Faktorisieren von Sumen. Üben. Faktorisieren von Summen. Lösung. Faktorisiere durch Ausklammern oder mit den binomischen Formeln: b) x + 3y + xy

Transkript

1 X Faktorisieren von Sumen 1 Faktorisiere durch Ausklammern oder mit den binomischen Formeln: a) 3xy + xy b) 1 + 4x + 3y + xy c) 9u 49v d) x 4ax + 4a e) 4b + 0bc + 5c X 1 a) 3xy + xy = 3 xy +xy y = xy (3+y) b) 1 + 4x + 3y + xy = x + 3y + xy = 4(3+x) +y(3+x) = (4+y)(3+x) c) 9u 49v = (3u) (7v) = (3u + 7v)(3u 7v) (3. BF) d) x 4ax + 4a = x. x. a + (a) = (x a) (. BF) e) 4b + 0bc + 5c = (b) +. b. 5c + (5c) = (b + 5c) (1. BF)

2 X Faktorisieren von Sumen a Faktorisiere soweit wie möglich: a) a + b b) 14 a + 7 c) u u d) ax a e) xz z f) a - ab 3ac + 3bc g) zx 3 xy z yx z + zy 3 X a a) a + b = (a+b) b) 14 a + 7 = 7(a + 1) c) u u = u(u - 4) d) ax a = a(x 1) e) xz z = z(x z) f) a - ab 3ac + 3bc = a(a b) 3c (a b) = (a-b)(a 3c ) g) zx 3 xy z yx z + zy 3 = xz(x y ) yz(x y ) = (x y )(xz yz) = (x y) z(x-y) = (x-y)(x+y)z(x-y) = z(x-y) (x+y)

3 X b Faktorisiere soweit wie möglich: a) x 4x b) by b c) 3v 6v d) 5ax - 3abx e) 1x y 4xy f) 0p q 3 10p 3 q X Faktorisierung von Summen b a) x 4x = x(x 4) b) by b = b( y 1) c) 3v 6v = 3v( v ) d) 5ax - 3abx = ax( 5x 3b) e) 1x y 4xy = 4xy( 3x y) f) 0p q 3 10p 3 q = 10p q (q p)

4 X Faktorisierung von Summen 3 Klammere den Faktor 1 aus : a) x y b) x y c) x + y d) a+ b e) mr s f) b a g) 1x + 4y 5z h) 3u + uv 4 i) a b + c j) 0,5x 3x + X Faktorisierung von Summen 3 a) x y = -( y x) b) x y = -(x + y) c) x + y = -( -x y) d) a+ b = -(a b) e) mr s = -(s - mr) f) b a = -( a b) g) 1x + 4y 5z = -(1x 4y + 5z) h) 3u + uv 4 = -(3u -uv + 4) i) a b + c = -(a + b c) j) 0,5x 3x + = -(0,5x +3x )

5 X Faktorisierung von Summen 4a Faktorisiere soweit wie möglich: a) 7x + 1xy b) a + 1b c) x 4 d) d 4 - d e) 5abc 10abv f) 36d 60d 3 g) 35z + 7z h) 44a b a 3 b X Faktorisierung von Summen 4a a) 7x + 1xy = 7x(1 + 3y) b) a + 1b = 4(a + 3b) c) x 4 (x 1) d) d 4 - d = d (d 1) = d (d-1)(d+1) e) 5abc 10abv = 5ab(c v) f) 36d 60d 3 = 1d (3 5d) g) 35z + 7z = 7z(5z + 1) h) 44a b a 3 b = a b (44b a)

6 X Faktorisierung von Summen 4b a),5a x 3,5abx b) 1,x y 0,4xy c),4p q 0,7p 3 q d) 4,ab 3 3,6 a 3 b e) 6az 3az + 9az f) 5b b 5b g),4c 4 1,6c 3 0,c X Faktorisierung von Summe 4b a),5a x 3,5abx = 0,5ax(5a 7b) b) 1,x y 0,4xy = -0,4xy(3x + y) c),4p q 0,7p 3 q = 0,1p q (4q 7p) d) 4,ab 3 3,6 a 3 b = 1,ab(4b 3a ) e) 6az 3az + 9az = 3az(z z +3) f) 5b b 5b = 5b(b + b 5) g),4c 4 1,6c 3 0,c = 0,c (3c c 1)

