f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), f(z)dz := Re [f(γ(t)) γ(t)] dt + i

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1 Funktionentheorie Komplexe Kurvenintegrle Themen des Tutoriums m : Jede komplexe Funktion f : D C knn mn drstellen ls f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), wobei u und v reellwertige Funktionen uf R 2 sind. Für eine komplexe Funktion f : D C und einem Weg : [, b] D definiert mn ds komplexe Kurvenintegrl entlng ls: f(z)dz := b f((t)) (t) dt. Ds rechte Integrl ist ntürlich ls zwei beknnte reelle Integrle zu intepretieren: b f((t)) (t) dt = Wichtige Abschätzung: b Re [f((t)) (t)] dt + i b f(z)dz mx f((t)) L[] t [,b] Im [f((t)) (t)] dt. Wenn mn über eine geschlossene Kurve integriert, so schreibt oft für ds Integrlzeichen. Insbesondere kürzt mn die Integrtion über einen Kreis mit Rdius r mit Mittelpunkt im Ursprung, der gegen den Uhrzeigersinn durchlufen wird, gerne mit f(z) dz := f(z)dz mit (t) = e it, t [, 2π] us. z =r Ht f eine Stmmfunktion F uf D, d. h. F = f mit F : D C holomorph, so gilt für jeden Weg : [, b] D: f(z) dz = F ((b)) F (()) Cuchy scher Integrlstz für einfch zusmmenhängende Gebiete: Es sei D C offen und einfch zusmmenhängend und ein geschlossener (stückweise) gltter Weg in D. Dnn gilt für lle holomorphen Funktionen f : D C f(z) dz =. Hinweis: Ich verwende i für die imginäre Einheit und z für die komplexe Konjugtion.

2 Aufgbe 46 Berechnen Sie ds Kurvenintegrl für die Funktion f(z) = z 2 zwischen den Punkten und + i. Verbinden Sie die Punkte dbei durch eine Gerde. Aufgbe 47 Berechnen Sie ds Kurvenintegrl von f(z) = z entlng der folgenden Wege. Skizzieren Sie die Wege zuerst. () (t) := ( t) + it mit t [, ] (b) b (t) := e i π 2 t mit t [, ] { + it t [, ] (c) c (t) := (2 t) + i t [, 2] Begründen Sie nun, wrum f keine Stmmfunktion uf C hben knn. Aufgbe 48 () Berechnen Sie für f : C \ {} C mit f(z) = /z ds Kurvenintegrl entlng (t) = e it für t [, 2π]. Ist der Cuchy sche Integrlstz erfüllt? Flls nicht: Wrum nicht? (b) Betrchten Sie für R > ds Kurvenintegrl ( + z 2 ) 2 dz z =R und zeigen Sie, dss ein Größerwerden des Kreises zu folgendem Ergebnis führt: lim R ( + z 2 ) 2 dz =. Aufgbe 49 z =R Geben Sie für die komplexe Exponentilfunktion eine Stmmfunktion n und berechnen Sie e z dz für : [, ] C mit (t) = t 2 + 5t 3 6t 4 + i sin(πt/2). 2

3 Aufgbe 5 Es soll ds Kurvenintegrl über der Funktion f(z) = /z entlng einer Ellipse berechnet werden. Es seien nun, b > und die Wege ρ, : [, ] C \ {} gegeben: ρ(t) = cos(2πt) + i sin(2πt), (t) = cos(2πt) + ib sin(2πt). Skizzieren Sie diese Wege und zeigen Sie zuerst, dss z dz = z dz ρ gilt. Verwenden Sie dbei die Skizze und mehrmls den Cuchy schen Integrlstz. Berechnen Sie dnn mit dem Wissen von Aufgbe 48() ds folgende Integrl: Lösungen 2π 2 cos 2 (t) + b 2 sin 2 (t) dt. Auf den folgenden Seiten findet ihr meine eigenen Lösungen der Aufgben. Diese sind nicht ls Musterlösungen gedcht, sondern eher ls Überprüfung eurer eigenen Rechnungen. Lösung zu Aufgbe 46 Ds Ergebnis ist 3 ( + i)3 = i 2 3. Lösung zu Aufgbe 47 Zu (): Ds Ergebnis ist 2 ( i)2 = i. Zu (b): Ds Ergebnis ist iπ/2. Zu (c): Ds Ergebnis ist (i + /2) + (i /2) = 2i. Die Funktion knn keine Stmmfunktion in C hben, denn sonst wäre ds Kurvenintegrl nur bhängig von Anfngs- und Endpunkt. Lösung zu Aufgbe 48 Zu (): Ds Kurvenintegrl ist nicht schwer zu berechnen, d (t) = ie it gilt: 2π z dz = i dt = 2πi. Der Cuchy sche Integrlstz ist nicht erfüllt, d ds Gebiet nicht einfch zusmmenhängend ist. Es ht eine Lücke in der Null. 3

