Lineare Gleichungen mit Parametern

Transkript

1 - - Linere Gleichungen mit Prmetern Neen den lineren Gleichungen mit einer Vrilen zw. einem Pltzhlter existieren uch Gleichungen, die mehrere Uneknnte einhlten. Dei wird die Vrile, die mithilfe von Äquivlenzumformungen isoliert werden muss, mit Gleichungsvrile ezeichnet. Die nderen Uneknnten nennt mn Prmeter oder uch Formvrilen. Formvrile uch deshl, weil sie die Form der Gleichung estimmen, wie z.b. mx + t= c oder uch x += 0. Diese eiden eknnten Gleichungstypen entstnden, weil kluge Köpfe vor vielen Jhrhunderten Lösungsformeln für Gleichungen, die in ihrer Art immer gleich wren, entwickelten, dmit sie nicht ei jeder Lösung dieser Gleichungen usführliche und vielleicht uch zeitruende Lösungslgorithmen nwenden mussten. Die genile Fulheit einiger Mthemtiker ersprt uns heute durch deren Lösungsformeln meist ufwendige Lösungswege. Am eknntesten dürfte wohl die Lösungsformel für die llgemeine qudrtische Gleichung sein. Linere Gleichungen mit Prmetern löst mn normlerweise mit dem zuständigen Lösungslgorithmus. Dei knn es unter gewissen Umständen er zu Schwierigkeiten kommen. Dividiert mn eispielsweise eine Gleichung durch einen Term, der einen Prmeter enthält, so ist es notwendig, dfür zu sorgen, dss dieser Term nicht den Wert Null nnehmen knn. Mn muss somit vor der Division mit einer Fllunterscheidung dfür sorgen, dieses Fisko uszuschließen. In den folgenden Beispielen sind die Prmeter wie uch die Vrile üer der Menge der reellen Zhlen IR definiert. Um Verwechslungen zwischen Gleichungsvrile und Formprmeter uszuschließen, wird die Gleichungsvrile in den Aufgen usschließlich mit x ezeichnet. Wie ülich wird mit einfchen Beispielen egonnen und der Schwierigkeitsgrd nch und nch erhöht: ) = x (+ ) Um x zu isolieren, muss mn nur die usmultiplizierten konstnten Termglieder mithilfe der Addition uf die linke Seite der Gleichung ringen: Alger Linere Gleichungen mit Prmetern 007 Lernen mit Spß

2 - - = x + + (erfordert noch keine Fllunterscheidung!) + = x L= { + } IR. Es knn uch durchus vorkommen, dss trotz der Existenz von Prmetern keine Fllunterscheidung notwendig ist. Im nächsten Beispiel ist dies llerdings schon nders: ) x= 3 Wenn der Fktor vor der Vrilen x einen oder mehrere Uneknnte enthält, muss mn, wie ereits erwähnt, eine Fllunterscheidung durchführen. Vor dem Dividieren stellt mn ddurch einerseits sicher, dss dieser Fktor nicht den Wert Null nnehmen knn. Andererseits untersucht mn, welche Sitution eintritt, flls der Fktor doch den Wert Null nnimmt. Mn geht wie nun folgend vor: ) 0, somit drf mn durch dividieren: x= (3 ) (3 ) x= x 3 (die rechte Seite wurde fktorisiert) = (und der Quotient gekürzt) 3 L= } IR { \{ }. ) = 0, nun würde ein Dividieren durch gegen die mthemtischen Rechengesetze verstoßen. Deshl setzt mn für Null ein, um die Gleichung weiter zu untersuchen: 0 x= x = 0. 0 x =0 ist er immer whr, vollkommen egl, ws mn für x einsetzen würde. Mn erhält somit eine llgemeingültige Aussge. L = IR für= 0 Alger Linere Gleichungen mit Prmetern 007 Lernen mit Spß