7 X Faktorisierung von Summen 4c a) 4x y 5x 3 y + 16x y b) x y! x y + x y 4 c) 9a 3a b 3 6ab d) u v! u v + u v e),s t 5 1,1s 7 t 9 3,3t 5 X Faktorisierung von Summen 4c a) 4x y 5x 3 y + 16x y = 0 x y 5x 3 y = 5x y(4 xy) b) x y! x y + x y = x y(! 4 + 3y) 4 4 c) 9a 3a b 3 6ab = 3a(3a ab 3 b ) d) u v! u v + u v = u v (v! 3 + 3u ) e),s t 5 1,1s 7 t 9 3,3t 5 = 1,1t 5 (s s 7 t 4 3)

8 Faktorisierung von Summen 5a a) 57x 6x 15bx b) ab + ac + bc c) 4xy 1yz 4xz d) 1abx 6by 15bz e) 6az 3-3az +9az f) 5b 3 +10b -5b Faktorisierung von Summen 5a a) 57x 6x 15bx = x(17-5b) b) ab + ac + bc = (ab + ac + bc) c) 4xy 1yz 4xz = 1(xy yz 4xz) d) 1abx 6by 15bz = 3b( 7ax y 5z) e) 6az 3-3az +9az = 3az( z z + 3) f) 5b 3 +10b -5b = 5b(b + b 5)

9 X X 5b a) 4c 4 16c 3 c b) 4x y 1xy - 16xy c) 9a 3a b 3 6ab d) 5s 4 5s 3 t + 30s t 3 e) 4ab c 6a b c a b c + 6ab c X X 5b a) 4c 4 16c 3 c = c (3c c 1) b) 4x y 1xy - 16xy = 4xy(x 3y 4) c) 9a 3a b 3 6ab = 3a( 3a ab 3 b ) d) 5s 4 5s 3 t + 30s t 3 = 5s ( s 5st + 6t 3 ) e) 4ab c 6a b c a b c + 6ab c = ab c( c 3ac 4a + 3)

10 X X 6a a) xp + yp + xq+yq b) ax-bx + ay-by c) mx+nx + m+n d) 3rp 3rq + sp pq e) 3xa 3xb + a b X X 6a a) xp + yp + xq+yq = (x+y)p + (x+y)q = (x+y)(p+q) b) ax-bx + ay-by = (a - b)x + (a - b)y = (a - b)(x+y) c) mx+nx + m+n = (m+n)x + (m+n) = (m+n)(x+1) d) 3rp 3rq + sp sq = 3r(p - q) + s(p - q) = (3r + s)(p - q) e) 3xa 3xb + a b = 3x(a - b) + (a - b) = (a - b)(3x + 1)

11 X X 6b a) 3r + s 4as - 1ar b) ax + ay x y c) 4ac +1ad c 3d d) ax bx + ay by e) ax + ay + 3bx + 3by x X X 6b a) 3r + s 4as - 1ar = (3r + s ) - 4a(3r + s) = (3r + s)(1 4a) b) ax + ay x y = a(x + y) (x + y) = (x + y)(a 1) c) 4ac +1ad c 3d = 4a(c + 3d) (c + 3d) = (4a - 1)(c + 3d) d) ax bx + ay by = (a b)x + (a - b)y = (a - b)(x+y) e) ax + ay + 3bx + 3by = a(x + y) + 3b(x + y) = (a + 3b)(x + y)

12 X X 6c a) 1 + 4x + 3y + xy b) mr ms ns + nr c) 1mx my + 30nx 0ny d) r + rs + y + sy e) 4a r + 1a s 3b r 9b s X X 6c a) 1 + 4x + 3y + xy = 4(3 + x) + y(3 + x) = (4 + y)( 3 + x) b) mr ms ns + nr = m(r s) + n(r s ) = (m + n)(r s) c) 1mx my + 30nx 0ny = 4m(3x y) + 10n(3x y) = (4m + 10n)(3x y) d) r + rs + y + sy = r(1+s) + y(1 + s) = (r +y)(1 + s) e) 4a r + 1a s 3b r 9b s = 4a (r + s) 3b (r + s) = (4a 3b )(r + s)