4 Zu (b): Dzu bruchen wir die Ungleichung von oben, welche die Länge der Kurve L[ R ] benutzt: f(z)dz L[ R] mx f( R (t)) = 2πR t R ( R 2 ) 2 = 2πR 2R R 4 2π R R 4 für R > + R = 2π R 3 +. R Lösung zu Aufgbe 49 Die Stmmfunktion ist durch F (z) = e z gegeben und deswegen ist ds Kurvenintegrl nicht bhängig vom Weg, sondern nur von Anfngs- und Endpunkt: e z dz = F (i) F () = e ii. Lösung zu Aufgbe 5 Die Kurve ρ prmetrisiert einen Kreis mit Rdius, während eine Ellipse mit den Hlbchsen und b drstellt. Beide werden gegen den Uhrzeigersinn durchlufen und hben uf der reellen Achse zwei gemeinsme Punkte. Offensichtlich ist ber ds gnze Gebiet, d. h. C \ {}, kein Sterngebiet, sodss beknntermßen /z dort keine Stmmfunktion besitzt. Kurvenintegrle lssen sich mit Hilfe von Stmmfunktionen ntürlich viel einfcher usrechnen, d mn nur den Anfngs- und Endpunkt kennen und benutzen muss. Aus diesem Grund teilen wir die Wege einfch uf: 4

5 Nehmen wir nun die geschlitzte Ebene, in welcher die untere imginäre Achse fehlt, bzw. in Formeln { } D 3 2 π := r e i(ϕ+ 3 2 π) C r >, ϕ (, 2π), so ist diese selbstverständlich ein Sterngebiet, uf dem /z eine Stmmfunktion besitzt. Dies bedeutet, ds Integrl hängt nur von dem Anfngs- und Endpunkt b, d. h. ρ [, /2] z dz = [, /2] z dz. Mit der gleichen Argumenttion knn mn den unteren Teil des Weges betrchten und erhält: ρ [/2, ] z dz = [/2, ] z dz. Nun müssen die Wege nur noch zusmmengesetzt werden und mn erhält dich gewünschte Gleichung: ρ z dz = z dz. Dss ds Kreisintegrl über f gleich 2πi ist, knn explizit und leicht nchgerechnet werden und ls Ergebnis erhlten wir, dss uch der Weg der Ellipse den gleichen Wert ht. Schreiben wir dies doch einfch us: = 2π dz = 2π z sin(τ) + ib cos(τ) cos(τ) + ib sin(τ) dτ. sin(2πt) + ib cos(2πt) cos(2πt) + ib sin(2πt) dt Nun teilen wir ds Integrl in Imginär- und Relteil uf: 2π (b 2 2 ) sin(τ) cos(τ) 2π 2 cos 2 (τ) + b 2 sin 2 dτ + ib (τ) 2 cos 2 (τ) + b 2 sin 2 (τ) dτ. Nch dieser Gleichung muss der Relteil verschwinden und der Imginärteil gleich 2π sein, d. h. 2π 2π 2 cos 2 (t) + b 2 sin 2 dt = (t) b und die Aufgbe ist gelöst. Es sei noch bemerkt, dss mn ds letzte Integrl uch nur im Reellen lösen knn, indem mn eine pssende Substitution findet. 5