Einführung in die Mathematik des Operations Research

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1 Universität zu Köln Mthemtisches Institut Prof. Dr. F. Vllentin Dr. A. Gundert Einführung in die Mthemtik des Opertions Reserch Aufge (5+5= Punkte) Sommersemester 4 Lösungen zur Klusur (5. Septemer 4). 5 Studierende wollen n den Universitäten in Köln und Bonn studieren. In Köln git es Studienplätze, in Bonn 5. Jede Universität möchte die Studierenden mit den esten Noten hen, jeder Studierende ht eine persönliche Präferenz der eiden Universitäten. Definieren Sie zwei Präferenztellen, die es möglich mchen, eine stile Verteilung der Studierenden mit Hilfe des Gle-Shpley-Algorithmus zu finden.. Berechnen Sie ds stile Mtching, ds ei den unten ngegeenen Präferenztellen für die Fruen m esten ist: Männer A : c B : c C : c Fruen : C A B : A C B c : A C B Lösung:. Bezeichne die 5 Studierenden mit S, S,..., S 5, die Studienplätze in Köln mit K, K,..., K und die 5 in Bonn mit B, B,..., B 5. Die Nummerierung der Studierenden sei so gewählt, dss S, S,..., S l lieer in Köln ls in Bonn studieren wollen und dss S l+, S l+,..., S 5 Bonn präferieren. Die Permuttion π : {,..., 5} {,..., 5} gee eine Sortierung der Studierenden nch Noten n. Dnn knn mn folgende Präferenztellen verwenden: Studierende S : K K B B 5. : S l : K K B B 5 S l+ : B B 5 K K. : S 5 : B B 5 K K Universitäten K : S π() S π(5). : S π() S π(5) K : S π() S π(5) B : S π() S π(5). : S π() S π(5) B 5 : S π() S π(5)

2 . Der Gle-Shpley Algorithmus erechnet ds este stile Mtching für ds Geschlecht, ds die Heirtsnträge mcht. Also müssen hier die Fruen den ersten Schritt wgen. Der Algorithmus von Gle und Shpley liefert folgendes: c C B A k = c C B A k = c C B A k = 3 c C B A c C B A c C B A Somit ist (, B), (, C), (c, A) ds für die Fruen este stile Mtching.

3 Aufge (5+5= Punkte). Benutzen Sie eine min-mx-chrkterisierung, um zu egründen, dss der Weg {(s, ), (, t)} in folgendem gerichteten Grphen (mit ngegeener Längenfunktion) ein kürzester s-t-weg ist. 9 5 s 9 t 6 7. Sei D = (V, A) ein gerichteter Grph, und sei l : A Z eine Längenfunktion, so dss lle gerichteten Kreise in D nicht-negtive Länge hen. Seien zudem s, t V so, dss es einen s-t-weg in D git. Lösung: Stellen Sie von folgendem lineren Progrmm (PLP) ds dule Progrmm (DLP) uf und zeigen Sie die Gleichheit von (PLP) und (DLP):. Lösung üer Schnitte: (PLP) mx p(t) p(s) p : V R p(v) p(u) l() = (u, v) A. Sei l die ngegeene Längenfunktion. D lle Kntenlängen positiv sind, gilt nch Vorlesung dist(s, t) = M, woei M := mx{k : C,..., C k s t Schnitte, so dss A : {j : C j } l()}. (Hierei drf C i = C j gelten für i j.) Wir zeigen, dss M 33. Dnn gilt dist(s, t) 33 = l({(s, ), (, t)}) und der ngegeene Weg somit ein kürzester s-t-weg. Es git vier mögliche s-t-schnitte: δ + ({s}) δ + ({s, }) s s t t δ + ({s, }) s δ + ({s,, }) t s t 3

4 Wählen wir z.b. C =... = C 9 = δ + ({s}), C =... = C 6 = δ + ({s, }) und C 7 =... = C 33 = δ + ({s,, }), so ist die Bedingung n den Knten erfüllt: Jede Knte liegt in höchstens so vielen Schnitten wie ihre Länge erlut. Wir sehen lso, dss M 33. Lösung üer Potentile: D lle gerichteten Kreise im ngegeenen Grphen nicht-negtive Länge hen und es einen s-t-weg git, können wir uch die Chrkterisierung üer Potentile verwenden. Nch Vorlesung gilt dist(s, t) = M, woei M := mx p(t) p(s) p : V R p(v) p(u) l() = (u, v) A. Wir zeigen wiederum M 33, indem wir ein Potentil p mit p(t) p(s) = 33 ngeen. Setze hierfür p(s) :=, p() := 9, p() := 6, p(t) := 33.. Wir schreien (PLP) zunächst in Stndrdform. Sei hierfür M die Inzidenzmtrix von D, d.h. + δ (v) M v, = δ + (v). sonst Zudem sei l R A durch die Längenfunktion definiert und c R V sei wie folgt: + v = t c(v) = v = s. sonst Dnn gilt: Ds dule Progrmm ist lso: (PLP) = mx c T p p R V M T p l. (DLP) = min y T l y R A y y T M T = c T. Es gilt (PLP)=(DLP), wenn eide Progrmme zulässig sind. (Strke Dulität) Zulässigkeit von (PLP): Eine zulässige Lösung von (PLP) ist ein Potentil. Nch Vorlesung git es genu dnn ein Potentil, wenn lle gerichteten Kreise nichtnegtive Länge hen, ws hier nch Vorussetzung gegeen ist. Zulässigkeit von (DLP): Ein nicht-negtives y R A ist genu dnn zulässige Lösung von (DLP), wenn y T M T = c T, lso My = c gilt. Dies ist genu dnn 4