13 a) 5x y! x y! x y 4 b) 4ab c 6a bc a b c c) 0,4s 4 t u 3 1,s 3 t 9 u 0,s 5 t 7 u 4 7 a) & 5 3 # 5x y ' x y ' x y = x y$ 5x ' x ' y! 4 % 4 " b) 4ab c 6a bc a b c = abc(b c 3ac 4ab) c) 0,4s 4 t u 3 1,s 3 t 9 u 0,s 5 t 7 u 4 = 0,4s 3 t 7 u (stu 3t s u )

14 a) x y + y x + x y b) xy + 6x y + x 3 y 3 c) 7d s + 4s d 1sd d) x yz + 7xy z 6x y 3 z + 5xy z 3 a) x y + y x + x y = xy(x + y + xy) b) xy + 6x y + x 3 y 3 = xy( 1 + 3xy + 4x y ) c) 7d s + 4s d 1sd = 3ds (9ds + s 6d) d) x yz + 7xy z 6x y 3 z + 5xy z 3 = xyz(xz + 7y 6xy z + 5yz )

15 9 a) (a+b)x + (a+b)y b) 3x 4 + 5(3x 4) c) a(k t) t + k d) (tz er)t + (tz er)s e) 6r(4+i) + i a) (a+b)x + (a+b)y = (a+b)(x +y) b) 3x 4 + 5(3x 4) = (3x + 4)(1 + 5) = 6(3x +4) c) a(k t) t + k = a(k t) + (k t) = (k t)(a + 1) d) (tz er)t + (tz er)s = (tz er)(t + s) = (tz er)(t + s) e) 6r(4+i) + i + 4 = 6r(4 + i) + (4 + i) = (6r + 1)(4 + i)

16 10a a) ax ay + dc dv b) w + e + 5e + 10w c) rs rt + ps pt d) ux + uy vx vy e) wz w z + 10a a) ax ay + dc dv = a(x y) + d(c v) b) w + e + 5e + 10w = 1w + 6e = 6(ew + e) c) rs rt + ps pt = r(s t) + p(s t) = (r + p)(s t) d) ux + uy vx vy = (u v)x + (u v)y = (u v)(x + y) e) wz w z + = w(z ) (z - ) = (w 1)(z )

17 10b a) ax + ay bx by b) uv + 3u v 6 c) xy + z yz x d) a c b c a d + b d e) a c b c + a d b d 10b a) ax + ay bx by = a(x + y) b(x + y) = (a b)(x + y) b) uv + 3u v 6 = u(v + 3) (v + 3) = (u )(v + 3) c) xy + z yz x = x(y 1) + z(1 y) = x(y 1) z(y 1) = (x z)(y 1) d) a c b c a d + b d = (a b )c (a b )d = (a b )(c d) = (a + b)(a b)(c d) e) a c b c + a d b d = (a b )c (a b )d = (a b )(c d ) = (a b)(a + b)(c d)(c + d)

18 11 g) a ab + b ab h) x + xy + 4y + xy i) ax ay + bx by j) 9u uv + 16v 1 uv k) 16r 0rs + 5s 0rs l) x 4 + x 3 x 11 a) a ab + b ab = a ab + b = (a b) b) x + xy + 4y + xy = x + 4xy + 4y = (x + y) c) ax ay + bx by = a(x y) + b(x y) = (a + b)(x y) d) 9u uv + 16v 1 uv = 9u 14uv + 16v nicht faktorisierbar e) 16r 0rs + 5s 0rs = 16r 40rs + 5s = (4r 5s) f) x 4 + x 3 x = x 3 (x +1) (x + 1) = (x 3 )(x + 1)

19 1a f) 4m 4 n 4 1 g) 144 u 4 v 4 64 u v h) a 4 x + x x a i) p 4 q 4 r 4 - p q r + 1 j) 16 4a + 0,5a 1a a) 4m 4 n 4 1 = (m n 1)(m n +1) b) 144 u 4 v 4 64 u v = (1u v uv) (1u v + uv) = 16u v (3uv )(3uv + ) c) a 4 x + x x a = x (a 4 a + 1) = x (a 1) = x [(a-1)(a+1)] = x (a 1) (a+1) d) p 4 q 4 r 4 - p q r + 1= (p q r - 1) = [(pqr 1)(pqr + 1)] = (pqr 1) (pqr + 1) e) 16 4a + 0,5a = (4 0,5a)

