehlernfällig.. Linere DGL zweiter Ordnung Ws Differentilgleichungen höherer Ordnung etrifft wird in HM I nur die linere Gleichung mximl zweiter Ordnung ehndelt. Hierzu sei I R ein Intervll und 0,, C(I) seien Funktionen. Wir sind wieder interessiert n der Lösung eines Anfngswertprolems, welches nun sehr ähnlich zu Fll erster Ordnung gestellt ist: { y + (x) y + 0 (x) y = (x) (AWP) (.6) y(x 0 ) = y 0 ; y (x 0 ) = y. Im Gegenstz zu einer Gleichung erster Ordnung enötigt mn nun ufgrund der höheren Ordnung uch mehrere Anfngsedingungen. Allgemein gilt: zur eindeutigen Lösung einer DGL n-ter Ordnung enötigt mn n Anfngsedingungen. Ds Prolem.6 ist uf I immer eindeutig lösr. Für den Fll (x) = 0 x I nennt mn die Gleichung homogen.

3 Zur Vereinfchung seien 0 und im Folgenden stets Konstnten. Die Verllgemeinerung mit elieigen Funktionen wird in HM III diskutiert. Zur Lösung der homogenen Gleichung knn unter diesen Umständen ein einfcher Anstz gemcht werden: Φ(x) = e λx. Setzt mn dies in die homogene Gleichung ein, so ergit sich λ e λx + λ e λx + 0 e λx = 0. (.7) Durch Kürzen der üerll uftretenden Terme e λx (d diese nie den Wert 0 nnehmen knn ohne Proleme ddurch geteilt werden) erhält mn ds chrkteristische Polynom der Gleichung: p(λ) := λ + λ + 0 = 0 λ / = ± 4 0. (.8) Es git nun drei Fälle, die durch die Nullstellen λ / uftreten können: Sind λ, λ R und λ λ, dnn definiert mn Φ (x) := e λ x und Φ (x) := e λ x. Sind λ, λ R und λ = λ, dnn nutzt mn stttdessen die Funktionen Φ (x) := e λ x und Φ (x) := x e λ x. Flls schließlich λ, λ C \ R, dnn ist λ = λ, weil komplexe Nullstellen eines Polynoms immer prweise konjugiert uftreten. Es gilt λ = +i β und λ = i β, woei, β R. Mn definiert dher die eiden Funktionen Φ (t) = e x cos(βx) und Φ (t) = e x sin(βx). In jedem der drei Fälle sind Φ und Φ jeweils liner unhängige Lösungsfunktionen der homogenen Gleichung. D die Gleichung selst liner ist, sind lso uch elieige Linerkomintionen von Φ und Φ erneut Lösungen. Die llgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist lso in llen drei Fällen gegeen ls Φ hom (x) = c Φ (x) + c Φ (x) mit c, c R. (.9) Die eiden Konstnten c und c sind dei von den eiden Anfngsedingungen hängig. Wie schon ei lineren Gleichungen erster Ordnung enötigt mn nun zur Lösung der inhomogenen Gleichung noch eine prtikuläre Lösung: Φ(x) = Φ hom (x) + Φ P (x). (.0) Um diese prtikuläre Lösung zu finden git es einen einfchen Anstz, welcher er nur für Inhomogenitäten der Art { (x) = q m (x) e µx cos(ρx) (.) sin(ρx) funktioniert. Hierei ist q m ein Polynom von Grd m N 0 (woei eine Konstnte ein Polynom vom Grd 0 ist) sowie µ, ρ R. Die komplexe Zhl µ + iρ sei eine ν-fche Nullstelle des chrkteristischen Polynoms p(λ). Ist p(µ + iρ) 0, dnn ist ν = 0. Der Anstz für die prtikuläre Lösung ht nun folgende Form: Φ P (x) = [r m (x) cos(ρx) + s m (x) sin(ρx)] e µx x ν. (.) Hierei sind r m und s m Polynome vom Grd m, die ddurch festgelegt werden können, dss Φ P eine Lösung der inhomogenen Gleichung sein muss. Zum esseren Verständnis wird dieses Vorgehen nun n einem kurzen Beispiel erläutert. Weiterhin sei uf ds Dokument zum hrmonischen Oszilltor verweisen, in dem uch eine linere DGL zweiter Ordnung gelöst wird; dieses ist zu finden unter 3

