Wirtschaftsmathematik 00053: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I Kurseinheit 2: Lineare Algebra II. Autor: Univ.-Prof. Dr.

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1 Wirtschftsmthemtik 0005: Mthemtik für Wirtschftswissenschftler I Kurseinheit : Linere Alger II Leseproe Autor: Univ.-Prof. Dr. Wilhelm Rödder

2 5. Linere Gleichungssysteme und Mtrixgleichungen So verwundert es denn kum, dss die Dimension der Lösungsmenge des inhomogenen Gleichungssystems Ax = mit der des homogenen Gleichungssystem Ax = 0 üereinstimmt. Stz 5.4. Ist x o eine elieige, feste Lösung von Ax =, so ist die Menge ller L = x + y Ay= 0 o. Lösungen { } Beweis: Löst x o ds System Ax A(xo + y o) = Axo + Ayo = + 0=. = und y o ds System Ay = 0, so gilt ntürlich Andererseits ist jede Lösung von Ax = Element von L. Löst nämlich z. B. x ds System Ax =, so gilt A(x x o) = Ax Axo = = 0. Mithin ist x = xo + ( x xo) = xo + y und y liegt im Nullrum von A. Wir hoffen, dss die Betrchtungen üer die Lösrkeit von Gleichungssystemen dzu eigetrgen hen, die in den folgenden Kpiteln vorgestellten Algorithmen und die Interprettion der verschiedenen numerischen Beispiele verständlich zu mchen. Die dritte Frge nch der Bestimmung konkreter Lösungen von Gleichungssystemen wird lso im nächsten Aschnitt ehndelt Ds Gußsche Elimintionsverfhren Gußsches Elimintionsverfhren Gewöhnlich lernt mn in der Schule ds so gennnte Einsetzungsverfhren, ds Gleichsetzungsverfhren und ds Sutrktionsverfhren zur Lösung linerer Gleichungssysteme. Die eiden ersten sollen hier nicht weiter ehndelt werden, d sie für große Systeme ungeeignet sind. Ds Sutrktionsverfhren erscheint jetzt unter dem vornehmeren Nmen Gußsches Elimintionsverfhren. Zu lösen ist lso ds Gleichungssystem n ijxj = i i=,, m. j= Ähnlich wie ei den rngerhenden Trnsformtionen gelten folgende Merkregeln üer ds Umformen von Gleichungssystemen, diesml sind sie jedoch usschließlich uf die Zeilen ezogen.

3 5.5. Ds Gußsche Elimintionsverfhren Multipliziert mn eine Zeile des Gleichungssystems (d. h. lle ij und i für ein i) mit einer Zhl α 0, ändert sich die Lösungsmenge nicht. Erlute Trnsformtionen von Gleichungssystemen Addiert mn zu einer Zeile ds λ-fche einer nderen Zeile, ändert sich die Lösungsmenge nicht ( λ R ). Ds Vertuschen von Zeilen ändert die Lösungsmenge nicht. Gewöhnlich vollzieht mn die Umformungsschritte in Form eines Algorithmus, der ds Gleichungssystem in eine Form trnsformiert, die sofort lle Lösungen erkennen lässt. Solch einen Algorithmus stellen wir Ihnen jetzt vor; er ist fst wie ein Rechnerprogrmm geschrieen. Beim späteren Nchrechnen von Beispielen wird der Vorteil dieser Schreiweise klr. Der Gußsche Elimintionslgorithmus Zu lösen ist ds Gleichungssystem: Gußscher Algorithmus n ijxj = i i=,,, m j=. Schritt: Setzen Sie i =.. Schritt: Ist ii 0? Flls j, gehen Sie zum. Schritt. Flls nein, git es ein ki 0 für ein k > i? Flls j, tuschen Sie die k-te mit der i-ten Zeile, gehen Sie zu Schritt. Flls nein, git es ein il 0 für ein l > i? Git es ein solches il 0, vertuschen Sie die Spen i und l und merken Sie sich, dss Sie die Vrilen mit den Indizes i und l vertuscht hen. Beim Alesen des späteren Ergenisses müssen Sie ds nämlich erücksichtigen. Gehen Sie zu Schritt.