20 1b x a) + xy + 9y 9 b) z 3! 1 3 c) 1 x! d) ab abc + ac uz e)! u 1b x a) + xy + 9y = ( x + 1xy + 1y ) = ( x + 9y) z b)! = ( z! 1) = ( z! 1)( z + 1) c) x! = (16x! 1) = (4x! 1)(4x + 1) d) ab abc + ac = a(b bc + c ) = a(b c) uz u u e)! u = ( z! 4) = ( z! )( z + ) 1 9

21 1c a) a b 4 a x b) a 4 x + a 3 xb + a b c) 1 + a + a d) x x! 4 4 e) u u y! u y + 4 1c a) a b 4 a x = a (4b 4 x ) = a (b 1)(b + 1) b) a 4 x + a 3 xb + a b = a (a x + axb + b ) = a (ax + b) c) 1 + a + a nicht faktorisierbar 1 x x d) +! = ( x! x + ) = ( x! ) u 4 4 u 4 u e) u y! u y + = u ( y! uy + ) = u ( y! ) 4 4

22 13a Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) x - 6x + b) y 3y + c) z + z + d) u + 1,6u + 13a a) x - 6x + 9 = (x 3) b) y 3y + & 3 # 3 $!" = (y - ) % c) z + z + 0,5 = (z + 0,5) d) u + 1,6u + 0, = (u + 0,)

23 13b Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) a x - abx + b) 9u v + 1uv + c) r s rs + d) r 4 s 4 r s + 13b a) a x - abx + b = (ax b) b) 9u v + 1uv + 4 = (3uv + ) c) r s rs + 0,5 = (rs 0,5) d) r 4 s 4 r s + 0,5 = (r s 0,5)

24 14a Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) e + + f b) x x + y c) x - x + 16 d) a e) - 4bc + b 14a a) e + ef + f = ( e + f) b) x xy + y = (x y) c) x - x + 16 = (x 4) d) 9 6a + a = (3 a) e) 4c - 4bc + b = (c - b)

25 14b Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) - 1h + h b) 4 + 4y + c) i d) 9k 6k + e) i + m - 14b a) 36-1h + h = ( 6 - h) b) 4 + 4y + y = ( + y) c) i i = ( i 5) d) 9k 6k + 1 = (3k 1) e) i + m im = (i m)

26 X 15a Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) + x + 16 b) 64n + + 9c c) x 4 x + d) + 6x e) 4d e 4 X 15a a) x + x + 16 = ( x +4) b) 64n + 4nc + 9c = (n + 3c) c) x 4 x + 1 = (x 1) d) 9x 6 + 6x = ( 3x 3 + 1) e) 4d 6-16d 3 e + 16e 4 = (d 3 4e )

27 X 15b Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: e) 16at + + 4t f) 1n - + 9m g) a h) e X 15b a) 16at + 64a + 4t = ( a + t) b) 1n 54nm + 9m = (9n + 3m) c) a a = ( 4 + a) d) 5 + e - 10e = (5 e)

28 X 15c Ersetze den Platzhalter so, dass man eine der binomischen Formeln anwenden kann: a) p 4 b) - k k 6 c) 6b v + b 4 + d) f 6f 4 + X 15c a) 10p p 4 = ( 1 + 5p ) b) 1 - k k 6 = (1-4k 3 ) c) 6b v + b 4 + 9v 4 = ( 3v + b ) d) f 6f = (f 4 3)

29 X 16 Beispiel: a 5a + 6 = (a-)(a-3) mit (-) + (-3) = -5 und (-). (-3) = 6 Zerlege ebenso: a) a + 9a + 0 b) s - 9s + 0 c) f + f 0 d) h! h! 3 4 X 16 a) a + 9a + 0 = (a + 4)(a + 5) b) s - 9s + 0 = (s 4)(s - 5) c) f + f 0 = (s 4)(s + 5) d) 3 h! h! = (h + 0,5)(h - 1,5) 4