Übungsaufgaben 2. Komplexe Zahlen. sin 2 ; 2 sin cos D 2 cos 2 1; 2 sin cos D 1 2 sin 2 ; 2 sin cos. 3 k. kd0.cos ; 0/ k.

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1 Übungsufgben Komlexe Zhlen Aufgbe. Mn zeige (mit Hilfe der binomischen und der Moivre-Formel), dß..cos ; sin / D cos ; sin cos D sin ; sin cos,..cos ; sin / D 4 cos cos ; sin 4 sin, für lle Œ0; Œ gilt! 6 Lösung.. Im Flle n D liefert die Moivre-Formel für lle Œ0; Œ ttsächlich.cos ; sin / D.cos ; sin / D cos unter Benutzung von sin C cos D. sin ; sin cos D cos ; sin cos D sin ; sin cos. Für n D ergibt sich mit Hilfe der Moivre-Formel und der binomischen Formel.cos ; sin / D.cos ; sin / D.cos ; 0/ C.0; sin / D P kd0.cos ; 0/ k.0; sin / k k D 0.0; sin / C.cos ; 0/.0; sin / C.cos ; 0/.0; sin / C.cos ; 0/ für lle Œ0; Œ. Wegen.cos ; 0/ D cos ; 0 und.cos ; 0/ D cos ; 0 sowie.0; sin / D sin ; 0 und.0; sin / D 0; sin folgt drus.cos ; sin / D 0; sin.cos ; 0/ sin ; 0 C cos ; 0.0; sin / C cos ; 0 D 0; sin cos sin ; 0 C 0; cos sin C cos ; 0 D.cos sin / cos ;. cos sin / sin D 4 cos cos ; sin 4 sin unter Benutzung von sin C cos D. Aufgbe. Mn berechne jeweils lle Lösungen u C der Gleichung. u.; / u D.4; /,..u C.; // 4 D.6; 0/! 8

2 Lösung... Durch qudrtische Ergänzung der linken Seite ergibt sich für die neue Unbeknnte z D u z D u.; / C die Gleichung.; / D.4; / C 4.; / D.4; / C ;.. Stellt mn die rechte Seite w D.r cos ; r sin / D ; r D jwj D und Œ; dr, dnn sind z 0 D r cos ; sin D ; : in Polrkoordinten C und z D r cos. C /; sin. C / D z 0 C die beiden Lösungen der Gleichung z D w. Der Punkt cos ; sin knn wegen der Lge des Winkels ; eindeutig us.cos ; sin / D 4 ; mit Hilfe der Beziehungen cos D cos und sin D sin cos bestimmt werden: Aus cos D cos D 4 folgt sofort cos D 9 0 ;. Somit ergibt sich us sin cos D sin D heißt, die Gleichung z D w ht die beiden Lösungen z 0 D und somit cos D 0 wegen schließlich sin D 0. ; / D. ; / C und z D z 0 D.; / C: 0, ds.. Somit besitzt die qudrtische Gleichung u.; / u D.4; / die Lösungen u 0 D.; / C z 0 D.; / C. ; / D. ; / C u D.; / C z D.; / C.; / D.; / C:. Die neue Vrible v D u C.; / C erfüllt die Gleichung v4 D, welche die vierten Einheitswurzeln v k D cos k k ; sin C für k f0; ; ; g ls Lösungen ht. Wegen cos ; sin D.0; /,.cos ; sin / D. ; 0/ und cos ; sin D.0; /, ergeben sich drus die Lösungen u 0 D v 0.; / D.; 0/.; / D. ; / C; u D v.; / D.0; /.; / D. ; / C; u D v.; / D. ; 0/.; / D. ; / C; u D v.; / D.0; /.; / D. ; / C; der Gleichung.u C.; // 4 D.6; 0/. Aufgbe. Sei K D fv 0 ; v ; v ; v ; v 4 g die Menge der fünften Einheitswurzeln v k D cos k k ; sin C für k f0; ; ; ; 4g: Werden Addition und Multiliktion ddurch eingeführt, indem mn für lle k, ` f0; ; ; ; 4g jeweils die Summe v k v` D v kc` C bzw. ds Produkt v k ˇ v` D v k` C definiert, so zeige mn, dß K mit diesen Abbildungen einen Körer bildet! 6