4 4 5. Linere Gleichungssysteme und Mtrixgleichungen. Schritt: Git es ein solches il 0 nicht, streichen Sie die i-te Zeile, wenn uch i = 0 ist. Erniedrigen Sie m um und gehen Sie zum Beginn von Schritt zurück! Ist i 0, ht ds Gleichungssystem keine Lösung. Dividieren Sie die i-te Zeile durch ii und nennen Sie die neuen Elemente wieder i, i,, in, i. Sutrhieren Sie ds Soviel-fche der neuen i-ten Zeile von Zeile i +, zw., zw. m, dss n der Position mit den Indizes ( i+, i), zw., zw. (m, i) eine 0 erscheint! Benennen Sie lle so erhenen Elemente von Zeile i+, i+,, m wieder,,,,. i+, i+, i+, n i+ Erhöhen Sie i um und gehen Sie zum Schritt, flls i m. Ds Endergenis des Algorithmus ist uf den ersten m Spen eine oere Dreiecksmtrix, deren Huptdigonle mit esetzt ist, sowie eine trnsformierte rechte Seite! Beispiel 5.5. Zu lösen ist ds folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Algorithmus x 4 = x x 5 Dzu schreien wir ds folgende Zhlentleu der Elemente der Mtrix zw. der rechten Seite hin! Schritt : i = Schritt : 0? J. Schritt : Division der. Zeile durch ergit:

5 5.5. Ds Gußsche Elimintionsverfhren 5 4 Sutrktion des fchen der. Zeile von der. Zeile. Sutrktion der. Zeile von der. Zeile. Ergenis: Schritt : Ds neue Tleu ist lso: Erhöhen Sie i uf.? J. Schritt : Division der. Zeile durch ergit: 0. Sutrktion des 7fchen (zw. Addition des 7fchen) der. Zeile von der. Zeile. Ergenis: 0 0. Ds neue Tleu ist lso: Erhöhen Sie i uf. Schritt : 0? J. Schritt : Division der. Zeile durch ergit: 0 0

6 6 5. Linere Gleichungssysteme und Mtrixgleichungen D i = m, richt der Algorithmus. Ds Endtleu ist lso: Die Lösung ist folglich: Die. Zeile ergit x =, eingesetzt in die. Zeile: x = =, eingesetzt in die. Zeile: x = 4 ( ) =. Hen wir fest: durch erlute Trnsformtionen wurde die Mtrix A in oere Dreiecksform gercht; ddurch wr ein rekursives Lösen möglich! Der Algorithmus lässt sich leicht modifizieren, wenn mn in Schritt folgende Änderung vornimmt: Sttt des Stzes: Sutrhieren Sie ds Soviel-fche der neuen i-ten Zeile von Zeile i +, zw., zw. m, dss n der Position mit den Indizes ( i+, i), zw., zw. (m, i) eine 0 erscheint! schreien wir jetzt: Sutrhieren Sie ds Soviel-fche der neuen i-ten Zeile von Zeile,, zw., zw. i, zw. i +,, zw. m, dss n der Position mit den Indizes (, i), zw., zw. (m, i) eine 0 erscheint! Für ds Beispiel ergeen sich ei dieser Änderung folgende Tleus: Vollziehen Sie jeden Rechenschritt nch! Ds letzte Tleu edeutet usgeschrieen:

7 5.5. Ds Gußsche Elimintionsverfhren 7 x + 0x + 0x = 0x + x + 0x = 0x + 0x + x = mit der Lösung x x x = = = in völliger Üereinstimmung mit dem oigen Ergenis. Üungsufge 5.5. Lösen Sie mit dem gerde vorgestellten Verfhren folgende Gleichungssysteme! Als Lösung zur Üungsufge geen wir Ihnen die Endtleus n. Kontrollieren Sie zunächst, o Sie diese Endtleus uch erhen hen! Weiter unten im Text finden Sie dnn die Interprettionen dieser Endtleus. Nehmen Sie zur Lösung ein nderes Bltt! i) ii) iii) iv) 0x + 0x + x + x4 = 0x + x x x4 = x + 0x + 0x x4 = x x + x = x x + x = x x + x = x + x = 5 x + x = 5 x + x = x + x x = x + x + x = 0 Interprettion der Endtleus: An diesen Endtleus knn mn erkennen, o die ursprünglich gegeenen Gleichungssysteme eindeutig lösr, nicht lösr oder mehrdeutig lösr wren. Wir führen ds für die vier gegeenen Üungseispiele von Aufge 5.5. vor.. Fll: Eindeutig lösr Sie hen zwei Fälle kennen gelernt, in denen ds vorkm. Der erste Fll wr ds vorgerechnete Beispiel mit dem Endtleu. Lösrkeit von inhomogenen Gleichungssystemen