5 der Fll, wenn für lle v V gilt: y() + v = t y() = v = s. δ (v) δ + (v) sonst Wir suchen lso nch einem s-t-fluss, der Wert ht. { Dzu wähle einen s-t-weg, in Weg der nch Vorussetzung existiert, und setze y() =. sonst 5

6 Aufge 3 (5+5= Punkte). Sei G = (V, E) der folgende Grph mit Gewichtsfunktion w : E R wie ngegeen: c d e A B C D E Zeigen Sie, dss ds eingezeichnete Mtching in G nicht extrem ist.. Ds untenstehende Mtching ist extrem. (Ds ruchen Sie nicht zu zeigen.) Geen Sie ein extremes Mtching der Krdinlität 4 n. Begründen Sie Ihre Antwort. c d e A B C D E Lösung:. Lösungsvrinte : In. geen wir ein Mtching derselen Krdinlität n, ds Gewicht ht, während ds hier etrchtete Mtching Gewicht 9 ht. Es ist lso nicht extrem. (Mn könnte uch ein nderes Mtching der Krdinlität 4 ngeen, ds ein Gewicht > 9 ht.) Lösungsvrinte : Nch Vorlesung existieren ei einem extremen Mtching keine gerichteten Kreise negtiver Länge im Residulgrphen. Wir etrchten lso den Residulgrphen des ngegeenen Mtchings: c d e A B C D E Der gru unterlegte Kreis ist gerichtet und ht eine Länge von =. Ds ngegeen Mtching ist lso nicht extrem, d es einen gerichteten Kreis negtiver Länge im Residulgrphen git. 6

7 . Ist M ein extremes Mtching und P ein M-ugmentierender Weg minimler Länge, so ist nch Vorlesung M P wieder ein extremes Mtching. (Ein Schritt der ungrischen Methode) Wir etrchten lle möglichen M-ugmentierenden Wege: A: Länge B A: Länge = c D: Länge c B A: Länge = Dies sind offensichtlich lle möglichen M-ugmentierenden Wege. Als kürzesten Weg können wir lso z.b. c D wählen. Also ist folgendes Mtching extrem: c d e A B C D E 7

8 Aufge 4 (5 + 5 = Punkte). Gegeen seien C = conv {( ) ( )}, 3 Berechnen Sie die metrische Projektion π C (z). und z = ( ). Zur Erinnerung: π C (z) ist ds eindeutige y C mit y z = inf x C x z.. Sei Lösung: 5 A = und =. 6 Bestimmen Sie lle Ecken von P = {x R : Ax }.. Sei x C. Dnn ist x eine Konvexkomintion von Es gilt lso: x = α ( ) ( ) + ( α) 3 ( ) und für ein α [, ]. ( ) : 3 x z = x = (α + ( α)) + (α + 3( α)) = 4 + (3 α) D α [, ], gilt 3 α [, 3], lso 4 + (3 α) [5, 3] und 4 + (3 α) [ 5, 3]. Es gilt lso x z 5 für lle x C. ( ) Für α =, lso x =, gilt x z = x = ( ) 5. Dmit ist π C (z) =.. Ein Punkt z P ist genu dnn eine Ecke von P, wenn rnga z =, woei A z us den Zeilen von A esteht, die z mit Gleichheit erfüllt. Wir etrchten lle möglichen Teilmtrizen von A: ( ) A = : Die Zeilen von A sind liner hängig, lso rnga =. Diese Mtrix korrespondiert lso nicht zu einer Ecke. ( ) A = (Löschen der zweiten Zeile): Die Zeilen von ( A) sind liner ( unhängig, ) lso rnga =. Die eindeutige Lösung 5 4 von A x = ist x 6 =. D Ax, liegt x in P, ist lso eine Ecke. ( ) A 3 = (Löschen der ersten Zeile): 8

