Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit

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1 WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit. Zhlenbereiche... Die rtionlen Zhlen... Definition Die Definition der rtionlen Zhlen erfolgt hier innermthemtisch ebenflls wie diejenige der gnzen Zhlen über eine Äquivlenzklsse. Wir betrchten die Menge IN IN ller Pre ntürlicher Zhlen und definieren folgende Äquivlenzreltion: (, b) ~ (c, d) flls d = c b mit, b, c, d IN 4 (, 6) ~ (, 4) d 6 = 4 = 6 Die Zhlenpre (; 6) und (, 4) definieren lso die Eigenschft einer Äquivlenzklsse. Alle Zhlenpre mit dieser Eigenschft legen eine Äquivlenzklsse fest, hier die Zhl. = { 4 6 ; 6 9 ; 8 ;...} Auf diese Weise erhlten wir beliebig viele neue Zhlen. Wir bezeichnen sie ls rtionle Zhlen und schreiben QI. heißt Bruchzhl, 4 6 ; 6 9 ; 8 ;... sind Brüche. Im Bereich der Schulmthemtik wird die Notwendigkeit der Zhlenbereichserweiterung meist mit der Nichtbgeschlossenheit der Division in IN begründet. Beispiel: : 8 = 8 Ein Bruch ist lso eine Schreibfigur, d. h. eine ndere Drstellung eines Quotienten.... Arten von Brüchen ) Stmmbruch: Bruch mit dem Zähler b) bgeleiteter Bruch: lle Nichtstmmbrüche c) echter Bruch: b mit < b d) unechter Bruch: b mit > b e) Scheinbruch: b mit b = n f) endlicher Bruch g) reinperiodische Bruch h) gemischtperiodischer Bruch i) Kehrbruch: b heißt Kehrbruch von b. ; ;... ; 4 6 ;... Es gilt b b =., b IN

2 WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit..4. Fchsprchliche Anmerkungen zu QI... Kulturhistorische Anmerkungen Brüche bei den Ägyptern Die Ägypter verwendeten für die Stufenzhlen besondere Zeichen Mit diesen Zeichen und mit Hilfe der Hieroglyphe "Mund" stellten sie Brüche dr. Reichte der Pltz unter dem Zeichen "Mund" nicht us, so wurden die restlichen Zeichen dneben geschrieben. Die Ägypter knnten nur Stmmbrüche. 7 zerlegten sie deshlb in die Stmmbrüche 4 und und schrieben. 7 = 4 + Brüche im Mittellter Im 6. Jhrhundert suchte mn die Mthemtik durch die Einführung von Symbolen zu vereinfchen. Mn htte erknnt, dss die Beschreibung mthemtischer Schverhlte durch Worte sehr schwerfällig wr und den Fortschritt der Mthemtik behinderte. Aus dem Rechenbuch von Adm Riese So festigte sich in dieser Zeit erst die Verwendung des Bruchsymbols mit Bruchstrich, Zähler und Nenner...6. Rechnen in QI ) Kürzen * * b n Lässt sich ein Bruch (*, b* IN) in der Form = (, b, n IN), so nennen wir b n b diese Umwndlung Kürzen. Der umgekehrte Vorgng heißt erweitern. b) Addition und Subtrktion Es gelten die Regeln der Addition und Subtrktion in Z in nloger Weise. Insbesondere können lle rtionlen Zhlen ebenflls ls Pfeile drgestellt werden. c) Multipliktion in Q I c) Bruch ml gnze Zhl Wir vernschulichen die Multipliktion 4. 4 = Mn multipliziert den Zähler mit der gnzen Zhl und behält den Nenner bei. = 8

3 WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit cb) Bruch ml Bruch Wir wollen ein Drittel von 4 berechnen. Dies entspricht der Multipliktion. Wir ver- 4 nschulichen diese Multipliktion so: 4 von von von 4 = = = 4 4 Mn multipliziert Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner und bildet den Bruch us Zählerprodukt und Nennerprodukt. d) Division d) Bruch durch ntürliche Zhl Wir vernschulichen die Division 9 :. Bei der Division eines Bruchs durch eine ntürliche Zhl sind zwei Fälle zu unterscheiden.. Der Divisor ist Teiler des Zählers Mn dividiert den Zähler durch die Zhl und behält den Nenner bei.. Der Divisor ist kein Teiler des Zählers Der Bruch muss so erweitert werden, dss der Divisor ein Teiler des Zählers w ird. Mn v erwendet den Divisor ls Erweiterungszhl. 9 = 7 : 8 = 7 : 7 := = oder 7 7 : = 8 8 Mn multipliziert den Nenner mit der Zhl und behält den Zähler bei. db) Bruch durch Bruch Um den Wert des Quotienten der Brüche und 7 zu bestimmen, verwenden wir die Eigenschft b b = des Kehrbruchs. Wir suchen eine Zhl x, für die gilt: 7 x = x = : 7 Wegen b b = gilt uch: 7 7 = x = 7 Multipliktion mit : : 7 = : 7 Vereinfcht können wir schreiben: : 7 = 7 Sttt durch einen Bruch zu dividieren, multipliziert mn mit dem Kehrbruch. Gemischte Zhlen werden bei der Division in unechte Brüche umgewndelt.

4 WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit..7. Übungsbltt: Rtionle Zhlen Aufgbe Klssifizieren Sie folgende Brüche. ; ; 9 7 ; ; 6 ; 8 ; 9 4 ; Aufgbe Die Periode eines Bruchs mit dem Nenner n knn höchstens n Stellen hben. Begründen Sie diesen Stz elementrmthemtisch. Aufgbe Wnn entsteht keine Periode. Stellen Sie zur Begründung den Dezimlbruch 0,4679 ls summe von Brüchen mit Zehnerpotenzen ls Nenner dr.

5 WS 008/09 7 Elementrmthemtik (LH) und Fehlerfreiheit Lösungen zu Übungsbltt. Rtionle Zhlen Zu Aufgbe = 0, 6 = 0, =,874 = 0, echter Bruch echter Bruch unechter Bruch echter Bruch rein per. rein per. rein per. endlich 6 ; 8 ; 9 4 ; Scheinruch unechter Bruch unechter Bruch endlich gemischt per. Zu Aufgbe Es bleiben für die Zhl IN die Reste,,, 4 bis Nenner minus. Zu Aufgbe Die Zhl 0,4679 knn mn in Brüchen so schreiben: 0,4679 = Alle Brüche, deren Nenner eine Potenz von 0 (, 0, 00, 000,...) sind, hben keine Periode. Folgerung: Nur Brüche, deren Nenner (im vollständig gekürzten Zustnd) keine nderen Primfktoren ls Vielfche von und/oder besitzen, ergeben einen nichtperiodischen Dezimlbruch, der eine endliche Zhl n Kommstellen besitzt.