Bruchrechnung. W. Kippels 6. Dezember Inhaltsverzeichnis. 1 Vorwort 2. 2 Einleitung 3

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1 Bruchrechnung W. Kippels 6. Dezemer 08 Inhltsverzeichnis Vorwort Einleitung Die Bruchrechenregeln. Addition gleichnmiger Brüche Addition ungleichnmiger Brüche Anleitung zur Huptnennerestimmung Addition eines Bruches zu einer Zhl Multipliktion von Brüchen Multipliktion eines Bruches mit einer Zhl Division durch einen Bruch Division eines Bruches durch eine Zhl: Kürzen von Brüchen Anmerkung Beispielufgen 0 5 Lösungen der Beispielufgen

2 Vorwort Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe. Trotzdem stelle ich lles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie diese Dtei hilfreich finden, dnn itte ich Sie um Erfüllung des nchfolgend eschrieenen Genertionenvertrges : Wenn Sie später einml Ihre Ausildungsphse eendet hen und im Beruf stehen (oder uch noch dnch), geen Sie itte Ihr Wissen in geeigneter Form n die nchfolgende Genertion weiter. Wenn Sie mir eine Freude mchen wollen, dnn schreien Sie mir itte eine kleine Emil n die folgende Adresse: Vielen Dnk!

3 Einleitung Hier sollen die Regeln zur Bruchrechnung und der Umgng dmit für lle drgestellt werden, die ds im Prinzip schon kennen, lso früher schon einml kennengelernt hen, er eine Auffrischung enötigen. Zum neu Erlernen der Bruchrechnung ist diese Drstellung vermutlich zu kurz. Die Bruchrechenregeln. Addition gleichnmiger Brüche Gleichnmige Brüche werden ddiert, indem mn die Zähler ddiert und den Nenner eiehält. c + c = + c. Addition ungleichnmiger Brüche Ungleichnmige Brüche werden ddiert, indem mn sie zunächst gleichnmig mcht. c + d = d c d + c c d = d + c c d. Anleitung zur Huptnennerestimmung Bei der Addition von Brüchen (siehe vorngehendes Kpitel) enötigt mn den sogennnten Huptnenner. Die oige einfche Formel ildet ds nicht gut. Ds Produkt ller vorkommenden Nenner knn zwr verwendet werden, führt er oft zu einem unnötig großen Nenner. Der Huptnenner ist jedoch nicht irgendein gemeinsmes Vielfches ller vorkommenden Nenner, sondern ds kleinste gemeinsme Vielfche. Ein Beispiel soll ds verdeutlichen: + 8 =... Ntürlich knn mn 8 = 6 ls gemeinsmen Nenner verwenden, jedoch geht es einfcher uch mit der Zhl 6 ls Huptnenner, wie nchfolgend drgestellt. + 8 = = 0 6 = = = 5 6 In der ersten Vrinte führte erst ds Kürzen des Ergenisruches zu dem einfcheren Bruch, den die zweite Vrinte sofort liefert. Im folgenden soll drgestellt werden, wie mn systemtisch den Huptnenner estimmen knn. Dies ist sicherlich nicht die einzig mögliche Methode, er sie führt uf jeden

4 Fll zum Ziel. Am esten stelle ich meine Anleitung nhnd eines Beispiels vor. In diesem Beispiel soll der Huptnenner für die Addition dieser Brüche estimmt werden: =... Zur Huptnennerestimmung muss jeder Nenner einzeln in Primfktoren zerlegt werden. Dzu werden die verschiedenen Nenner in einer Telle untereinnder ufgeschrieen. =... 5 =... 8 =... 0 =... Jetzt knn jeder Nenner in seine Primfktoren zerlegt werden. = 5 = 5 8 = 0 = 5 Um essere Üersicht zu ehlten ist es zweckmäßig, in diese Liste eine gewisse Struktur zu ekommen. Dzu fsst mn einerseits mehrere gleiche Primfktoren zu einer Potenz zusmmen (Beispiel: = ) und sortiert ndererseits gleiche Primfktoren in gleiche Splten untereinnder. In unserem Beispiel sieht ds dnn so us: = = 5 = 5 = 5 8 = = 0 = 5 = 5 Jetzt können wir einen Strich drunter mchen und den Huptenner (kurz: HN) ngeen. Dies geschieht nch folgendem Merkstz: In den Huptnenner kommt us jeder Splte die höchste vorkommende Potenz. Ds Gnze sieht dnn so us: = = 5 = 5 = 5 8 = = 0 = 5 = 5 HN = 5 Mit Primfktoren sind die Primzhlen gemeint, die ls Ergenis den zu untersuchenden Nenner hen, wenn mn sie miteinnder multipliziert. 4