3 Lösung. Aufgrund der Ttsche, dß die beiden Winkelfunktionen die Periode hben, gilt cos n n ; sin K für lle gnzen Zhlen n Z. Somit führt die ngegebene Addition bzw. Multiliktion nicht us der Menge K herus, denn für lle Indizes k, ` f0; ; ; ; 4g gilt wegen der Moivre-Formel v k v` D v kc` D cos.kc`/ ; sin.kc`/ K ; v k ˇ v` D v k` k` k` D cos ; sin K : Mit Hilfe dieser Drstellung knn mn leicht lle Summen und Produkte von Elementen us K berechnen und jeweils in den Tfeln v 0 v v v v 4 v 0 v 0 v v v v 4 v v v v v 4 v 0 v v v v 4 v 0 v v v v 4 v 0 v v v 4 v 4 v 0 v v v ˇ v 0 v v v v 4 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v 0 v v 0 v v v v 4 v v 0 v v 4 v v v v 0 v v v 4 v v 4 v 0 v 4 v v v zusmmenfssen sowie die Gültigkeit der Körerxiome überrüfen:. Für lle v k, v`, v m K gilt v k.v` v m / D v kc.`cm/ D v.kc`/cm D.v k v`/ v m.. Für lle v k, v` K gilt v k v` D v kc` D v`ck D v` v k.. Für v 0 K gilt v 0 v k D v 0Ck D v k D v k für jedes v k K. 4. Aus der Tfel für die Addition entnimmt mn zeilenweise, dß zu jedem v k K ein v` K existiert, so dß v k v` D v 0 gilt.. Für lle v k, v`, v m K gilt v k ˇ.v` ˇ v m / D v k.`m/ D v.k`/m D.v k ˇ v`/ ˇ v m. 6. Für lle v k, v` K gilt v k ˇ v` D v k` D v`k D v` ˇ v k. 7. Für v v 0 gilt v ˇ v k D v k D v k D v k für jedes v k K. 8. Aus der Tfel für die Multiliktion entnimmt mn zeilenweise, dß es für jedes v k K mit k 0 ein v` K gibt, so dß v k ˇ v` D v gilt. 9. Es gilt v k ˇ.v` v m / D v k.`cm/ D v k`ckm D.v k ˇ v`/.v k ˇ v m / für lle Elemente v k, v`, v m K. Aufgbe 4. Mn zeige, dß sich jeder rtionle Punkt v D.x; y/ Q Q der Einheitskreislinie fv C j jvj D g in der Form v D b b ; Cb Cb oder b v D ; b Cb Cb drstellen läßt, wobei, b Z gnze Zhlen mit.; b/.0; 0/ sind!

4 Lösung.. Sei v D.x; y/ Q Q mit jvj D x C y D vorgegeben. Im Flle v D D. ; 0/ liefern D 0 und b D die gewünschte Drstellung. Anderenflls gilt stets v C 0 und somit uch v C 0. Aufgrund der Beziehung v v D.jvj ; 0/ D ergibt sich v C D v C v v D v.v C / und somit v D.v C /.v C /. Wegen v C D.x C ; y/ Q Q und v C 0 knn mn gnze Zhlen, b Z und d N mit.; b/.0; 0/ finden, so dß sich die Brüche x C D Q und d y D b Q uf denselben Nenner bringen lssen. Drus ergibt sich v C D ; b d d d, lso uch v C D d ; b d und somit v D.v C /.v C / D.; b/.; b/ D.; b/ Cb ; b D b ; Cb Cb b : Cb Sind lso x, y Q rtionle Zhlen mit x C y D, dnn gibt es gnze Zhlen, b Z mit.; b/.0; 0/ und der Drstellung.x; y/ D b b ; oder uch Cb Cb b.x; y/ D ; b : Cb Cb. Umgekehrt gilt für lle, b Z mit.; b/.0; 0/ stets b Cb C b Cb D 4 b Cb 4 C4 b D. Cb / D ;. Cb /. Cb / ds heißt, die komlexen Zhlen v D b b ; Q Q Cb Cb oder v D erfüllen die Bedingung jvj D. b ; b Q Q Cb Cb Aufgbe. Mn bestimme jeweils lle Lösungen u C der Gleichung. u.; / u D.0; 6/,..u.; // D.0; 7/! Lösung... Durch qudrtische Ergänzung der linken Seite ergibt sich für die neue Unbeknnte z D u.; / C die Gleichung z D u.; / D.0; 6/ C.; 4 / D.0; 6/ C ; D ; : Stellt mn die rechte Seite w D.r cos ; r sin / D 4 ; in Polrkoordinten r D jwj D 4 und Œ; dr, dnn sind z 0 D r cos ; sin C und z D r cos. C /; sin. C / D z 0 C die beiden Lösungen der Gleichung z D w. Der Punkt cos ; sin Lge des Winkels Beziehungen cos D cos knn wegen der ; eindeutig us.cos ; sin / D ; mit Hilfe der und sin D sin cos bestimmt werden:

5 Aus cos D cos D wegen ;. Somit ergibt sich us sin cos noch sin D folgt sofort cos D 4 und somit cos D schließlich uch D sin D, ds heißt, die Gleichung z D w ht die beiden Lösungen z 0 D. ; / D. ; / C und z D z 0 D.; / C:.. Somit besitzt die qudrtische Gleichung u.; / u D.0; 6/ die Lösungen u 0 D.; / C z 0 D.; / C. ; / D.0; / C u D.; / C z D.; / C.; / D.; 0/ C:. Für die neue Vrible z D u.; / C ergibt sich offensichtlich die Gleichung z D.0; / D cos ; sin, die die Lösungen zk D cos C k 6 ; sin C k 6 C für k f0; ; g besitzt. Wegen cos ; sin 6 6 D ;, cos ; sin 6 6 D ; und cos ; sin D.0; / ergeben sich drus die Lösungen u 0 D z 0 C.; / D ; C.; / D C ; C; u D z C.; / D ; C.; / D ; C; u D z C.; / D.0; / C.; / D.; / C der Gleichung.u.; // D.0; 7/. Aufgbe 6. Mn untersuche, ob es eine Kreislinie fv C j jv v 0 j D r g um einen Mittelunkt v 0 C mit einem Rdius r > 0 oder eine Gerde fw 0 C w C j Rg durch einen Aufunkt w 0 C mit einer Richtung w C gibt, welche jeweils durch die drei verschiedenen Punkte. v D.; / C, v D.0; 4/ C sowie v D.6; 6/ C bzw.. v D.; / C, v D.; 7/ C sowie v D.; / C hindurchgeht und bestimme gegebenflls v 0 C und r > 0 bzw. w 0 C und w C! Lösung.. Mn versucht zunächst, die krtesischen Koordinten 0, b 0 R eines Mittelunktes v 0 D. 0 ; b 0 / C und einen Rdius r > 0 us den drei Gleichungen zu bestimmen, die us der Kreisgleichung jv. 0 / C.b b 0 / D r. 0 / C.b b 0 / D r. 0 / C.b b 0 / D r v 0 j D r durch Einsetzen der Koordinten k, b k R der vorgegebenen Punkte v k D. k ; b k / C für k f; ; g entstehen:

6 .. Für die Punkte. ; b / D.; /,. ; b / D.0; 4/ und. ; b / D.6; 6/ ergibt sich nch Ausmultilizieren und Zusmmenfssen ds Gleichungssystem 6 0 C 6b 0 D r 0 b b 0 D r 0 b b 0 D r 0 b 0 7: Mn subtrhiert die erste Zeile von der zweiten und der dritten Zeile und erhält 6 0 C 6b 0 D r 0 b b 0 D b 0 D 4: Ds Teilsystem us der zweiten und dritten Gleichung ht die Lösung v 0 D. 0 ; b 0 / D.6; /, welche somit den Mittelunkt des gesuchten Kreises drstellt. Sein Rdius r D ergibt sich us der Kreisgleichung jv v 0 j D r für den Punkt v D. ; b / D.6; 6/... Sei fv C.v v / C j Rg die Gerde, welche durch die Punkte v D.6; 6/ und v D.0; 4/ läuft. D es kein R mit v D.; / D.6; 6/ C.4; / D v C.v v / gibt, liegt der Punkt v nicht uf dieser Gerden... Für die Punkte. ; b / D.; /,. ; b / D.; 7/ und. ; b / D.; / erhält mn nch Ausmultilizieren und Zusmmenfssen ds Gleichungssystem 0 C b 0 D r 0 b b 0 D r 0 b b 0 D r 0 b 0 : Mn subtrhiert die erste Zeile von der zweiten und der dritten Zeile und erhält 0 C b 0 D r 0 b b 0 D 7 0 4b 0 D : Ds Teilsystem us der zweiten und dritten Gleichung ht keine Lösung. 0 ; b 0 / C. Es gibt somit keine Kreislinie, die durch die drei Punkte v, v und v hindurchgeht... Sei fv C.v v / C j Rg die Gerde, welche durch die Punkte v D.; / und v D.; 7/ in Richtung v v D.; 6/ verläuft. D für D die Beziehung v D.; / D.; / C.; 6/ D v C.v v / gilt, liegt uch der Punkt v D.; / uf dieser Gerden.