3 - 3 - Ds folgende Beispiel einhltet zusätzlich inomische Formeln, um ds Niveu leicht zu erhöhen: 3) ( + ) x= Die konstnten Glieder stehen ereits uf der rechten Seite der Gleichung, so dss mn nur noch durch den Fktor ( +) dividieren müsste, um die Vrilen x vollständig zu isolieren. Nur könnte dieser Fktor den Wert Null nnehmen, wenn mn für den Prmeter die Zhl - einsetzen würde. Folglich muss zur Lösung dieser Gleichung mit einer Fllunterscheidung egonnen werden: 3), mn drf nun eide Seiten der Gleichung durch ( +) dividieren: ( + ) x= ( +) = + x (der Zähler wird fktorisiert) ( )( + ) = + x = ( ) x (und der Quotienten vollständig gekürzt) L= { ( )} IR\{ }. 3) =, ds edeutet, mn setzt für die - ein, d ein Dividieren durch ( +) jetzt nicht möglich ist: ( + ) x = ( ) 0 x = 0 x = 0 wie in der Lösung zu ) erhält mn wiederum eine llgemeingültige Aussge für = : L = IR für=. Im nschließenden Beispiel für linere Gleichungen mit Prmetern muss mn erst einml dmit eginnen, die Gleichungsvrile x uf die linke Seite der Gleichung zu ringen und die konstnten Glieder dzu zählen uch die Formvrilen, die nicht ein x ls Fktor enthlten- uf die rechte Seite der Gleichung: Alger Linere Gleichungen mit Prmetern 007 Lernen mit Spß

4 - 4 - x 4) px p = x p px x p = p +p + x= p+ p + px (die rechte Seite ordnen) ( p ) = p p+ x (links wurde x usgeklmmert) x p = p (und die rechte Seite fktorisiert) ( ) ( ) Nun müsste mn durch den Fktor ( p ) dividieren, um x zu isolieren. D er für p = der Fktor den Wert Null nnimmt, folgt wie in Aufge ) und 3) eine Fllunterscheidung: 4) p, eide Seiten werden nun durch ( p ) dividiert: ( p ) = ( p ) x ( p ) x =p L= { p } p IR\{ }. 4) p =, lso ist ein Dividieren durch ( p ) nicht möglich. Mn setzt wiederum p = ein: x ( ) = ( ) 0 x = 0 und erhält eine llgemeingültige Aussge fürp = : L = IR für p=. Im schließenden Beispiel wird der Schwierigkeitsgrd nochmls erhöht. Mn ht hier einen lineren Gleichungstyp, der in einer Prüfung vielleicht die sogennnte 00%-Bremse drstellen könnte. Konzentriert wendet mn Schritt für Schritt ds isher Erlernte (Lösungslgorithmus für linere Gleichungen und Fllunterscheidung ei Formvrilen) n und lässt sich nicht gleich durch die komplexe Form der Gleichung lssen. Die einzige Vorrussetzung für die Gleichung ist, dss die Formvrilen und nicht den Wert Null nnehmen können (,lso nicht definiert ist. IR, \{ } 0 ), d sonst die Gleichung Alger Linere Gleichungen mit Prmetern 007 Lernen mit Spß

5 - 5 - Begonnen wird mit dem Multiplizieren des Huptnenners: 4 4 x x + 5) + = () 4 4 ( x ) + ( x ) = x + x = x+ x = x+ x= x ( + ) = ( + ) D er die Vorrussetzung für die Gleichung ( ) IR, \{ } 0 ist, knn sowohl der Term + ls uch der Fktor niemls den Wert Null nnehmen. Mn löst somit üerrschenderweise die Gleichung ohne eine Fllunterscheidung: x ( + ) = ( + ) ( + ) x= + + L= mit, IR \{ 0 }. Üungen: ) 7 3+ c x= 3c ) 4 x 4x= x c) ( x m)( mx+ ) + (+ mx)(m x) + m 4 = mx+ n m+ n m nx m n n ( x+ ) 4m n d) + + = 0 Alger Linere Gleichungen mit Prmetern 007 Lernen mit Spß