5 Gehen wir ds nhnd des Merkstzes einml schrittweise durch. In der ersten Splte stehen lle Zweien. Die Zwei kommt einfch (wie in Zeile ), im Qudrt (wie in Zeile und 4) oder uch grnicht vor (wie in Zeile ). Die höchste vorkommende Potenz ist ds Qudrt, lso muss in den HN üernommen werden. Ähnlich sieht es uch in der Splte der Dreien us, wird in den HN üernommen. In der Splte der Fünfen kommt die 5 immer nur einfch vor, dher üernehmen wir 5 = 5 in den HN. Der Huptnenner knn nun ntürlich uch usgerechnet werden: HN= 5 = 80. Hiermit geht mn zurück in die Aufgenstellung. Jeder einzelne Bruch muss uf den Huptnenner erweitert werden = Jeder einzelne Bruch muss mit einem estimmten Fktor dem sogennnten Erweiterungsfktor, kurz: EF erweitert werden. Diesen Erweiterungsfktor knn mn estimmen, indem mn den Huptnenner durch den jeweiligen Einzelnenner dividiert, mn knn er uch etws equemer die hier ereits erstellte Telle dfür verwenden. Ds geht so: In den Erweiterungsfktor kommt lles, ws dem jeweiligen Nenner m HN fehlt. Ws dmit gemeint ist, schuen wir uns n dem Beispiel n. = = EF = 5 = 5 5 = 5 = 5 EF = = 8 = = EF = 5 = 0 0 = 5 = 5 EF = = 9 HN = 5 = 80 Die Zerlegung des ersten Nenners der zeigt in Üereinstimmung mit dem Huptnenner in der ersten Splte eine. Dher muss keine in den Erweiterungsfktor üernommen werden. An der nächsten Stelle steht im Huptnenner, in der Zerlegung des Nenners er nur eine einfche. Bis fehlt lso noch eine, die deshl in den Erweiterungsfktor geschrieen werden muss. An der dritten Stelle des Huptnenners sehen wir eine 5 (ohne Potenz), die im zerlegten Nenner gnz fehlt. Deshl gehört in den Erweiterungsfktor uch die 5. Weiter geht es mit den zweiten Nenner, der 5. Im Huptnenner steht in der ersten Splte eine, im fktorisierten Nenner ist grkeine. Die muss lso komplett in den Erweiterungsfktor. Der nächste Fktor im Huptnenner lutet, in der Zerlegung des zweiten Nennerst steht nur eine einfche. Bis fehlt dher noch eine, die wir in den Erweiterungsfktor üernehmen. Die 5 ls dritter Fktor im Huptnenner ist genuso 5

6 uch oen vorhnden, kommt lso nicht in den Erweiterungsfktor. Entsprechend fehlt dem dritten Nenner nur eine und eine 5 zum Huptnenner und dem vierten die. Dmit wären wir in der Telle fertig. Wir können den ersten Bruch mit 5, den zweiten mit, den dritten mit 0 und den vierten mit 9 erweitern, um lle Brüche gleichnmig zu mchen = = 7 80 = Addition eines Bruches zu einer Zhl Ein Bruch wird zu einer Zhl ddiert, indem mn die Zhl zunächst in einen unechten Bruch mit dem gleichen Nenner umwndelt. + c = + c.5 Multipliktion von Brüchen = + c Brüche werden miteinnder multipliziert, indem mn Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Vor dem Ausrechnen sollte mn kürzen! c d = c d.6 Multipliktion eines Bruches mit einer Zhl Mn multipliziert einen Bruch mit einer Zhl, indem mn den Zähler des Bruches mit der Zhl multipliziert und den Nenner eiehält. Vor dem Ausrechnen sollte mn kürzen!.7 Division durch einen Bruch c = c Mn dividiert durch einen Bruch, indem mn mit seinem Kehrwert multipliziert. c d = d c = d c oder: c = c = c 6