8 8 5. Linere Gleichungssysteme und Mtrixgleichungen Es wr ein -Gleichungssystem. Allgemein gilt für n n-gleichungssysteme: Sind im Endtleu die n Spen die Einheitsvektoren, ist ds Prolem eindeutig lösr und die n Zhlen der letzten Spe sind die Lösung. Der zweite Fll wr Aufge 5.5. iii) Ds -Prolem ht eine eindeutige Lösung; die Nullzeile knn gestrichen werden und es leit ds Endtleu eines -Prolems ürig. Allgemein lso: Ist ein m n-prolem mit m> n gegeen, ht es eine eindeutige Lösung, flls ds Endtleu die Form ht I 0 0, woei I eine Einheitsmtrix und die trnsformierte rechte Seite ist. Gleichungssysteme mit m. Fll: Mehrdeutig lösr < n sind nie eindeutig lösr! Sie hen zwei Fälle kennen gelernt: Aufge 5.5. i) und iv). Unhängig von der Ordnung m n des Ausgngsprolems gilt folgendes Chrkteristikum für die mehrdeutige Lösrkeit: Ist nch Streichen ller Nullzeilen ds Endtleu von der Form I R, liegt Mehrdeutigkeit vor. R ist hierei eine Restmtrix, I wiederum die Einheitsmtrix und die trnsformierte rechte Seite.. Fll: Nicht lösr Sie hen einen Fll kennen gelernt: Aufge 5.5. ii). Die letzte Zeile ist nicht erfüllr; es git keine Zhlen x, x, x, die die Eigenschft hen: 0x + 0x + 0x =.

9 5.5. Ds Gußsche Elimintionsverfhren 9 D ei llen Umformungen der Lösungsrum nicht verändert wurde, ht lso uch ds Ausgngsprolem keine Lösung. Unhängig von der Ordnung m n des Ausgngsprolems ist Nichtlösrkeit immer drn zu erkennen, dss eine Zeile entsteht, die links vom Gleichheitszeichen nur Nullen ht und rechts eine Zhl verschieden von 0. Dmit sind lle Fälle usdiskutiert. Ein wenig genuer gehen wir noch uf Proleme ein, die mehrdeutig lösr sind. Um lle Lösungen nzugeen, geht mn wie folgt vor. Legt mn die Vrilen zur Restmtrix R fest, ist dmit eine eindeutige Lösung estimmt. Diese Vrilen er knn mn frei wählen. In Aufge 5.5. i) sieht ds so us: Ist (z. B.) x 4 =, gilt: x x x = + = = = =. Allgemein knn mn sgen: die Lösungsmenge ist {( x, x, x, x 4) x x, x 4, x x, 4 x 4 elieig} = + = =. Üen Sie die Bestimmung einer Lösung eines lineren Gleichungssystems n folgender Aufge mit ökonomischem Hintergrund! Üungsufge 5.5. Eine Firm produziert us vier Rohstoffen R, R, R und R 4 vier Produkte P, P, P und P 4. Die zur Produktion einer Mengeneinheit von P j enötigten Mengen n R i werden durch die Elemente ij der folgenden Mtrix gegeen: 4 0 A = = 4 ( ) ij

