Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15

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1 Logische Grundlgen der Mthemtik, WS 2014/15 Thoms Timmermnn 3. Dezember 2014 Wiederholung: Konstruktion der gnzen Zhlen (i) Betrchten formle Differenzen b := (, b) mit, b N 0 (ii) Setzen b c d, flls + d = b + c (iii) gnze Zhlen sind Äquivlenzklssen formler Differenzen: Z := (N 0 N 0 )/ (iv) definieren Addition und Multipliktion formler Differenzen: ( b) + (c d) := ( + c) (b + d) ( b) (c d) := (c + bd) (d + bc) (v) diese Opertionen sind mit der Äquivlenzreltion verträglich und liefern die Addition und Multipliktion uf Z (vi) es gelten die Assozitivitäts-, Kommuttivitäts- und Distributiv- gesetze und (Z, +) ist eine belsche Gruppe 4.1 Die Konstruktion der rtionlen Zhlen Wir wollen rtionle Zhlen ls formle Brüche gnzer Zhlen drstellen, lso ls Pre us Zähler und Nenner, und schreiben := (, b) Z N, b 1

2 4.1 Die Konstruktion der rtionlen Zhlen wobei N := N 0 \ {0}. Wnn stellen zwei formle Brüche dieselbe Zhl dr? Lemm. Durch b c d : d = cb (1) wird eine Äquivlenzreltion uf Z N definiert. Beweis. Reflexivität und Symmetrie sind einfch. Beweisen wir die Trnsitivität. Seien b c d, lso d = bc, und c d e f, lso cf = de. Wir müssen zeigen: b e f, lso f = be. Aber die Annhme liefert dcf = bcde und die Kürzungsregel für die Multipliktion f = be. Definition. Die rtionlen Zhlen sind die Äquivlenzklssen Q := (Z N)/. Nun definieren wir die Rechenopertionen uf formlen Brüchen durch: b + c d b c d = c bd = d + cb bd = (c, bd), = (d + bc, cd). Lemm. Die Opertionen sind mit der Äquivlenzreltion verträglich. Beweis. Sei b b, lso b = b, und c d c d, lso cd = c d. Dnn folgt b c d = c bd c b d = b c d, weil cb d = cbd; b + c d = d+bc bd d+b c b d = b + c d, weil (d + bc)(b d) = db d + bcb d = dbd + b cbd = ( d + b c)(bd), und ähnliche Rechnungen zeigen b c d b c d sowie b + c d b + c d. Nun können wir die Addition und Multipliktion ls Abbildungen Q Q Q definieren durch [(, b)] + [(c, d)] := [(, b) + (c, d)], [(, b)] [(c, d)] := [(, b) (c, d)]. Lemm. Auf Q gelten die üblichen Kommuttiv-, Assozitiv- und Distributivgesetze. Beweis. Einfch und lngweilig. 2

3 4.1 Die Konstruktion der rtionlen Zhlen Bemerkung. Kommuttivität und Assozitivität gilt bereits für formle Brüche, lso uf Z N, Distributivität ber nicht: ( b + c ) e d + bc = e de + bce edf + bf ce = = e d f bd f bdf = bf df bf + ce df = b e f + c d e f Stz. Q bildet bezüglich der Addition und Multipliktion ein Körper: (i) (Q, +) ist eine belsche Gruppe, (ii) (Q \ {0}, ) ist eine belsche Gruppe, (iii) es gelten die Distributivgesetze. Beweis. (i) Bzgl. Addition neutrles Element ist [ [ 0 1], inverses Element zu b] ist ], denn [ b b + b b b = bb = 0 bb 0 1. (ii) Bzgl. Multipliktion neutrles Element ist [ 1 1], inverses Element zu [ b] ist [ b ]. (iii) Bereits festgestellt. Mn knn nun nchprüfen, dss ein Repräsentntensystem für Q gegeben ist durch { b Z N 0, b teilerfremd, d.h. c, d, e Z : c 1, cd =, ce = b}, dss lso die Abbildung [ Z Q, 1] injektiv ist, und dss die Opertionen uf Q die von Z fortsetzen. Die Ordnung uf den ntürlichen, gnzen und rtionlen Zhlen Für die Konstruktion der reellen Zhlen ls Grenzwerte von Cuchy-Folgen rtionler Zhlen benötigen wir die Betrgsfunktion uf Q und implizit dmit uch die gewöhnliche Ordnungsreltion. Stz. (i) Auf N 0 wird eine Ordnung definiert durch b : ( b) ( = b). Für lle, b, c, d N 0 gilt: b + c b + c, ( b) (c d) ( + c) (b + d). 3