4 .3 Uneigentliche Integrle Uneigentliche Integrle sind solche Integrle, deren grenzen sich im Bereich von eventuellen Divergenzen der Funktionen efinden. Ein Beispiel wäre 0 x dx, weil die Funktion x in x = 0 nicht definiert ist. Dennoch ist der Wert des Integrls existent und endlich, lässt sich jedoch nur ls Grenzwert erechnen. Eenso sind Integrle, in deren Grenzen ± uftucht, uneigentlich, d uch derrtige Rechnungen nur ls Grenzwert durchführr sind. Dher müssen diese Integrle uf spezielle Weise definiert werden. Hierzu seien im Folgenden jeweils, R, R { } und β R { }, < < < β..3. Typ Der erste Typ uneigentlicher Integrle ist jener mit einer prolemtischen oeren Grenze. Es sei f : [, β) R eine Funktion, dnn heißt β f(x) dx ein uneigentliches Integrl Typ. Es lässt sich erechnen ls β r f(x) dx := lim r β f(x) dx (.3) und wird ls konvergent ezeichnet, wenn sein Wert endlich ist..3. Typ Wie zu erwrten ezeichnet mn Integrle mit prolemtischer unterer Grenze ls uneigentliches Integrl Typ. Ein solches ist gegeen durch f(x) dx mit einer Funktion f : (, ] R und wird erechnet ls f(x) dx = lim r + r f(x) dx. (.4) Konvergenz edeutet uch in diesem Fll, dss der Wert des Integrls endlich ist..3.3 Typ 3 Ds uneigentliche Integrl Typ 3 ist nun die Komintion dieser eiden isherigen Typen, mn nimmt lso eine Funktion f : (, β) R und integriert drüer ls β f(x) dx. Um dies zu erechnen enötigt mn ein elieiges c (, β), mit dem dnn folgendes gilt: β c β f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. (.5) c }{{}}{{} Typ Der Wert des linken Integrls ist dei unhängig von der Whl von c (wie schon ei gewöhnlichen Integrlen); mn ezeichnet es ls konvergent, wenn eide rechten Integrle wie für die Typen und definiert konvergieren..4 Konvergenzkriterien Die folgenden Konvergenzkriterien werden der Kürze wegen hier nur für Integrle des Typs formuliert, lssen sich er (is uf.4.4) uch uf die Typen und 3 üertrgen. Typ 4

5 .4. Asolute Konvergenz D in den folgenden Kriterien dieser Begriff uftuchen wird, sei n dieser Stelle solute Konvergenz definiert. Ein Integrl β f(x)dx heißt solut konvergent, wenn β f(x) dx (.6) konvergiert. Dmit ht der Begriff für Integrle die sele Bedeutung wie für Reihen. Außerdem erfüllen Integrle eine sehr ähnliche Dreiecksungleichung. Aus dieser Ungleichung folgt uch, dss jedes solut konvergente Integrl uch norml konvergent ist, d ds Integrl üer den Betrg ls Mjornte dient (siehe.4.3)..4. Cuchy-Kriterium Ein uneigentliches Integrl β f(x) dx ist genu dnn konvergent, wenn v ɛ > 0 c = c(ɛ) (, β) : f(x) dx < ɛ u, v (c, β). (.7) Ein uneigentliches Integrl ist lso genu dnn konvergent, wenn mn uch in der Nähe der prolemtischen Stelle β üer kleinere Intervlle [u, v] integrieren knn und diese Integrle einen elieig kleinen Wert (kleiner ls jedes ɛ) nnehmen können. Um ds Kriterium uf Integrle des Typs nzuwenden muss mn u und v jeweils us dem Intervll (, c) wählen, lso eenflls in der Nähe der prolemtischen Stelle..4.3 Minornten und Mjornten Die Mjornten- und Minorntenkriterien für Integrle sind jenen für Reihen sehr ähnlich. Sie luten folgendermßen: u Ist f g uf [, β) und ist β g(x) dx konvergent, so konvergiert β f(x) dx solut. Entsprechendes gilt für Integrle des Typs, flls die zugrundeliegende Unglei- chung f g uf (, ] erfüllt wird. Gilt f g 0 uf [, β) (zw. (, ] für Typ ) und ist β divergiert uch β f(x) dx. g(x) dx divergent, dnn Insesondere die Mjornten können dei nicht nur helfen, llgemeine Konvergenz festzustellen, sondern schränken uch den möglichen Grenzwert nch oen ein. Eine solche Einschränkung ist ntürlich ei Integrlen eenso wie ei Summen durch Einschnürung/ds Sndwich-Theorem möglich (siehe ei Folgen-Konvergenz Tutorium 4)..4.4 Integrlkriterium Dieses Kriterium existiert usschließlich für Integrle des Typs. Ist m N und f : [m, ) (0, ) ist monoton fllend, dnn esteht folgende Äquivlenz: f(k) konvergiert k=m m f(x) dx konvergiert. (.8) Dmit lässt sich lso die Konvergenz von Reihen und Integrlen ineinnder üerführen. Eine exkte Berechnung des Grenzwerts ist mit dieser Methode er leider nicht möglich. 5

6 Aufgen Die Musterlösungen der Tutoriumsufgen 74, 76 und 78 finden sich nch Aluf der zugehörigen Semesterwoche uf der Internetseite der Vorlesung unter kit.edu/in/lehre/hmphys06w/. Zu Aufge 78 (i) git es noch einen lterntiven Weg, der sogr den exkten Wert des Integrls erechnet.. Aufge 78 (i) Wir kennen ereits die Stmmfunktion von, lso lässt sich ds Integrl erechnen: sin(x) π sin(x) [ x dx = ( ln ( x ))] π tn [ln(x)] π ( π ) ( = ln tn ln tn }{{ 4 } = ( )) ( π ) ln + ln(). Mit Hilfe der Logrithmengesetze lässt sich dies umschreien: ( ( )) ( ) ln() ln tn = ln tn ( ). (.) Lässt mn nun wie in der Aufge gefordert gegen 0 streen, dnn erhält mn diesen Grenzwert mit Hilfe der Regel von L Hospitl (siehe Tutorium 0): lim 0 tn ( ) = lim 0 Entsprechend gilt für ds gesuchte Integrl π 0 ( + tn ( )) = sin(x) ( π ) x dx = ln() ln + ln() = ln =. (.) ( ) 4. (.3) π Auch hier wurden wieder die Logrithmengesetze verwendet, um ds Ergenis ls einen einzigen ntürlichen Logrithmus schreien zu können (ußerdem gilt ln() = 0). 6