7 .8 Division eines Bruches durch eine Zhl: Mn dividiert einen Bruch durch eine Zhl, indem mn den Nenner des Bruches mit der Zhl multipliziert. c = c.9 Kürzen von Brüchen Weil eim Kürzen so viele Fehler gemcht werden, möchte ich dzu ein eigenes Kpitel schreien. Mnche Brüche können durch Kürzen vereinfcht werden. Wie geht ds? Mn kürzt einen Bruch, indem mn Zähler und Nenner durch die gleiche Zhl dividiert. Dei verändert sich nur die Form, nicht er der Wert des Bruches. Ein Beispiel dzu: 6 8 = 4 Hier wr sowohl der Zähler ls uch der Nenner durch teilr. Gekürzt wurde dher mit der Zhl. Beim Multiplizieren von Brüchen knn mn uch oft kürzen. Hier ist es sinnvoll, vor dem Ausmultiplizieren zu kürzen. Auch dzu ein Beispiel: = Ntürlich knn mn ds sofort usmultiplizieren. Mn erhält dnn: = = Hier sieht mn nicht mehr, dss mn durch 65 kürzen knn. Wrscheinlich emerkt mn noch, dss ein Kürzen durch 5 möglich ist, er ds wr es dnn uch schon. Dher ist es esser, sofort vor dem Ausmultiplizieren die im Zähler gegen die 6 im Nenner durch zu kürzen und die 5 im Zähler gegen die 5 im Nenner durch 5. Dnn sieht ds so us: = = 5 = 0 Auch eim Rechnen mit Termen ist oft ein Kürzen möglich. Dzu ein Beispiel: 4c = 4c 7

8 Hier ließ sich durch kürzen, weil sowohl der Zähler ls uch der Nenner durch teilr wr, denn eide Stellen einhlteten ds ls Fktor. Werden die Terme komplizierter sind eventuell Kenntnisse zu Potenzrechengesetzen nötig. Ein Beispiel verdeutlicht ds. c 8 c = Die wurde gegen die 8, ds gegen ds, ds gegen ds und ds c gegen ds c gekürzt. Insgesmt wurde lso durch c gekürzt. 4c Gern gemchte Fehler: Ziemlich oft wird leider us einer Summe gekürzt. Ws ich dmit meine, zeigt diese Beispiel: Hier wurde durch gekürzt, und zwr im ersten Summnden gegen den Nenner. Ds geht nicht! Wenn mn kürzen möchte, dnn muss zunächst die Summe im Zähler in ein Produkt umgewndelt werden. Dnn lässt sich uch nur durch kürzen = ( + 5 ) 6 = Die ekommt mn nicht weg, d sie sich nicht usklmmern lässt. Eine ndere Alterntive esteht drin, dss mn us dem einzelen Bruch zwei Brüche mcht. Die sind dnn einzeln für sich kürzr. Dnn sieht ds so us: = = Hier wr der erste Bruch durch und der zweite Bruch nur durch kürzr. Es git dzu einen zwr ösen er merkren Spruch ls Erinnerung: Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen! Einzelheiten zu Potenzen siehe hier: Ws genu eine Summe und ein Produkt ist, knn mn hier nchlesen: 8

9 .0 Anmerkung Einige Schüler schreien gern ds Gleichheitszeichen nicht vor den Bruch, wo es hingehört, sondern irgendwohin, eispielsweise in den Zähler. An dieser Stelle möchte ich gern n einem Beispiel zeigen, dss ds Ergenis dvon hängen knn, wo ds Gleichheitszeichen steht. Steht es ei einem Doppelruch nämlich nicht vor dem Huptruchstrich, dnn weiß niemnd, welches der Huptruchstrich ist. Hier ist ds Beispiel. Wir suchen ds Ergenis für diesen Doppelruch: 8 4 Ohne Gleichheitszeichen weiß niemnd, ws ds edeutet. Steht der Bruch 8 im Zähler 4 und die im Nenner eines Bruches, oder lutet der Zähler 8 und der Nenner 4? Ich rechne eide Fälle ml durch. 8 4 = 8 4 = 8 8 = 8 = = 8 4 = 6 4 = 4 Wie mn leicht sieht, erhlten wir unterschiedliche Ergenisse in Anhängigkeit dvon, uf welcher Höhe mn ds Gleichheitszeichen setzt! (Die Lehrer, die immer gleich meckern, wenn ds Gleichheitszeichen uf der flschen Höhe steht, sind lso nicht einfch nur kleinkrriert, sie hen einen mhemtischen Grund für die Meckerei... ) 9

10 4 Beispielufgen = = = = = =... ( 5 + ) = = = =.... = (. 6 : ) = =... 0

11 : = =...

12 5 Lösungen der Beispielufgen = + 5 = 6 = + 6 = = = 6 6 = 7 + = = = = = 5 6 = = = = = = = = = 5 ( 5 + ) = = = = = = = 5 = = = 5 5 = 5 = 5 = = = = = = = 6. = = = 9 (. 6 : ) ( = 6 : 6 ) = 6 : = 6 : = 6 6 = 6 6 = = = = = = 6 5

13 : = 50 = = = = 6 5 = = = = = 8