9 Die Zeilen von ( A 3 ) sind liner( unhängig, ) lso rnga 3 =. Die eindeutige Lösung von A 3 x = ist x 6 3 =. D Ax 3, liegt x 3 nicht in P, ist lso keine Ecke. P ht lso nur eine Ecke: ( ) 4. 9

10 Aufge 5 (6 + 4 = Punkte). Zeigen Sie: Die Inzidenzmtrix M R V A eines gerichteten Grphen D = (V, A) ist vollständig unimodulr.. Sei Lösung: M = 3 und = 4. 5 Zeigen Sie, dss ds Polyeder {x R 7 : Mx } gnzzhlig ist.. Aus dem Skript: Sei B R t t eine Teilmtrix von M. Zeige per Induktion nch t, dss det B {,, +}. t = : t > :.Fll: B ht eine Nullsplte det B =..Fll: B ht eine Splte, die genu einen Eintrg enthält. Dnn, nch eventueller Vertuschung von Zeilen und Splten, ist [ ] ± T B = B, R t, B R (t ) (t ). Nch Induktionsvorussetzung ist det B {,, +}, lso det B = (±) det B {,, +}. 3.Fll: Jede Splte von B enthält zwei Einträge. Aufddieren sämtlicher Zeilen von B ergit, ds heißt det B =.. Jede Zeile von M enthält je eine und eine. Also ist M T die Inzidenzmtrix eines gerichteten Grphen. Dmit ist M T, lso uch M vollständig unimodulr. D Z, ist P nch Vorlesung gnzzhlig.

11 Aufge 6 (8+= Punkte). Sei A =, = und c = 5. Lösen Sie ds linere Progrm p = mx c T x x R 3 Ax und geen Sie eine optimle Ecke n.. Sei (LP) ds folgende linere Progrmm: Lösung: (LP) min c T x Ax = x woei A R m n, R m und c R n. Wie ist der zentrle Pfd von (LP) definiert?. Lösung mit Simplexverfhren: Seien x = und A =. Wir wählen den Vektor x ls Strtecke. x ist eine Ecke von {x R 3 : Ax }, d Ax und die Mtrix A der Zeilen, die x mit Gleichheit erfüllt, Rng 3 ht. Wir hen A = A und c T A = (, 5, ). Also wählen wir u = (, 5,, ) T. u ht negtive Einträge, lso ist x nicht optiml. Wir hen i =, y = und Ay = D Ay einen postiven Eintrg ht, wählen wir eine weitere Ecke. Wir setzen j = 4 und ekommen ls nächste Ecke x = x + λy mit λ = / =., Wir hen lso x =, A = und A =..

12 Dnn ist c T A = (3,, ) und u = (, 3,, ) T. D u, ist x optiml. Wir erhlten lso: Zielwert: c T x =, optimle Ecke: ( ). Lösung mit Fourier-Motzkin-Elimintion: Um ds Progrmm mit Hilfe von Fourier- Motzkin-Elimintion zu lösen, etrchten wir folgendes System: Ax c T x + λ mit x R 3, λ R und wählen λ so groß wie möglich ( ) Ds Progrmm ist lso lösr und wir erhlten n λ die Bedingungen λ und λ 5. Also wählen wir λ =. Dies ist der optimle Zielwert. Um eine optimle Ecke, die diesen Zielwert erreicht, zu erhlten, kehren wir die Elimintionsschritte um. Für x 3 ekommen wir folgende Bedingungen: x 3 5 λ, x 3 λ und x 3. Mit λ = ergeen die letzten eiden Bedingungen, dss x 3 =. Für x ekommen wir folgende Bedingungen: x 3 x 3 3 λ 3, x und x. D λ = und x 3 =, erhlten wir x =. Für x ekommen wir folgende Bedingungen: x + x, x und x 5x + x 3 + λ. Durch Einsetzen der isher ( ) erhltenen Werte ekommen wir x =. Wir erhlten lso die optimle Ecke.

13 . Sei F : R n+m R n+m die folgende Aildung: A T y + s c F (x, y, s) = Ax XSe, woei X = dig(x,..., x n ), S = dig(s,..., s n ), e = (,..., ) T. In der Vorlesung wurde gezeigt, dss es für jedes τ > ein eindeutiges (x τ, y τ, s τ ) git mit x τ >, s τ > und F (x τ, y τ, s τ ) =, τe flls die Menge der strikt zulässigen Lösungen F = {(x, y, s) : A T y + s = c, Ax =, x >, s > } nicht-leer ist. In diesem Fll ist der zentrle Pfd von (LP) die Menge C = {(x τ, y τ, s τ ) : τ > }. Flls es keine strikt zulässigen Lösungen git, ist der zentrle Pfd nicht definiert. 3