Grundoperationen Aufgaben
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- Agnes Maier
- vor 7 Jahren
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1 Grundopertionen Aufgben Ausklmmern Hben lle Summnden einer lgebrischen Summe einen gemeinsmen Fktor, so knn mn diesen gemeinsmen Fktor usklmmern. Die Summe wird ddurch in ein Produkt umgewndelt. Vor dem Kürzen von Bruchtermen müssen oft zuerst geeignete Fktoren usgeklmmert werden. Zerlegen Sie in möglichst viele Fktoren: x 5mx 65nx 5 7 xy z x yz x y z b 5b 3 x 4bx 5b x 5x 3y 5x 3y 5bx 3by x x 6 60b 75b 80eg 40egh 5eh 8x y x yz x z c 3c cd 33d 0. 6y ( y ) 3d ( y ) 6( y ). m x mh h x. 3n 6bn n 5m 0bm 35m 3. r s 4st 4t y ( z ) y ( z ) ( z) 6. 8b cd 4b c 4b d b d 7. ( 4 p ) q ( p 4) q ( p 4) t 0t 8 Grundopertionen Aufgben.doc
2 Binome In der mthemtischen Prxis treten oft Binome uf. Binome sind Multipliktionen einer Summe respektive Differenz mit sich selber. Berechnen Sie die Resultte mit Hilfe der binomischen Formeln: b c. ( ) b. ( ) 3. ( b)( b) 4. ( c d )( c d ) 5. ( b)( b) 6. ( e 3f )( e 3f ) r r 7. ( ) y y ( 3z )( 3z ) Schreiben Sie die Aufgbe b und ergänzen Sie die fehlenden Werte: 0. ( ) = 4 b. ( 3 ) = 9 xy = 64 x 7y. ( ) Zerlegen Sie die Summen und Differenzen in binomische Formeln: b 36b 4. 4c d c 4cd 4d 00 80b 6b x 60x b Grundopertionen Aufgben.doc
3 Kürzen von Brüchen Ein Bruch wird gekürzt, indem Zähler und Nenner durch denselben Term dividiert werden. Beim Kürzen ändert sich die Form, nicht ber der Wert des Bruchs. Bei Termen mit Vriblen müssen oft zuerst geeignete Fktoren usgeklmmert werden, dmit ein Bruch gekürzt werden knn. Kürzen Sie die folgenden Brüche soweit ls möglich: xy z x yz 3 bc d 0 bc d 9 6 6b 4b ( ) 5 6m n 9mn ( ) 6 8m n 6m 3mn 8m n 9mn 3 9 6b 6 9b 3 3 6x 6xy 4y 0x 0y 6 4b 9b 6 9b c 3c 4 4 c x x x 3x 90x 6bx 3xy bu uy 3bx 6xy bu uy 3. b b b b Grundopertionen Aufgben.doc b 4b 8 8b
4 Erweitern von Brüchen Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit demselben Term multipliziert werden. Beim Erweitern ändert sich die Form, nicht ber der Wert des Bruchs. Erweitern Sie jeweils den Bruch so, dss der neue Nenner dem Term in den eckigen Klmmern entspricht. Achten Sie uf die korrekte Schreibweise und vereinfchen Sie soweit wie möglich! Beispiel: y 4x y Anleitung: ( 5y 4x) 5y 4x?? = 3 y? 5y 4xy z 4 z 6 z 30 z z 6b 9 4b 6 8t 0 4t 3 5y 4xy 3 4z 4z z 8z 60z 3 8b 4b 8b 3 48t 4t 45t 4z 5y 7 3d 6. [ 8z 35y dz 5dy] 3y b c x 7. [ bc 3cy bx 3xy] Grundopertionen Aufgben.doc 4
5 Addition und Subtrktion von Brüchen Schreiben Sie ls einen Bruch und vereinfchen Sie: p p p p gh 7 4ef 4fg gh 3m m m m 3 e f.5 5. e 6ef 9e f m n 3 m 4mn 4n 3m 6n e f f e f e f e f ( b) ( b ) 3 3 v 8v v v v 5 5 v b b b b b 4 b 4 b 4 b 4b ( x )( y ) ( y )( z ) ( y )( z ) Grundopertionen Aufgben.doc 5
6 Multipliktion und Division von Brüchen Vereinfchen Sie so weit wie möglich: 5 b b b. ( ) u. ( u ) u ef 3f 3e 3. ( e f ) ux x w : 4uv vw 4. ( ) y r s 0r 0s : 3 5. ( ) g g gh h g h : 6. ( ) g y x x 8y u 7u u 8 8u u u r 3rs s 4r 4rs s e e 0. : e 6e 60 e m n m n : m m x xy 3xy 6y : 4x 4xy y x x xy y k 3k k 3k 8k 6c d cd 3c d : c 8c 8d c d Grundopertionen Aufgben.doc 6
7 Mehrfchbrüche Vereinfchen Sie so weit wie möglich:.. 5x 6y 4x 3y 3 4 p p f g 3 z z z 3 z b b b b m m m m 3 m 8 m m 6 x ( ) Grundopertionen Aufgben.doc 7
8 BM Aufnhmeprüfung Uri 004. Vereinfchen Sie den folgenden Ausdruck so weit wie möglich: ( ) ( 3) 8 ( 5) ( 3) 3. Berechnen Sie den folgenden Ausdruck: b c 4c b c b Berechnen Sie x: x x 8 x 4 = ) Vereinfchen Sie den folgenden Ausdruck so weit wie möglich: 3 8 b 3b : 5c 5 b) Schreiben Sie die Aufgbe b und ergänzen Sie die fehlenden Werte: ( ) 9x 4xy = 5. ) Berechnen Sie den Term: T x = x x 5x 3 für x = 3 ( ) 3 b) Berechnen Sie den Term: ( ) = = = T x, y 3x 4xy für x ; y 3 Grundopertionen Aufgben.doc 8
