Übungen zur Analysis 2

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1 Mthemtisches Institut der Universität München Prof. Dr. Frnz Merkl Sommersemester 2013 Bltt Übungen zur Anlysis Vernschulichung der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Gegeben seien die Vektoren x = (1, 7) und y = (8, 6) in R 2. Berechnen Sie u = x y,x y, wobei ds Stndrdsklrprodukt, uf R 2 und die zugehörigen Norm gemeint sind. Vernschulichen Sie y 2 sich x, y, y,x y und u mit einer Grphik. Vernschulichen Sie mit der Grphik uch den y 2 Restterm x 2 y 2 x, y 2 der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Lösung Wir berechnen u = x x y, x y 2 y = ( ) ( ) 8 = 6 ( ) 3. 4 y u y,x y 2 y C A (6, 8) 1

2 Sei A die Fläche des grünen Rechtecks, C die Fläche des gelben Rechtecks, und B = A+C. Es gilt A = y, x y y 2 y = y, x = y, x, d x, y nur positive Einträge hben. Die Fläche B ist x y. Somit ist die Differenzfläche C = B A gerde der Restterm x y x, y der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. Weiter erhlten wir den Flächeninhlt der roten Fläche ls ( u y = x 2 + y, x 2 y 4 y 2 2 ) y, x 2 y y 2 = x 2 y 2 y, x 2, 2 d.h. die Wurzel des Restterms us dem Beweis der Cuchy-Schwrz-Ungleichung. In beiden Visulisierungen bechte mn: Wird u kleiner, so wird der Restterm kleiner. Für u = 0, lso x, y liner bhängig, verschwinden die rote und die gelbe Fläche und unsere Ungleichung wird zur Gleichung. 2.2 Wie die -Norm zu ihrem Nmen kommt. Zeigen Sie für n N und f K n : Lösung f p p f. Sei j fest mit x j := mx{ x i :1 i n} =: x. Dnn gilt x j p x i p für lle p 0, 0 i n und weiter x j p n x i p n x j p. D die Wurzelfunktionen uf R + monton steigend sind, folgt weiter i=1 x =( x j p ) 1 p ( n i=1 x i p ) 1 p n 1 p xj = n 1 p x. Wir betrchten jetzt den Limes p und erhlten n 1 p 1. 1 Es folgt x lim p ( n i=1 x = lim p x i p ) 1 p ( n i=1 x x i p ) 1 p. 2.3 Integrlversion der Hölder-Ungleichung. Für 1 p< und f C([, b], K) mit, b R, <bdefinieren wir ( 1/p f p := f(x) dx) p. ( ) 1 Z. B. wegen Stetigkeit von exp und lim p n 1 p = exp log(n) lim p p = e 0 = 1. D n N \{0} können wir den Stndrdzweig des Logrithmus wählen. 2

3 Erinnern Sie sich uch n die Norm : C([, b], K) R us Beispiel im Skript. Zeigen Sie für konjugierte p, q [1, ] und für f,g C([, b], K): f(x)g(x) dx f p g q. Imitieren Sie dzu den Beweis der Hölder-Ungleichung in l p. Lösung Dem Hinweis folgend imitieren wir den bereits beknnten Beweis. Für f = 0 oder g =0 ist die Aussge trivil. Sei nun f 0,g 0 f > 0, g > 0für jede Norm. Nch Vorussetzung ist ußerdem f p, g p <. 2 Insbesondere gilt nch Aufgbe 1.5 schon f(x)g(x) dx f(x)g(x) dx. Sei zunächst 1 <p<. Mit Gleichung (3), 1.20, d.h. mit b p p + bq q 0, b < (3) schließen wir für = f(x) f p,b= g(x) g p f(x) g(x) dx b = f p g q = 1 p f p p den Beweis wie folgt b f(x) g(x) dx f p g q ( f(x) p p f p p = 1 p + 1 q =1. + g(x) q q g q f(x) p dx } {{ } = f p p ) dx + 1 q g q g(x) q dx } {{ } = g q q Der Fll p =1 q = folgt direkt us g(x) mx{g(y) :y [, b]} = g 3 f(x) g(x) dx g f(x) dx = f 1 g. 2.4 Gleichheit in der Hölder-Ungleichung in l p. Es seien I eine bzählbre Menge, p, q ]1, [ konjugiert zueinnder, f l p (I), f 0, g l q (I) und h K I, h(j) := { f(j) p 2 f(j) für f(j) 0, 0 für f(j) =0. (1) Zeigen Sie, dss folgende beiden Aussgen äquivlent sind: () j I f(j)g(j) = f p g q 2 [, b] kompkt, f,g stetig. 3 D [, b] kompkt, existiert ds Mximum. 3

4 (b) Es gilt g = αh für ein α Gleichheit in der Hölder-Ungleichung für Lösungsskizze von Sebstin Gottwld Verbesserungsvorschläge n gottwld@mth.lmu.de

5 Lösungsskizze von Sebstin Gottwld Verbesserungsvorschläge n gottwld@mth.lmu.de 2.5 Dulität zwischen p- und q-norm für stetige Funktionen. Mit den Nottionen der Übung 3 seien p, q [1, ] konjugiert zueinnder und f C([, b], K). Zeigen Sie: { b f p = sup } f(x)g(x) dx g C([, b], K), g q 1. (2) Lssen Sie sich dzu vom Beweis des Korollrs 1.22 im Skript inspirieren.

6 Übungen zur Anlysis 2, SoSe 2013, Prof. Merkl, Bltt Dulität zwischen p- und q-norm für stetige Funktionen Lösungsskizze von Sebstin Gottwld Verbesserungsvorschläge n gottwld@mth.lmu.de

7 Lösungsskizze von Sebstin Gottwld Verbesserungsvorschläge n gottwld@mth.lmu.de

8 Lösungsskizze von Sebstin Gottwld Verbesserungsvorschläge n gottwld@mth.lmu.de

9 Lösungsskizze von Sebstin Gottwld Verbesserungsvorschläge n gottwld@mth.lmu.de

10 { } Lösungsskizze von Sebstin Gottwld Verbesserungsvorschläge n gottwld@mth.lmu.de 2.6 Studieren Sie den Beweis von Lemm 1.9 (Seite 7 im Skript). Lösung: klr!