10 0 5. Linere Gleichungssysteme und Mtrixgleichungen Wie viele ME von P is P 4 können produziert werden, wenn 60 ME von R, 90 ME von R, 90 ME von R und 90 ME von R 4 zur Verfügung stehen und die Rohstoffressourcen usgeschöpft werden sollen? Ein weiteres ökonomisches Prolem, ds zur Lösung eines lineren Gleichungssystems führt, ist die Teileedrfsrechnung im Rhmen eines mehrstufigen Produktionsprozesses. Beispiel Aus Rohstoffen R, R und R werden üer die Zwischenprodukte Z, Z und Z die eiden Endprodukte P und P hergestellt. Die jeweils zur Produktion einer Mengeneinheit enötigten Mengeneinheiten der einzelnen Rohstoffe und Zwischenprodukte werden ülicherweise in einem Gozintogrphen drgestellt (vgl. uch Beispiel.. in Kpitel.): Die Zhlen n jedem Pfeil geen n, wie viele Mengeneinheiten von der jeweils niedrigeren Aggregtionsstufe enötigt werden. Von P sollen 00 ME und von P 400 ME produziert werden. Bezeichnet mn die enötigten Mengeneinheiten von R, R, R mit x, x, x Z, Z, Z mit x 4, x 5, x 6 P, P mit x 7, x 8, so erhält mn etw folgende Beziehung, die Sie itte nhnd des Gozintogrphen verifizieren wollen:

11 5.5. Ds Gußsche Elimintionsverfhren x = x4 + 4x5 + x7 ; vom Rohstoff R werden Einheit pro Zwischenprodukt Z 4 Einheiten pro Zwischenprodukt Z und Einheiten pro Endprodukt P enötigt. Insgesmt ergeen sich folgende Gleichungen: x = x4 + 4x5 + x7 x = 4x + x + 6x + 4x x = 4x6 + x8 x4 = x7 x5 = x7 x6 = x7 + x8 x7 = 00 x = Bringt mn lle Vrilen uf die linke, lle Konstnten uf die rechte Seite, ht mn x x4 4x5 x7 = 0 x 4x4 x5 6x6 4x8 = 0 x 4x6 x8 = 0 x4 x7 = 0 x5 x7 = 0 x6 x7 x8 = 0 x7 = 00 x = 400. Die entsprechende Mtrixgleichung lutet: x x x x = x x x x Die Lösung errechnet mn leicht rekursiv, sie lutet

12 5. Linere Gleichungssysteme und Mtrixgleichungen T ( x, x, x, x, x, x, x, x ) = (, 900, 4000, 600, 400,800, 00, 400). T Mchen Sie die Proe! 5.6. Pivotisieren Im vorigen Aschnitt wurden Gleichungssysteme Schritt für Schritt verändert. Dei spielte die folgende Üerlegung eine wesentliche Rolle: ds Wieviel-fche der Zeile i muss mn von der Zeile k ziehen, dmit n der Position (k, i) eine Null erscheint? Sttt jedes Ml zu üerlegen (zunächst dividiert mn die Zeile i durch ii 0 ; dnn zieht mn von der Zeile k ds ki schemtisieren. ii fche ), knn mn diesen Vorgng Es geschieht lso uf den nächsten Seiten dssele wie uf den vorigen nur een schemtisiert. Wir geen Ihnen jetzt einen vollständigen Algorithmus n, der diese neue Idee in sich einschließt. Er stimmt ntürlich weitestgehend mit dem in Aschnitt 5.5. üerein. Guß-Verfhren mit Pivotisieren Der Gußsche Elimintionslgorithmus mit Pivotisieren. Schritt:. Schritt: Setzen Sie i =. Ist ii 0? Pivotelement Pivotspe Pivotzeile Flls j, kreisen Sie ii ein (es heißt Pivotelement; seine Spe nennt mn Pivotspe und seine Zeile Pivotzeile). Gehen Sie zu Schritt. Flls nein, git es ein ki 0 für ein k > i? Flls j, tuschen Sie die k-te mit der i-ten Zeile, kreisen Sie ds neue ii ein (Pivotelement), gehen Sie zu Schritt. Flls nein, git es ein il 0 für ein l > i? Git es ein solches il 0, vertuschen Sie die Spen i und l und merken sich die Vertuschung der Vrilen mit