4 4.1 Die Konstruktion der rtionlen Zhlen (ii) Auf Z wird eine Ordnung definiert durch [ b] [c d] : + d c + b. Für lle x, y, z, d Z mit d > 0 gilt: x y x + z y + z und x y xd yd y( d) x( d). (iii) Auf Q wird eine Ordnung definiert durch [ b] [ c d ] : d bc. Für lle x, y, z, d Q mit d > 0 gilt: x y x + z y + z und x y xd yd. Beweis. Wir gehen nicht lle Detils durch. (i) Reflexivität ist klr. Trnsitivität: Sei b und b c. Flls = b oder b = c, folgt direkt c. Sonst ist b c. Wegen der Trnsitivität von c (eine der definierenden Eigenschften ntürlicher Zhlen) folgt c, lso c. Anti-Symmetrie: Sei b und b und b. Dnn folgt b, mit obigem lso. Aber die Elementen von sind durch c d : (c d) (c = d) geordnet (eine der definierenden Eigenschften ntürlicher Zhlen). Es folgt b, lso = b. Widerspruch. Verträglichkeit mit Addition: Erste Äquivlenz folgt per Induktion über c, weggelssen. Zweite Impliktion: ( b) (c d) impliziert + c b + c b + d. (ii) Wohldefiniertheit der Reltion: Seien [ b ] = [ b] und [c d] = [c d ]. Wir müssen zeigen: Aber us (i) folgt + d c + b + d c + b. + d c + b ( + d) + (c + b ) (c + b) + (c + b ) + d c + b ( + d ) + (c + b) (c + b) + (c + b ) und die Annhme liefert ( + d) + (c + b ) = ( + b ) + (c + d) Reflexivität, Antisymmetrie sind einfch. Trnsitivität: Sei [ b] [c d], lso + d c + b, [c d] [e f ], lso c + f e + d. = ( + b) + (c + d ) = ( + d ) + (b + c) 4

5 4.1 Die Konstruktion der rtionlen Zhlen Dnn folgt + c + d + f c + b + e + d und mit (i) + f b + e, lso [ b] [e f ]. Verträglichkeit mit Addition und Multipliktion: weggelssen. (iii) Ähnliches Vorgehen wie bei (ii), weggelssen. Nun definieren wir die Betrgsfunktion { x, x 0, Q Q, x x := x, x 0 mit ihren beknnten Eigenschften. Wir benötigen insbesondere: x + y x + y, xy = x y. Die Beweise erfordern jeweils Fllunterscheidungen. Richrd Dedekind und die Zhlen Blitz-Studium 1848 Beginn des Studiums 1852 Promotion bei C.F. Guss 1854 Hbilittion Beschäftigung mit den Zhlen Bildung der Begriffe Ring und Körper 1872 Axiomtisierung reeller Zhlen durch Dedekindsche Schnitte 1888 Axiomtisierung der ntürlichen Zhlen in Ws sind und ws sollen die Zhlen? Richrd Dedekind ( ) 5

6 4.1 Die Konstruktion der rtionlen Zhlen Studium gnzer Zhlen in lgebrischen Zhlkörpern Zwischen Q und C lgebrische Zhlen Évriste Glois ( ) 6