2.6 Unendliche Reihen

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1 2.6 Unendliche Reihen In normierten Räumen steht ds wichtige Werkzeug der Bildung von unendlichen Reihen zur Verfügung. Mn denke in diesem Zusmmenhng drn, dss mn in der Anlysis Potenz- und Fourierreihen nur mit Hilfe dieses Werkzeugs definieren knn. Es sei (X, ) ein normierter Rum. Zu jeder Folge (x k ) lssen sich die Prtilsummen n s n := bilden. Diese liefern eine weitere Folge (s n ) in X, mit deren Konvergenz wir uns nun befssen wollen. Definition 80: Die Folge (s n ) der Prtilsummen einer Folge (x k ) nennt mn eine (unendliche) Reihe in X und bezeichnet sie mit dem Symbol x k. Existiert der Grenzwert lim s n =: s, so nennt mn die Reihe x k konvergent und schreibt uch x k = n s. Anmerkung: Die Schreibweise x k = s ist ein zwr intuitiv ber ein Missbruch mthemtischer Sprche, d die linke Seite dieser Gleichung nch Definition eine Folge und die rechte Seite eine Zhl ist. Feststellung 8: Für eine unendliche Reihe x k in einem normierten Rum (X, ) gelten die folgenden Aussgen: x k. Konvergiert x k, so ist ( x k ) eine Nullfolge in R. 2. Konvergiert die Reihe x k in R, so konvergiert uch x k und es gilt x k x k. Beweis:. Nch dem Cuchykriterium gibt es zu jedem ɛ > 0 ein N N mit s n s m < ɛ flls n, m > N. Insbesondere gilt ds für n > N und m = n +, worus die Behuptung folgt. 87

2 2. Die Dreiecksungleichung liefert n x k n x k Übergng zum Grenzwert n uf beiden Seiten der Ungleichung und Nutzung der Stetigkeit der Norm liefern die Behuptung. Konvergente Reihen, die die Bedingung 2 in Feststellung 8 erfüllen nennt mn bsolut konvergent. Nicht jede konvergente Reihe ist uch bsolut konvergent, wie bereits us der Anlysis beknnt ist. Mit Hilfe von Punkt 2 lässt sich die Konvergenzuntersuchung einer Reihe in einem normierten Rum eventuell uf die Konvergenzuntersuchung einer reellen unendlichen Reihe zurückführen. Ds ist sehr nützlich, d mn für reelle Reihen viele Konvergenzkriterien kennt. Wir betrchten einen für die Anwendung besonders relevnten Fll: Stz 82 (Wurzelkriterium): Es sei x k eine Reihe in dem Bnchrum X und α := lim sup( k x k : k N). Dnn ist die Reihe konvergent, flls α < und divergent im Fll α >. Beweis: Aus der Anlysis kennt mn die Aussge des Stzes für die reelle Reihe x k. Nun muss mn nur Punkt 2 von Feststellung 8 nwenden. Motiviert durch die geometrische Reihe q = q k, q (, ), betrchten wir zu einem Opertor T L(X, X) die Opertoren und nehmen n, dss die Reihe T k = T T... T (k-ml), T 0 := id, T k (40) 88

3 in L(X, X) bsolut gegen den Grenzwert S L(X, X) konvergiert. Dnn gilt wegen der Stetigkeit der Verknüpfung von Opertoren S (id T ) = (T k T k+ ) = id und (id T ) S = (T k T k+ ) = id, ds heißt id T besitzt die stetige Inverse S. Es stellt sich jetzt lso die Frge unter welchen Vorussetzungen die Reihe (40) konvergiert. Hierzu wendet mn ds Wurzelkriterium n: Nch Feststellung 75 gilt T k T k lso existiert der Limes superior im Stz 82 und es gilt lim sup( k T k : k N) T. Zusmmenfssend erhlten wir den folgenden Stz 83 (C. Neumnn): Es sei X ein Bnchrum und T L(X, X) hbe die Eigenschft, dss die Neumnn sche Reihe bsolut konvergiert. Dnn besitzt id T die stetige Inverse T k (id T ) = T k. Die Neumnn sche Reihe konvergiert, flls lim sup( k T k : k N) < gilt, insbesondere lso flls T < ist. Im letzteren Fll gilt die Ungleichung (id T ) = T. Volterr sche Integrlgleichungen 89