13 5.6. Pivotisieren den Indizes i und l. Kreisen Sie ds neue ii 0 ein (Pivotelement), gehen Sie zu Schritt. Git es ein solches il 0 nicht, streichen Sie die entstndene i-te Zeile und erniedrigen Sie m um. Gehen Sie zu Schritt. (Flls ntürlich uch i = 0 ist. Andernflls ist ds Gleichungssystem nicht lösr.). Schritt: Fertigen Sie ein neues Tleu n! Berechnen Sie die Elemente wie folgt: Links von der i-ten Spe ändern Sie nichts! Schreien Sie in der Pivotzeile die Elemente neu il neu i = il l i für ii i ii =. Setzen Sie in der Pivotspe ußer uf der Position (i, i) lle Elemente zu 0. Alle ürigen Elemente des neuen Tleus erechnen sich nch der Kreisregel: Kreisregel neu kl neu k il = kl ki für k i, l> i ii i = k ki für k i. ii Geen Sie llen Elementen des Tleus wieder den Exponenten. Erhöhen Sie i um und gehen Sie zum Schritt, flls i m. Ds Endergenis ist uf den ersten Spen eine Einheitsmtrix sowie eine trnsformierte rechte Seite. Der Nme Kreisregel ist druf zurückzuführen, dss die Rechenopertionen schemtisch wie folgt drgestellt werden können.

14 4 5. Linere Gleichungssysteme und Mtrixgleichungen neu lso: kl il = kl ki (5.6.0) Die etws verwirrende Formel verliert ihren Schrecken, wenn mn ein numerisches Beispiel rechnet. Wir lösen wieder ds Prolem us Beispiel 5.5.: ii Für ds Element ist ds Pfeilschem der Kreisregel eingezeichnet. ist Pivotelement, die neue Pivotspe ist 0 0 die neue Pivotzeile ist 4. Ferner gilt neu 4 = 5 = neu = 4 = 4 neu = =. Anlog für die dritte Zeile. Bisher hen wir Pivotschritt Ntürlich sind die Zhlen die gleichen wie ei Verwendung des Algorithmus im vorigen Aschnitt. Sie hen den ersten Pivotschritt vollzogen! Nun wird = eingekreist, die erste Spe unverändert üernommen, die. Zeile durch dividiert, die neue Pivotspe ist 0, lle ürigen Zhlen werden nch der Kreisregel erechnet; ds ergit: 0 z. B. errechnet sich ds eingekreiste neue Pivotelement wie folgt: 4 ( 5) ( 7) = 5+ = Die ürigen Werte ergeen sich entsprechend.

15 5.6. Pivotisieren 5 Sie hen den zweiten Pivotschritt vollzogen! Der dritte Pivotschritt mit dem Pivotelement ergit dnn ds Endtleu: Üungsufge 5.6. Lösen Sie lle Aufgen in Üungsufge 5.5. mit der Kreisregel! 5.7. Definition und Eigenschften von Mtrixinversen Ruft mn sich die Addition und die Multipliktion von Mtrizen in die Erinnerung zurück und vergleicht diese Opertionen mit der Addition und Multipliktion reeller Zhlen, so stellt mn sofort gewisse Ähnlichkeiten fest. Dies gilt uch für die Division. Die Lösung x der Gleichung x = für 0 ist x = zw. x = (5.7.0) Eenso sucht mn in der Mtrixgleichung mit fester Mtrix A A X= I eine Lösung, sie wird mit X = A (5.7.0) ezeichnet. Mn sgt X ist die inverse Mtrix zu A oder die Inverse ; die Ermittlung der Inversen nennt mn invertieren. inverse Mtrix Ähnlich wie in (5.7.0) ist uch in (5.7.0) die Existenz der Inversen n Bedingungen geknüpft, die im folgenden erörtert werden.

16 Lösungen zu den Üungsufgen Andererseits soll x + x = sein. Es git dzu keine Lösung. Für = ( 5,5,5) T : Nein. Aus den gerde durchgeführten Üerlegungen herus müsste mn einml x + x = 5 und nch Sutrktion der Gleichungen wie oen x + x = 0 gelten. Es git dzu keine Lösung. Üungsufge 5.5. i) Ausgngstleu x x x x Vertuschen der. und. Zeile, dmit ist die. Spe erledigt Nch Division der. Zeile durch ist ds neue Tleu fertig. Endtleu x x x x Addition des ( ) fchen der. Zeile zur. Zeile

17 Lösungen zu den Üungsufgen ii) Ausgngstleu x x x x x x Vertuschen zweier Spen, Multipliktion der. Zeile mit ( ) Endtleu x x x iii) Ausgngstleu x x Endtleu x x

18 4 Lösungen zu den Üungsufgen iv) Ausgngstleu x x x 0 0 Endtleu x x x Üungsufge 5.5. R R R R 4 P P P P Üungsufge A A = 4 0 5