9 BM Aufnhmeprüfung Uri 005. Berechnen Sie den Term x y y x T = x x für folgende Werte: ) x = ; y = 3 b) x = ; y = 0 c) x = 0; y = d) x = ; y = Stellen Sie die Aufgben so dr, dss mn den Rechnungsweg erkennt.. Berechnen Sie x: ( x )( x 9) ( x 3) = ( x ) ( x 5)( x 5) 3. Vereinfchen Sie so weit wie möglich: ( ) ( ) xy z 9x yz : 5 b 0b 4. Berechnen Sie x: x 4 x 4 x 7 = ) Berechnen Sie den Ausdruck A = z z z z b) Berechnen Sie den Ausdruck B mit dem Tschenrechner. ( ) B = Runden Sie ds Resultt uf Stellen nch dem Komm! c) Fktorisieren Sie so weit wie möglich: ( 7r st)( 3 b ) ( 7r st)( b ) d) Fktorisieren Sie so weit wie möglich: 3x ( ) Grundopertionen Aufgben.doc 9
10 Diverse BM Aufnhmeprüfungen. ) Schreiben Sie ls einen einzigen Bruch: 5x 3x 6xy b) Vereinfchen Sie möglichst weitgehend und entfernen Sie die Klmmern: 4s 4s t 5t 5t t t. ) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung bezüglich G = Q: x 4x 6 7 x = 3 5 b) Bestimmen Sie zuerst den Definitionsbereich und nschliessend die Lösungsmenge der Gleichung bezüglich G = Q: 3x 0.5 = 0.8 5x Lösen Sie folgende Gleichung nch x uf: x 3x x = Vereinfchen Sie so weit wie möglich: ) ( 3m 9n)( m 4n ) 6m 6mn 36n n b) b b : b 5. Lösen Sie folgende Gleichung nch x uf: 5( x 5) 3 x = 5 5 x 8 4x x ( ) ( ) 6. Vereinfchen Sie so weit wie möglich: 4 ) ( ) ( ) ( ) b) 7 4b 8 b b b b Grundopertionen Aufgben.doc 0
3 Zerlegen in Faktoren (Ausklammern)
3 Zerlegen in Fktoren (Ausklmmern) 3.1 Einführung 3 + 3b = 3 ( + b) Summe Produkt Merke: Hben lle Summnden einer lgebrischen Summe einen gemeinsmen Fktor, so knn mn diesen gemeinsmen Fktor usklmmern. Die
2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
c) 75x 14x+33y 100a+26b 77a 80r 35r 45r 97t 97+3t 120x+116y +203z c) 4ab 3ab 5a 2 7ab 9xy 4x 3 y 2x 2 y 5 3x 3 y 2 4x 3xy 5y 8xy 2x 2 3y 2
Aufgbe : Vereinfche so weit wie möglich! 5+7 +3y z 8u 3u+6v r +r 7r s 5t+ +y +5+y 8 +3b c 5u+v 6r +t 8+9 5+b 75 +33y 00+6b 77 80r 35r 5r 97t 97+3t 0+6y +03z u+57v 8v 75w 83z 53w 6c+5d 6c 59g 00+g 00h 33h
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2.5 Algebr Inhltsverzeichnis Fktorisieren 2. Terme fktorisieren...................................... 2.2 (-) usklmmern....................................... 2.3 Terme mit Klmmern fktorisieren..............................
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Lösungen II.1 5) T(1;1) = 1; T(2;1) = 2; T(1;2) = 5; T(0;5) = 0; T( 1;5) = 29; T(0;1) = 0; T( 2;1) = 2; T = = 3 ; T
Lösungen II. Termwerte berechnen: ) ) b b b) 7 bb 7 b 4 c) + bc 4d d) ( + bc) (4d) + bc d e) b(c+d) bc + bd 4 f) b[c+d ] bc + bd b g) (+b) c 7 c + bc + b c 7 h) b(bc d ) b c bd ) T() 4; T(4) ; T( ) 09
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Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3
3.1 Multiplikation Die Multiplikation von algebraischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt:
.1 Multipliktion Die Multipliktion von lgerischen Termen kennen Sie von früher. Die wichtigsten Punkte seien hier kurz wiederholt: c Multipliktor Multipliknd Produkt Kommuttivgesetz (Vertuschungsgesetz)
1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3
.6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen
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15ab 21bc 9b = 3b 5a 7c 3
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Aufgabensammlung Klasse 8
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15ab 21bc 9b = 3b 5a 7c 3
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Lineare Gleichungen mit Parametern
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2 Elementare Rechenoperationen
0 Elementre Rechenopertionen Die Einführung von Buchsten ls Vrile und deren Verknüpfung durch Rechenzeichen führt zu dem Begriff des Terms (von lt. terminre estimmen).. Grundrechenrten mit Termen Addition
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Faktorisieren von Sumen. Üben. Faktorisieren von Summen. Lösung. Faktorisiere durch Ausklammern oder mit den binomischen Formeln: b) x + 3y + xy
X Faktorisieren von Sumen 1 Faktorisiere durch Ausklammern oder mit den binomischen Formeln: a) 3xy + xy b) 1 + 4x + 3y + xy c) 9u 49v d) x 4ax + 4a e) 4b + 0bc + 5c X 1 a) 3xy + xy = 3 xy +xy y = xy (3+y)
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Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
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