4 [Herleitung us einem physiklischen Problem fehlt noch.] Eine Integrlgleichung der Form mit x(s) y : [, b] R einer gegebenen reellen Funktion, 0 k(s, t)x(t)dt = y(s) (4) k : [, b] [, b] R einer gegebenen reellen Funktion zweier Vribler, dem so gennnten Kern, x : [, b] R der gesuchten Lösungsfunktion, wird ls Volterr sche Integrlgleichung bezeichnet. Nimmt mn n, dss die Abbildung stetig ist, so knn mn den Opertor k : [, b] [, b] R K : C([, b], R) C([, b], R), x k(s, t)x(t)dt (42) definieren, mit dessen Hilfe sich die Integrlgleichung (4) in der Form (id K)(x) = y (43) schreiben lässt. Der Opertor K ist offensichtlich liner. Weiter gilt worus K(x)(s) (s ) k mx x mx, K(x) mx (b ) k mx x mx, wobei k mx die Supremumsnorm von k in dem normierten Rum C([, b] [, b], R) und x mx die Supremumsnorm von x in dem normierten Rum C([, b], R) bezeichnet. Für die Opertornorm von K folgt K = sup( K(x) mx : x C([, b], R), x mx = ) (b ) k mx ; 90

5 insbesondere ist K stetig. Um den Stz von Neumnn nwenden zu können müssen uch die Werte K m bestimmt werden: Es folgt K 2 s (x)(s) = Rekursiv erhält mn so: Nun ist k(s, t)k(x)(t)dt k(s, t) K(x)(t) dt k 2 mx x mx (t )dt = 2 k 2 mx x mx (s ) 2. K 2 2 k 2 mx(b ) 2. K m m! k m mx(b ) m. m m! k m mx(b ) m = m k mx (b ). m! Mn muss lso ds Verhlten der Größe m m! für m untersuchen: Logrithmieren liefert log( m m!) = m m ( log(k)). m Die Summe in Klmmern knn mn lso Untersumme für ds Integrl log(t) dt deuten, für welches gilt: Es folgt m log(t) dt = m log(m) m +. m m ( log(k)) m (m log(m) m + ) = log(m) + m. Die Werte von m m! streben folglich für m gegen, womit der Stz von Neumnn nwendbr ist: 9

6 Korollr 84: Die Volterr sche Integrlgleichung (4) besitzt bei stetigem Kern k für jede stetige rechte Seite y eine eindeutige stetige Lösung x. Die Gruppe der invertierbren stetigen lineren Selbstbbildungen Die obigen Ergebnisse zur Volterr schen Integrlgleichung motivieren die folgende Frge: Bleibt die Invertierbrkeit eines Opertors S L(X, X) bei im Sinn der Opertornorm kleinen Störungen erhlten? Mit solchen Störungen muss mn nämlich rechnen, wenn mn den Kern k der Volterr schen Integrlgleichung per Messung/Experiment bestimmen muss, wie ds in vielen prktischen Situtionen norml ist. Es sei lso S 0 L(X, X) invertierbr. Ein beliebiges S L(X, X) knn dnn in der Form S = S 0 (S 0 S) = S 0 (id S 0 (S 0 S)) (44) geschrieben werden. Ist dnn so folgt S S < S, S 0 (S 0 S) S S 0 S <, wobei mn Stz 75 benutzt. Nch dem Stz von Neumnn ist lso id S 0 (S 0 S) invertierbr, und dmit uch S selbst, d S dnn nch Gleichung (44) die Verkettung zweier invertierbrer Opertoren ist. Mn sieht weiter: S = (id S0 (S 0 S)) S0 = ( (S0 (S 0 S)) k ) S0 = S0 + (S0 (S 0 S)) k S 0, 92

7 wobei mn die Stetigkeit von (Stz 75) benutzt. Es folgt S S0 = (S 0 (S 0 S)) k S (S 0 (S 0 S)) k S (S 0 (S 0 S)) k S = ( (S 0 (S 0 S)) ) S = (S 0 (S 0 S)) (S 0 (S 0 S)) S D die rechte Seite klein wird, wenn mn S nhe bei S 0 wählt, ergibt sich insgesmt: Stz 85: Für einen Bnchrum (X, ) ist die Gruppe L(X, X) der stetigen Opertoren mit stetiger Inversen eine offene Teilmenge des normierten Rums L(X, X) und die Abbildung L(X, X) L(X, X), S S ist stetig. Quntittiv: Zu jedem S 0 L(X, X) gilt B(S 0, S ) L(X, X). Als Folgerung ergibt sich für die Volterr sche Integrlgleichung: Die eindeutige Lösbrkeit der Volterr schen Integrlgleichung bei stetigem Kern und stetiger rechter Seite bleibt bei kleinen Störungen des Kerns k erhlten. 93